lecture_04 (Лекции по математическому анализу)

Математический анализ,семестр 2, лекция 4,стр. 1 из 6Определенный интеграл.Свойства определенного интеграла. Основные теоремы интегральногоисчисления.1. Задача определения площади криволинейной трапеции.Рассмотрим задачу о вычисленииплощадиплоской фигуры, ограниченной плоской кривойy=f(x),определенной,непрерывнойинеотрицательной на некотором отрезке [a; b],ограниченной отрезком [a; b] и прямыми x = a, x = b.Разобьем [a; b] произвольным образом на nотрезков [ xi ; xi +1 ] длины ∆xi = xi +1 − xi , a = x0 < x1 < ... < xn = b .На любом отрезке произвольно выберем точку ξi и наотрезке, как на основании, построим прямоугольниквысотойf (ξi ) .Площадьодноготакогопрямоугольника равна f (ξi ) ⋅ ∆xi . Суммарная площадьвсех построенных прямоугольников приблизительно будет равна искомой площадикриволинейной трапеции aABb:n −1Sтр ≈ ∑ f (ξi ) ⋅ ∆xi(1)i =0Обозначим через d = max ∆xi .

Будем увеличивать число разбиений. Тогда сумма (1)будет все точнее выражать площадь криволинейной трапеции. Представляетсяестественным за искомую площадь принять предел суммы (1) при n →∞ и d →0, т.е.:S тр = lim ∑ f (ξi ) ⋅ ∆xi(2)n →∞id →02. Определенный интеграл как предел интегральной суммы.Определение 1. Интегральная сумма.Рассмотрим функцию y = f(x), определенную и непрерывную на [a; b].

Разобьем[a; b] произвольным образом на n частей точками x1 , x2 ,..., xn −1 , a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b и накаждом полученном отрезке ∆xi = xi +1 − xi произвольно выберем точку ξi и вычислимзначение функции в это точке. Составим сумму,n −1f (ξ 0 ) ⋅ ∆x0 + f (ξ1 ) ⋅ ∆x1 + f (ξ 2 ) ⋅ ∆x2 + ... + f (ξ n −1 ) ⋅ ∆xn −1 = ∑ f (ξ i ) ⋅ ∆xi(3)i =0называемую интегральной суммой для функции y = f(x) на отрезке [a; b].Определение 2.

Разбиение отрезка.Совокупность точек деления отрезка x0 , x1 ,..., xn и промежуточных точек ξ0 , ξ1 ,..., ξ nбудем называть разбиением отрезка, и обозначать буквой Т.Каждомуразбиениюсоответствуетопределеннаяинтегральнаясумма.Интегральная сумма есть функция, определенная на множестве разбиений.Математический анализ,семестр 2, лекция 4,стр. 2 из 6Обозначим через dT = max ∆xi - диаметр разбиения. Устремим n →∞, тогда dТ →0 иin −1f (ξ i ) ⋅ ∆xiвсе ∆xi → 0 , и возьмем предел интегральной суммы (3) : limn →∞ ∑dT → 0i =1Определение 3.

Определенный интеграл.Определенным интегралом от функции y = f(x) на отрезке [a; b] называется пределинтегральной суммы (3) при n →∞ и dТ →0 в предположении, что этот предел существуети не зависит от разбиения Т отрезка [a; b], т.е. от выбора точек x1 ,..., xn −1 и ξi , чтозаписывается так:blim ∑ f (ξ i ) ⋅ ∆xi = ∫ f ( x)dxn →∞d →0i(4)aОпределение 4. Интегрируемая функция.Если у функции y = f(x), определенной на отрезке [a; b], существует определенныйинтеграл, то она называется интегрируемой на отрезке [a; b].3. Теорема существования определенного интеграла.Напомним, что функция называется кусочно-непрерывной на [a; b], если этототрезок можно разбить на конечное число частей, на каждой из которых функциянепрерывна. Теорема существования формулируется так:Если функция y = f(x) ограничена и кусочно-непрерывна на [a; b], то онаинтегрируема на этом отрезке.Следствие.Интегрируемость непрерывной функции является частным случаем этой теоремы.Приведем пример неинтегрируемой на отрезке [a; b] функции.Пример:Рассмотрим функцию Дирихле0, x − иррациональноеD ( x) = 1, х − рациональноеВыбираем произвольное разбиение отрезка [a; b].

