Учебно-методическое пособие, страница 6

Вычислить интеграл2 x 3  3x 2  8 x  8 x 4  2 x 3  4 x 2 dx .Решение. Подынтегральное выражение является правильной дробью.Для вычисления интеграла представим эту дробь в виде суммы простейшихдробей. Для этого сначала найдем корни знаменателя и разложим его намножителиx 4  2 x 3  4 x 2  x 2 ( x 2  2 x  4) .Тогда разложение на простейшие дроби имеет вид2 x 3  3x 2  8 x  8 2 x 3  3x 2  8 x  8 A BCx  D 2 2  2  2432x xx  2x  4xx ( x  2 x  4)x  2x  4Ax 3  2 Ax 2  4 Ax  Bx 2  2 Bx  4 B  Cx 3  Dx 2 ( A  C ) x 3  (2 A  B  D) x 2  (4 A  2 B) x x 2 ( x 2  2 x  4)x 2 ( x 2  2 x  4)Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х вчислителях, получаем AC  22 A  B  D  3, откуда А = 1, В = 2, С = 1, D = -1. 4 A  2B  84B  8Следовательно,2 x 3  3x 2  8 x  8dxdxx 1 x 4  2 x 3  4 x 2 dx   x  2 x 2   x 2  2 x  4dx .Дальнейшие вычисления провести самостоятельно.Пример 6.

Вычислить интегралx 2  5x  8dx .x 149Решение. Подынтегральное выражение является неправильной дробью.Для вычисления интеграла представим эту дробь в виде суммы многочлена иправильной дроби4x 2  5x  8x2(x4)dxdx 4 x  4 ln | x  1 | C . x 1x 121.5.4 Интегрирование тригонометрических выраженийИнтегрирование произведений синусов и косинусов от разныхаргументовИнтегралы вида sin x cos xdx,  sin x sin xdx,  cos x cos xdxвычисляются с применением формул1(sin(   ) x  sin(   ) x)21sin x sin x  (cos(   ) x  cos(   ) x)21cos x cos x  (cos(   ) x  cos(   ) x)2sin x cos x Пример1. sin 5x sin 3xdx 1111cos2xdxcos8xdxsin2xsin 8 x  C.22416Интегрирование произведений степеней синуса и косинуса содинаковыми аргументами sinnx cos m xdx .1.

n и m – целые числа, и хотя бы одно из чисел n, m – нечетное.50Замена t = sin x при нечетном m (или t = cos x при нечетном n).Пример 2. sin6x cos 5 xdx   sin 6 x cos 4 x cos xdx   sin 6 x(1  sin 2 x) 2 d sin x   t 6 (1  t 2 ) 2 dt Пример 3.t7t 9 t 11sin 7 xsin 9 x sin 11 x2 C 2 C.79 117911sin 4 xsin 4 xsin 4 xt4dxcosxdxdsinx cos x cos 2 x (1  sin 2 x) (1  t )(1  t ) dt 1  11 1t2 dt   (t  1)dt   ln | 1  t |  ln | 1  t |   t  C 2 1 t 1 t 221  1  cos x  cos 2 x cos x  C. ln2  1  cos x 22. n и m – четные положительные числа.

