lecture_07 (Лекции по математическому анализу)

Математический анализ,Семестр 2, лекция 7,стр. 1 из 10Несобственные интегралы.Изучение определенного интеграла проводилось в предположении: 1) о конечностиотрезка интегрирования [a; b]; 2) об ограниченности интегрируемой функции у = f(x).Отказ от одного из этих допущений приведет нас к понятию несобственных интегралов сбесконечными пределами и несобственных интегралов от неограниченных функций.1.

Интеграл с бесконечными пределами.1. Определение несобственного интеграла с бесконечными пределами.Пусть функция у = f(x) интегрируема на [a; b] и непрерывна при х ≥ а, тогдаb+∞aalim ∫ f ( x)dx =b →∞∫(1)f ( x)dxназывается несобственным интегралом от функции у = f(x) с бесконечным верхнимпределом (в предположении, что предел (1) существует).

При этом интеграл (1)называется сходящимся. Если же предел (1) не существует или равен бесконечности, тонесобственный интеграл называется расходящимся.Геометрически сходимость интеграла (1) означаетсуществование конечной площади под бесконечнойкривой.Аналогично вводится понятие несобственногоинтеграласбесконечнымнижнимпределом:lima →−∞bba−∞∫ f ( x)dx = ∫илиlima →−∞b →+∞сf ( x)dx ,бесконечнымиb+∞a−∞∫ f ( x)dx = ∫обоимипределами:f ( x)dx .Здесь важно подчеркнуть, что интегралопределяется при независимом стремлении a → −∞ иb → +∞ .Из этих определений следует, что если принекотором значении а сходится каждый из+∞∫интегралов:∫−∞+∞f ( x)dx =∫+∞af ( x)dx;∫f ( x)dx ,тосходитсяиинтеграл−∞a+∞рис.

1.1.1. Геометрический смыслнесобственного интеграла сбесконечным пределом∫f ( x)dx ,причем−∞af ( x)dx +∫f ( x)dx.−∞aПримеры:Исследовать на сходимость интегралы:+∞bdxdxπ1. ∫=lim= lim  arctgx b0  = lim ( arctgb ) = arctg ∞ = ;22∫→+∞→+∞→+∞bbb1+ x1+ x200∞2.bdxdx= lim ln x 1b  = lim ( ln b − ln1) = ∞ - интеграл расходится;∫1 x = limb →∞ ∫ xb →∞b →∞1b1dxdx3. ∫ p = lim ∫ p = lim b →∞b →∞  (1 − p ) x p −1xxaa∞ a1− pa1− p 1   1=при p > 11   − = blim  p −1 − p −1   =  1 − p p − 1→∞1pba− a ∞ ⇒ расходится при p ≤ 1bМатематический анализ,Семестр 2, лекция 7,стр. 2 из 10∞4.∫ cos xdx- интеграл расходится.02.

Признаки сравнения.Теорема (I-й признак сравнения).Если на полупрямой х ≥ а заданы две непрерывные функции y = f1(x) и y = f2(x) и длялюбого x ∈ [a; + ∞), 0 ≤ f1 ( x) ≤ f 2 ( x) , то:+∞1. Если интеграл∫+∞f 2 ( x)dx сходящийся, то и интегралa∫f1 ( x)dx также сходящийся.a+∞2. Если интеграл∫+∞f1 ( x)dx∫- расходящийся, то и интегралaтакжеf 2 ( x)dxaрасходящийся.Доказательство:Т.к. f 2 ( x) ≥ f1 ( x) , то для любого b > a по свойствам определенного интеграла следует:b∫abf 2 ( x)dx ≥ ∫ f1 ( x)dx . Но интеграл+∞a∫+∞bf 2 ( x)dx сходящийся, т.е.a∫f1 ( x)dx ≤a∫f 2 ( x)dx , следовательно,ab∫ f ( x)dx1ограничен сверху.

