lecture_01 (Лекции по математическому анализу)

Математический анализ,семестр 2, лекция 1,стр. 1 из 5Неопределенный интеграл.1. Первообразная, неопределенный интеграл.Задачей дифференциального исчисления являлось нахождение производной илидифференциала данной функции. В интегральном исчислении решается обратнаязадача: по данной функции f(x) ищется такая функция F(x), чтобы F'(x) = f(x) или,dF = f(x)dx, т.е. другими словами, по данной производной или дифференциалу функциитребуется восстановить эту функцию.Примеры: Пусть f(x) = cosx.

Ясно, что эта функция есть производная от функции F(x) = sinx. Но вернымбудет и ответ F(x) = sinx + 3 или F(x) = sinx + c. Пусть f ( x) = x 2 − 1 . В этом случае сразу ответить на вопрос, чему равна F(x), непросто.Определение 1.Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), определеннойна интервале (a, b), если F(x) дифференцируема на (a, b) и F'(x) = f(x) или dF = f(x)dx.Замечание 1. Аналогично можно определить первообразную для функции,определенной на всей числовой оси или на полупрямой.Замечание 2. Существование первообразной для данной функции не означает, чтоэта первообразная выражается в конечном виде через элементарные функции. Так,например, для функции f ( x) = e− x , непрерывной на всей числовой прямой, существует22первообразная F(x), так что F '( x) = e- x , однако F(x) не может быть выражена комбинациейиз конечного числа элементарных функций.

Аналогично, это верно и для следующихфункций: f ( x) =sin x;xcos x;xex; sin x 2 ; cos x 2 .xИз приведенного выше примера ясно, что если F(x) является первообразной для f(x),то и функция F(x) + C, где C – произвольная постоянная, является первообразной для f(x).Как же связаны между собой первообразные для одной и той же функции f(x)? Ответ наэтот вопрос дает:Теорема о множестве первообразных.Если функция f(x) имеет в данном промежутке первообразную F(x), то всепервообразные заключены в выражении F(x)+С. Другими словами, любые двепервообразные данной функции отличаются друг от друга на константу.Доказательство:Пусть F(x) – первообразная для f(x), т.е.

F'(x) = f(x). Предположим, что существуетдругая первообразная F1(x) для f(x), т.е. F1'(x) = f(x). Тогда F1'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0 или[F1 (x) - F(x)]' = 0, следовательно, F1 (x) - F(x) = С, т.е. F1 (x) = F(x) + С.Определение 2.Пусть f(x) имеет в данном промежутке (a,b) первообразную F(x), так что F'(x) =f(x).Тогда F(x) + С является одним выражением для всех первообразных, и называетсянеопределенным интегралом от данной функции f(x), что обозначается∫ f ( x)dx = F ( x) + CТ.к.

действие интегрирования обратно по отношению к дифференцированию, топравильность интегрирования проверяется дифференцированием!Математический анализ,семестр 2, лекция 1,стр. 2 из 52. Свойства неопределенного интеграла.Прежде чем перейти к основным свойствам неопределенного интеграла, отметим(пока без доказательства) теорему о существовании первообразной, а, следовательно, инеопределенного интеграла у непрерывной функции.Теорема о существовании первообразной и неопределенного интеграла унепрерывной функции.Если функция f ( x) ∈ C (a, b) , то на ( a , b ) существует первообразная F(x) для даннойфункции и неопределенный интеграл.Из определения 2 вытекают следующие 2 свойства:Свойство 1.Тот факт, что F'(x) = f(x) можно переписать в виде ( ∫ f ( x)dx) ' = f ( x) или вдифференциалах из условия, что dF = fdx, следует, что d ( ∫ f ( x)dx) = f ( x)dx , т.е.

производнаяот неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, или дифференциал отинтеграла равен подынтегральному выражению.Свойство 2.∫ f ( x)dx = ∫ F '( x)dx = ∫ dF ( x) = F ( x) + C , т.е. интеграл от дифференциала функции равенэтой функции плюс постоянная.Эти два свойства означают, что стоящие рядом знаки∫и d взаимно «сокращаются»(в последнем случае следует лишь добавить const).Свойство 3 (свойство линейности неопределенного интеграла).Этосвойство∫ ( c1 f1 ( x) + c2 f 2 ( x) ) dx = c1 ∫ f1 ( x)dx + c2 ∫ f 2 ( x)dx .проверяетсядифференцированием левой и правой части равенства с использованием свойствлинейности дифференцирования.3. Таблица основных интегралов.Эта таблица получена как результат обращения таблицы производных основныхэлементов функций.1.∫x2.∫3.∫4.∫5.∫ sin6.∫ cos7.∫ s inαdx =x α +1+ c ,α ≠ − 1 ;α +1∫1dx = 2xx + c ;dx∫x1dx= ln x + c ; ∫dx = ln x ± a + c ;xx ± ae axax+ c ; ∫ e x dx = e x + c ; ∫ e α x dx =+ ca x dx =ln aαsin α xcos xdx = sin x + c ; ∫ cos α xdx =+ cαxdx = − cos x + c ;dx2xdx2x= tg x + c= − c tg x + c∫ sinα xdx = −cos α xα+ c21=− +cxМатематический анализ,семестр 2, лекция 1,стр.