Можно понизить степенитригонометрических функций с помощью формулsin 2  1  cos 21  cos 2, cos 2  .221 1  cos 2 x sinxdxdx1  2 cos 2 x  cos 2 2 x dx  2 42Пример 4.3.411  cos 4 x( x  sin 2 x  dx 42x11 sin 2 x  x  sin 4 x  C428n и m – четные и хотя бы одно из них отрицательно, Подстановка t = tgx или t = ctg x.Пример 5.sin 2 xsin 2 x 1dx2224dx cos 6 x  cos 2 x cos 2 x cos 2 x   tg x(1  tg x)dtgx   (t  t )dt t3 t511 C  tg 3 x  tg 5 x  C.3535514.(n + m ) – четное отрицательное число.Подстановка t = tg x.Пример 6.dxcos x sin 3 xРешение. Поскольку n + m = -2 , то подстановка t = tg x.dxcos x sin 3 xdxcos 4 x tg 3 xdxcos 2 x tg 3 xd (tgx )tg 3 x12(tgx )C .( 1 2)Универсальная подстановкаФункция R(u, v) называется рациональной функцией двух переменных,если она представляет собой отношение многочленов двух переменныхP(u, v) и Q(u, v) :R(u, v) P(u, v).Q(u, v)Интегралы вида R(sin x, cos x)dx,гдеR(u, v) – рациональная функция, сводятся к интегралам отрациональных функций с помощью универсальной тригонометрическойподстановкиt  tgx,2Пример 7.2t1 t 22dtsin x , cos x , x  2arctgt , dx .221 t1 t1 t 21dtdtxdx2ln|t|Cln|tg| C sin x  2t  2  t2(1  t )2 1 t 52Частные подстановкиЕсли1.относительноподынтегральнаяR(sin x, cos x) нечетнафункцияsin x , т.е.R( sin x, cos x)   R(sin x, cos x) ,то можно использовать подстановку t  cos x .sin 3 xdx .Пример 8.

1  2 cos xРешение. Положим t  cos x .sin 3 xsin 2 x sin x(1  t 2 ) 1  2 cos x dx   1  2 cos x dx   1  2t dt .Доделать самостоятельно.Если2.подынтегральнаяR(sin x, cos x) нечетнафункцияотносительно cos x , т.е.R(sin x, cos x)   R(sin x, cos x) ,то можно использовать подстановку3. Еслиt  sin x .R( sin x, cos x)  R(sin x, cos x) ,то можно использовать подстановкуt  tgx .При этомt21dtsin x , cos 2 x , x  arctgt , dx ,221 t1 t1 t22Пример 9.Решение.1 sin 2 x  3cos 2 x dxПоскольку подынтегральное выражение не меняется призамене sin x на ( sin x) и cos x на ( cos x) , то положимt  tgx .5311dt11  11 dxdt2222 sin x  3 cos x  t t  3 2 3   t  3 t  3 dt 3 1 t1 t 2 1 t 2212ln | t 33 |  ln | t  3 |  C 12 3lntgx  3 C.tgx  31.5.5 Интегрирование дробно-линейных иррациональностейПусть R – рациональная функция, r1 ,…,rn – рациональные числа.Интегралы видаrn  ax  b  r1axb R x,  cx  d  ,...,  cx  d dxсводятся к интегралам от рациональной дроби заменойtm ax  b,cx  dгде m – наименьший общий знаменатель дробейr1 pnp1, … , rn .mnm1Приведем два частных случая интегрирования дробно-линейныхиррациональностей.1.

Интегралы вида Rx,nx dxсводятся к интегралам от рациональной дроби заменой x  t .n2. Интегралы видаR  x, ax  bn cx  d dxnсводятся к интегралам от рациональной дроби заменой t ax  bcx  d54Решение. Сделаем замену t x 1dx.xПример 1. Вычислить интеграл 2tdtx 1, тогда x  2 1 , dx  2. Тогдаx(t  1) 2t 1x 1 2t 2 dt1 1111dx   2   22x2  t  1 (t  1)t  1 (t  1) 2(t  1)x 1 x 1 1ln2xx1 t 111dt  ln2 t  1 2(t  1) 2(t  1)11 C.x 1x 121 21xxПример 2. Вычислить интегралx 3 x3xdx .1665Решение.