В каждом ∆xi существует хотя бы однарациональная точка. Если ее брать за ξi , то интегральная сумма будет равна∑ ∆xi= b − a . Натех же ∆xi найдутся и иррациональные точки, тогда интегральная сумма, отвечающая данномувыбору ξi , будет равна нулю. В этом случае предел интегральной суммы не существует.4. Свойства определенного интеграла.b1. Если y = f(x) ≥ 0 и a < b, то∫ f ( x)dx = S > 0есть площадь криволинейной трапеции.aa2.∫ f ( x)dx = 0 , т.к. все ∆xi=0.ab3. ∫ dx = b − a , т.к. интегральная сумма имеет видa∑ ∆xi= ∆x0 + ∆x1 + ... + ∆xn −1 = b − a .Математический анализ,семестр 2, лекция 4,стр. 3 из 6b∫4.aaf ( x)dx = − ∫ f ( x)dx , т.к.

все ∆xi меняют знак, если разбиение отрезка начинать отbточки b.5. Свойство линейности определенного интеграла.bbbaaa∫ [c1 f1 ( x) + c2 f 2 ( x)]dx = c1 ∫ f1 ( x)dx +c2 ∫ f 2 ( x)dx , если функции y = f1(x) и y = f2(x) интегрируемы на[a; b].Доказательство:Составим интегральную сумму для функции g ( x) = c1 f1 ( x) + c2 f 2 ( x) :∑ g (ξi ) ⋅ ∆xi = ∑ [c1 f1 (ξi ) + c2 f 2 (ξi )] ⋅ ∆xi = c1 ∑ f1 (ξi ) ⋅ ∆xi +c2 ∑ f 2 (ξi ) ⋅ ∆xi .iiiiПереходя к пределу при n →∞ и dТ →0 в интегральных суммах, получим требуемое.6. Свойство аддитивности определенного интеграла.bЕсли c ∈ [ a; b ] , a < c < b , то∫acbacf ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx .Доказательство:Для доказательства составим интегральную сумму∑для всего отрезка [a; b] иi∑',суммудобавив лишь новую точку деления с, если ее не было в суммеi∑.

Тогдаiвместо одного слагаемого в интегральной сумме появятся два новых; но т.к. каждоеслагаемое суммы стремится к нулю при n →∞, то если одна из интегральных сумм имеетпредел, то и другая имеет тот же предел, т.к. они отличаются друг от друга на бесконечномалую величину.7. Интегрирование неравенств.Если функции y = f(x) и y = g(x) интегрируемы на отрезкеbлюбого значения х из этого отрезка, то, следовательно,∫a[a; b] и f ( x) ≤ g ( x) дляbf ( x)dx ≤ ∫ g ( x)dx .aДоказательство:b∫ [ g ( x) − f ( x)] dx ≥ 0 , следовательно,Т.к.

f ( x) ≤ g ( x) , то g ( x) − f ( x) ≥ 0 , тогда по свойству 1abbaaпо свойству линейности ∫ g ( x)dx − ∫ f ( x)dx ≥ 0 ⇒bbaa∫ g ( x)dx ≥ ∫ f ( x)dx .Ч.т.д.8. Теорема об оценке определенного интеграла.Если функция y = f(x) непрерывна на [a; b], а M = max f ( x), m = min f ( x) , то[ a ;b ][ a ;b]bm(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a)(5)aДоказательство:Для непрерывной функции справедливо неравенство m ≤ f ( x) ≤ M , которое можнопроинтегрировать на отрезке [a; b]. При этом в силу свойства 7 неравенства сохраняются:bbbaaa∫ mdx ≤ ∫ f ( x)dx ≤∫ Mdx . Применяя свойства 3 и 5, получим требуемое неравенство.Математический анализ,семестр 2, лекция 4,стр.