Кроме того, с ростом b интеграл слева монотонноab+∞aaувеличивается, следовательно, существует lim ∫ f1 ( x)dx , т.е. интегралb→+∞∫f1 ( x)dx сходится.Второе утверждение является следствием доказанного.Теорема (II-й признак сравнения).Если на полупрямой х ≥ а заданы две неотрицательные функции y = f(x) и y = g(x) исуществует конечный предел limx →+∞f ( x)= k , причем k ≠ 0; k ≠ ∞ , то интегралыg ( x)+∞∫f ( x)dx иa+∞∫ g ( x)dxсходятся или расходятся одновременно.aПримеры:Исследовать на сходимость интегралы:+∞∫e1.− x2dx .02Сравним подынтегральную функцию с функцией y = e − x : e − x ≤ e − x при х ≥ 1;+∞следовательно, по свойству аддитивности1−x−x∫ e dx = ∫ e dx +20bdx = lim  ∫ e − x dx  = lim  −e − xb →∞b →∞ 11искомый интеграл.+∞∫e−x+∞2.20 1= lim −e − b + e −1  = b →∞   e→01 +∞−x∫ e dx ≤ const +21+∞∫e−xdx .1b- сходится, следовательно, сходится и2x +1dx .3+4∫x1Сравним подынтегральную функцию с функцией y =p = 2 > 1.Повторомупризнакусравнения1.

Интегралx2имеем(здесь+∞dx∫x2- сходится, т.к.1f ( x) =2x + 11, g ( x) = 2 ):x3 + 4x2x + 1 22 x3 + x 2⋅== 2 ≠ 0 ≠ +∞ . Следовательно, исходный интеграл тоже сходится.xlimb→∞ x 3 + 4b→∞ x 3 + 4lim3. Абсолютно и условно сходящиеся интегралы.Математический анализ,Семестр 2, лекция 7,стр. 3 из 10Определение 1.+∞Интеграл∫f ( x)dx называется абсолютно сходящимся, если сходится интегралa+∞∫f ( x) dx .aОпределение 2.+∞Интеграл∫f ( x)dx называется условно сходящимся, если сам интеграл сходится, аa+∞интеграл∫f ( x) dx - расходится.aПримеры:+∞1.Интеграл∫1+∞∫+∞f ( x) dx =a∫acos xdxx2cos xdx =x2+∞∫cos xx2a+∞сходимость интеграла∫a+∞2. Интеграл∫1cos xx2абсолютноdx (т.к.cos xx2≤сходящийся,1, а интегралx2т.к.+∞dx∫x2сходитсяинтегралсходится, то отсюда следуетadx );sin xсходится условно, т.к.x+∞интеграл∫1sin xxdx расходится, а сам интеграл,11 +∞du = − 2 dx sin xcos x u=dx==cos1−xx∫1 x∫1 x 2 dx , являющийся dv = sin xdx v = − cos x сходящимся интегралом (см.

предыдущий пример).+∞вычисленный по частям, дает:4. Теорема об абсолютной сходимости интегралов.+∞Если сходится интеграл∫a+∞f ( x) dx , то и интеграл∫f ( x)dx тоже сходится.a2. Интегралы от неограниченных функций.1. Определение.Пусть функция y = f(x) определена на [a; b) и неограничена на нем, но ограничена на любом отрезке [a; b- ε] для любого положительного ε. Кроме того, функцию y= f(x) на этом полуинтервале будем предполагатьинтегрируемой, тогда по определению:b −εb∫af ( x)dx = limε →0∫f ( x)dxa(2)в предположении, что данный предел существует иконечен.

В этом случае интеграл называется сходящимся.В противном случае интеграл – расходящийся.Если же функция определена на (a; b], тоаналогично:b∫abf ( x)dx = limε →0∫a +εf ( x)dx .рис. 2.1.1. Геометрический смыслинтеграла от неограниченнойфункцииМатематический анализ,Семестр 2, лекция 7,стр. 4 из 10Примеры:Исследовать на сходимость интегралы:11dxdx1. ∫ = lim ∫ = lim ln x 1ε  = lim ( ln1 − ln ε ) = ∞ - интеграл расходится;ε →0x ε →0 x ε → 0ε0(Функция y =32.∫11не определена в точке 0).x3dxx −1= limε →0∫ε1+d ( x − 1)x −1= lim(2 x − 1ε →0интеграл сходится;3.Исследоватьна31+ ε) = lim  2 2 − 21+ ε −1  = 2 2 ≠ 0 ε →0 →0сходимостьвзависимостиотрис.