Замена t  x , тогда x  t , dx  6t dt . Тогдаx 3 x3xdx(t 6  3  t 3 )6t 5 dt369 6 (t 9  t 6  3t 3 )dt  t 10  t 7  t 4  C 2572t572369 x 3  x 6  x 3  C.5721.5.6 Интегрирование квадратичных иррациональностей с помощьютригонометрических (гиперболических) подстановокпосле Rx,Интегралы видавыделенияAx 2  Bx  C dxподзнакомрадикалаиспользования линейной подстановки t  x одного из следующих трех типов Rx,a 2  x 2 dx , Rx,полногоквадратаиBсводятся к интегралам2Aa 2  x 2 dx , Rx,x 2  a 2 dx .55После использования надлежащей тригонометрической подстановкиинтегралы этих трех типов сводятся к интегралам от функции, рационаьнозависящей от sin x и cos x .1. Rx,a 2  x 2 dx .x  a sin tПодстановка2. Rx,3. Rx,x  a  tgtx  a  tgtx(илиимеемx  a  ctgt ).x 2  a 2  a 2 (1  tg 2 t ) aadt; dx .cos tcos 2 tx 2  a 2 dx .Подстановка x Приx  a  sin ta 2  x 2 dxПодстановкаТогда приприdx  a  cos tdt .a 2  x 2  a 2 (1  sin 2 t )  a  cos t ,имеемdx  (или x  a cos t ).

Тогдаasin ta(илиsin txимеемx2  a2 acos t).a2 a2 2sin ta 2 (1  sin 2 t ) a cos t;sin tsin 2 ta cos tdta,tarcsin.xsin 2 tПример 3.x9  x 2 dx.Решение. Это интеграл видазамену Rx,a 2  x 2 dx , поэтому используемx  3 sin t .22 x 9  x dx   3sin t  3 cos t  3 cos tdt  27 cos t  d (cos t )  27( 9  x 2 )31C (9  x 2 ) 2  C .2733 9Пример 4.x2  4dxxТогдаcos 3 t C  9 cos 3 t  C 356Решение.

Это интеграл видаx  2tgt . Тогда Rx,x 2  2 2  2 (1  tg 2 t ) a 2  x 2 dx , используем замену22dt; dx cos tcos 2 tи, следовательно,x2  422dt1sin t  dtdudx   2dt  2 22222xcos t  2tgt cos tsin t  cos tsin t  cos t(1  u 2 )u 2где u  cos t .Представив подынтегральную функцию в виде суммыпростейших 2,дробей,получим:du11 21 u 2   2 C dx   ln1 u 1 u u1 uu (1  u )(1  u )u221  sin t2 9  x29  x2  x lnC  ln C.sin t1  sin tx9  x2  xНа последнем шаге пользуемся равенством sin t Пример 5.dxxx2  91  tg 2 tx9  x2.dxРешение. Это интеграл видаиспользуем замену x x 2  32 tgt32 32 2sin t Rx,x 2  a 2 dx , поэтому33.

Тогда t  arcsin ,sin tx32 (1  sin 2 t ) 3 cos t,sin tsin 2 tdx  3 cos tdt.sin 2 tСледовательноxdxx2  9dx  sin t  sin t (3 cos t )dtdt  t13    C arcsin  C .2333x3  3 cos t sin tПри вычислении интегралов вида Rx,a 2  x 2 dx , Rx,a 2  x 2 dx , Rx,x 2  a 2 dx .свести подынтегральную функцию к рациональной можно также спомощью гмперболических подстановок.57Напомним,следующим образом.чтогиперболическиефункцииопределяютсяe x  exshx – гиперболический синус;2e x  exchx – гиперболический косинус;2shx– гиперболический тангенс.chxНетрудно проверить, что справедливы соотношения:thx ch 2 x  sh 2 x  1 ; ch 2 x  sh2 x  ch(2 x) ;(chx)  shx ; (shx)  chx .sh(2 x)  2shx  chx ;Глядя на эти равенства, нетрудно догадаться, какую подстановку нужноиспользовать при вычислении интеграла с квадратичной иррациональностью.При этом, если x  sht , то dx  cht  dt и t  ln( x  x 2  1) .Пример 6.9  x 2 dx.Решение.