4 из 69. Теорема о среднем для определенного интеграла.Если функция y = f(x) непрерывна на [a; b], то на этом отрезке найдется хотя быодна точка c О [a; b] такая чтоb∫ f ( x)dx = f (c)(b − a) ,(6)aт.е. определенный интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования назначение подынтегральной функции в специальным образом выбранной внутреннейточке.Доказательство:Формулу (5) перепишемb∫ f ( x)dxm≤≤Mab−aПо свойству непрерывных на отрезке функций можно утверждать, что функцияy = f(x) примет все промежуточные значения от m до M, т.е. найдется такая точка c ∈ [a; b] ,чтоbf (c ) =∫ f ( x)dxab−a.Ч.т.д.Геометрически теорему можно интерпретироватьследующим образом: если функция f ( x) ≥ 0 на [a; b], топлощадькриволинейнойтрапеции,выражаемаяопределенным интегралом, равна площади прямоугольника,опирающегося на [a; b] со специально выбранной высотойf(c) – см. рисунок.Замечание о среднем значении (факультативно).Если рассмотретьинтегрируемую на [a; b] функциюy = f(x) и отрезокинтегрирования разбить на n равных частей, так что все △ xi =△ x =b−anи взять nравноотстоящих ординат yi , то средним значением функции на отрезке [a; b] можноназвать∑yiin=∑'yi∑ y ⋅ ∆xii(b − a ) ∆x=ib−a= yср.При n → ∞ и ∆х → 0 выражение слева будет средним значением функции y = f(x) на[a; b],bт.е.

f (c) = yср =∫ f ( x)dxab−a.10. Переменную интегрирования можно обозначать произвольно, т.е.b∫abbaaf ( x)dx = ∫ f ( z )dz = ∫ f (t )dt...Математический анализ,семестр 2, лекция 4,стр. 5 из 65. Интеграл с переменным верхним пределом.Рассмотрим непрерывную на [a; b] функцию y = f(x) и интеграл, в котором верхнийпредел изменяется, т.е.xФ( x) = ∫ f ( x)dx ,(7)aгде x О [a; b ] и каждому x отвечает определенноезначение Ф( x) , т.е.

интеграл (7) является функциейпеременного верхнего предела. Геометрически интеграл (7)можно представить в виде меняющейся площадикриволинейной трапеции (заштрихованная область нарисунке).Теорема (о непрерывности интеграла по верхнемупределу)Если функция y = f(x) – непрерывна на [a; b], то функция Ф (х), определеннаяинтегралом (7), непрерывна на[a; b].Доказательство:Запишем приращение функции Ф (х):x +∆x∆ Ф ( x ) = Ф ( х + ∆х ) − Ф ( х ) =∫axaf ( x)dx − ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx +axx +∆x∫ax +∆xf ( x)dx =∫f ( x)dx =x= (по теореме о среднем (свойство 9) = f (с) ⋅ ∆x(8)lim ∆Ф( x) = lim f (c) ⋅ ∆x = 0 , что и доказывает непрерывность функции Ф (х) на [a; b].∆x → 0∆x → 0Теорема о дифференцировании интеграла с переменным верхним пределом(или о существовании первообразной у непрерывной функции) *.* Формулировка теоремы приведена также в Лекции 1.xЕсли функция y = f(x) непрерывна на [a; b], то функция Ф( х) = ∫ f ( x)dx являетсяaпервообразной для y = f(x), т.е.

Ф ( x) = f ( x) или, другими словами, производная интегралас переменным верхним пределом по этому пределу равна подынтегральной функции.Доказательство:Запишем приращение функции Ф (х) используя формулу (8):∆Ф = f (c) ⋅ ∆x , c ∈ [ x; x + ∆x] , тогда при △ x → 0 c → x , т.е.'limx →0∆Ф( x)= lim f (c) = f ( x) .∆x →0∆xЧ.т.д.6. Формула Ньютона-Лейбница (основная теоремаинтегрального исчисления)Формула устанавливает связь между первообразной функции y = f(x) иопределенным интегралом от этой функции.Основная теорема интегрального исчисления.Если функция y = f(x) непрерывна на [a; b] и ∫ f ( x)dx = F ( x) + C , тоМатематический анализ,семестр 2, лекция 4,стр.

6 из 6b∫ f ( x)dx = F (b) − F (a)(9)aДоказательство:Согласно предыдущей теореме у непрерывной функции y = f(x) существуетxпервообразная Ф( х) = ∫ f ( x)dx и, согласно условию, первообразная F(x), отличающаяся от Фa(х) на константу:xФ( х) = ∫ f ( x)dx = F ( x) + C для ∀x ∈ [a, b]aaПри х = а∫ f ( x)dx = 0 = F (a) + C , т.е. C = − F (a) ,abПри x = b∫ f ( x)dx = F ( x)x =b+ C = F (b) − F (a ) , ч.т.д.aπПример:π∫ sin xdx = ( − cos x ) 0 = − cos π + cos 0 = 20.