2.1.2. График1функции y =xпараметра: b −ε d (b − x) dx1111b −ε limlim −==a=p −1 ∫a (b − x) p ε →0 − ∫a (b − x) p  = limp −10ε → 0  (1 − p )(b − x ) p −1ε→(b − a )  p −1( b − b + ε )bdx= ∞ ⇒ расходится; p > 1, p − 1 > 0, ∫pa (b − x )bdx1 1=  p < 1, p − 1 < 0, ∫=⋅ −⇒ сходится;pp −1 p − 1  (b − a) a (b − x )b p = 1, dx = − ln b − x ba −ε = ∞ ⇒ расходится∫a b − xbЗамечание.Если функция y = f(x) имеет разрыв II-го рода во внутренней точке с отрезка [a; b],bто интеграл∫ f ( x)dx следуетпо свойству аддитивности разбить на два интеграла:ab∫acbacf ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx , и каждый из этих интегралов исследовать на сходимость (см.пример 4).14.01dxdxdx∫−1 x 2 = −∫1 x 2 + ∫0 x 2 = εlim1 →0− ε1∫−11 1dxdx+ lim ∫ 2 = lim  −2x ε 2 → 0ε 2 x ε1 → 0  x− ε1−1 1− + εlim→0  2  x1ε211 = lim  + 1 + lim  −1 + ε1 → 0  ε1  ε 2 → 0 ε2=∞2.

Признак сравнения.Теорема.Если на [a; b) определены и непрерывны две функции, связанные неравенством0 ≤ f1 ( x) ≤ f 2 ( x) , и интеграл от большей функции сходится, то, следовательно, сходится иинтеграл от меньшей функции. Аналогично, если интеграл от меньшей функциирасходится, то расходится и интеграл от большей функции.3. Аналогично, как и в п. 1.3, вводятся понятия абсолютной и условной сходимостидля интеграла (2).4. Интегралы смешанного типа.На практике приходится встречать интегралы смешанного типа, т.е. интегралы, укоторых пределы интегрирования бесконечны, а во внутренних точках интервалафункция неограниченна.Пример:Математический анализ,Семестр 2, лекция 7,стр. 5 из 10∞Γ( p) = ∫ x p −1e − x dx - гамма-функция, имеющая бесконечный верхний предел и разрыв II-го рода01при 0 < p < 1 в точке х = 0. Разобьем интеграл на две части: Γ( p) = ∫ x p −1e − x dx +0+∞∫xp −1 − xe dx и1исследуем каждый из них на сходимость.

Результат: интеграл сходится при р > 0.3. Интеграл по области.1. Мера ограниченной замкнутой области (фигуры).Самый общий процесс интегрирования имеет дело с некоторой определеннойфигурой Ф некоторого пространства, причем «пространство» понимается в самомшироком смысле: одномерное, двух-, трех-, n-мерное. Под фигурой соответственнопонимается: в одномерном пространстве – отрезок прямой; в двухмерном – линия наплоскости, ограниченная область на плоскости; в трехмерном – пространственная линия,поверхность, объемное тело; в n-мерном – n-мерное тело (см.

рис. 3.1.1).рис. 3.1.1.В дальнейшем будет важно следующее: в рассматриваемом пространстве вводитсяпонятие расстояния между любыми двумя точками пространства р1 и р2 как некоторогонеотрицательного числа ρ ( p1 , p2 ) ≥ 0 , обладающего свойствами:1. ρ ( p1 , p2 ) = 0 ⇔ p1 ≡ p2 ;2. ρ ( p1 , p2 ) = ρ ( p2 , p1 ) ;3. ρ ( p1 , p2 ) ≤ ρ ( p1 , p3 ) + ρ ( p2 , p3 ) - аксиома «треугольника».Кроме того, для любой рассматриваемой ограниченной фигуры Ф введем понятиемеры, подразумевая под мерой отрезка, плоской или пространственной кривой ихдлину, под мерой плоской области или поверхности в пространстве будем понимать ихплощадь, а за меру пространственного тела примем его объем. Меру фигуры Ф будемобозначать так: m (Ф)(1)С понятием площади как меры плоской области мы ознакомились раньше.Введем еще одно понятие:Диаметром фигуры Ф назовем наибольшее расстояние между точками фигуры, т.е.d (Φ ) = max ρ ( pi , p j )(2)∀pi , p j ∈ΦПусть, кроме того, на фигуре Ф пространства распределена некоторая величина,которой приходится определенное количество на всякую часть фигуры Ф.

Это можетмасса, электрический заряд, теплота, количество осадков и т.п. Т.к. при построенииМатематический анализ,Семестр 2, лекция 7,стр. 6 из 10математических моделей физическая природа этой величины нам несущественна, тобудем говорить, что на любой рассматриваемой фигуре Ф определена функция y = f (p).2.