3 из 58.dx∫a− x22= a rc s inxx+ c = − a rc c o s+ caadx1x1x9. ∫ 2=arctg+ c = −arcctg+ c2a + xaaaadx10. ∫x 2 ± a 2 + c , «длинный логарифм»= ln x +22x ± a11. ∫ 2 dx 2 = 1 ln x − a + c , «высокий логарифм»x − a2ax + a12.∫ s h xd x13.∫ chxdxdx∫ ch x14.2= ch x + c= shx + c= thx + cdx= − cth + csh 2 x15.∫16.∫ s in17.∫dxx= ln t gx+ c2πdxx= ln t g ( ++ ccos x24Пример:∫ (5 +2 x)2 dx =∫ (25 +20 x + 4 x 2 )dx = 25 x + 10 x 2 +4 x3+ c34. Методы интегрирования.1. Интегрирование подстановкой.Пусть функция x = j (t ) непрерывна и дифференцируема на некотором интервале, афункция f(x) имеет первообразную F(x), т.е.имеет первообразную F [ϕ (t )] , т.е.:∫ f ( x)dx = F ( x) + C , тогда функция f [ϕ (t )]ϕ '(t )∫ f [ϕ (t )]ϕ '(t )dt = F [ϕ (t )] + C(1)Доказательствоформулы(1)дифференцирования сложной функции:непосредственноследуетddd[ F (ϕ (t ))] = ⋅ F (ϕ (t )) ⋅ ⋅ ϕ (t ) = f [ϕ (t )] ⋅ ϕ '(t ) , т.е.

функция f [ϕ (t )] ⋅ ϕ '(t )dtdxdtпервообразной функцию F (ϕ (t )) , что и доказывает формулу (1).изправилаимеетсвоейПример: x= t 115  1cos5xdx= = ∫ cos tdt = sin t + C = sin 5 x + C∫55 dx = dt 5  5Часто бывает целесообразно применять подстановку в виде t = y ( x) , где y ( x) дифференцируемая функция и f ( x) = g [ψ ( x)]ψ '( x) , причем функция g(t) легкоинтегрируется,т.е.∫ f ( x)dx = G [ψ ( x)] + C .интеграл∫ g (t )dt = G(t ) + Cлегковычисляется.ТогдаМатематический анализ,семестр 2, лекция 1,стр. 4 из 5∫Пример: t= x dxdt2tdt=  x = t2  = ∫= 2∫= 2 ln t + 1 + C = 2 lnt (t + 1)t +1x (1 + x ) =2dxtdtx +1 + C2.

Подведение под дифференциал.Непосредственно с методом подстановки связан прием, называемый подведениемфункции под дифференциал. Этот метод следует из формулы (1)∫ f [ϕ (t )]ϕ '(t )dt = ∫ f [ϕ (t )]dϕ (t ) = ∫ f (u)du , который вычисляется.Пример:2 19902 199021990∫ 2(1 + х ) ⋅ х ⋅ dx = ∫ (1 + x ) d ( x + 1) = ∫ u du =u1991(1 + x 2 )1991+C =+C199119913. Использование свойства линейности интеграла.Пример:2x2121 1∫  x + x  dx = ∫  x + x + x 2 dx = 2 + 4 x − x + C3. Интегрирование по частям.Рассмотрим дифференцируемые функции u(x) и v(x), тогда справедлива следующаяформула:(2)∫ u ( x)dv( x) = u ( x)v( x) − ∫ v( x)du ( x) ,называемая формулой интегрирования по частям.

Формулу (2) можно записать и подругому:(2’)∫ u ( x)v '( x)dx = u ( x)v( x) − ∫ v( x)u '( x)dxДокажем формулу (2). Для этого найдем дифференциал произведения u ( x)v( x) :d (u ( x)v( x)) = v( x)du ( x) + u ( x)dv( x)Проинтегрируем полученное равенство:∫ d (uv) = ∫ vdu + ∫ udv или uv = ∫ vdu + ∫ udv или ∫ udv = uv − ∫ vdu .ч.т.д.Эта формула сводит вычисление интеграла∫ udvк вычислению интегралат vdu ,который в ряде случаев вычисляется проще, чем первый. С помощью формулы (2)вычисляются интегралы, содержащие произведения функций: arcsin x  sin x xPn ( x) ⋅  ; Pn ( x) ⋅ e ; Pn ( x) ⋅ arccos x  и т.п.cos x  arctgx Примеры: u = xdu = dx 1) ∫ x ⋅ cos xdx =  = x ⋅ sin x − ∫ sin xdx = x ⋅ sin x + cos x + Ccos xdx = dv v = sin x Математический анализ,семестр 2, лекция 1,стр. 5 из 5du = α eα x dx αxe=uαeα xJ = ∫ eα x sin β xdx = cos β x + ∫ eα x cos β xdx =cos β x  = −ββsin β xdx = dv v = −β du = α eα x dx αxeα xα  eα xα e =ucos β x + sin β x − ∫ eα x sin β xdx  =2) = sin β x  = −ββββcos β xdx = dv v = βeα xα2= 2 (α sin β x − β cos β x ) − 2 ⋅ Jββαxe(α sin β x − β cos β x) + C .α + β2В примере 2 после повторного применения формулы (2) получается исходный интеграл снекоторым коэффициентом.

Из полученного относительно J уравнения находим исходныйинтеграл. Подобным образом считаются интегралы ∫ eα x cos β xdx; ∫ sin(ln x)dx; ∫ cos(ln x)dx иОтсюда J =2другие.3) Примером на повторное применение формулы интегрирования по частям и возвращением кисходному интегралу может служить часто встречающийся интеграл∫x 2 + a 2 dx , которыйможно в дальнейшем отнести к табличным:xdx x 2 dx(x2 + a2 ) − a2 x 2 + a 2 = u du =222222  = x x2 + a2 −x+adx==xx+a−x +a ∫∫ x2 + a2∫ x 2 + a 2 dx = dx = duv=x= x x 2 + a 2 − ∫ x 2 + a 2 dx + a 2 ln x + x 2 + a 2∫x 2 + a 2 dx =⇒x 2a2x + a 2 + ln x + x 2 + a 2 + C22.