Семенов С.А. Планирование эксперимента в химии и химической технологии. Том 2

Федеральное агентство по образованиюМосковская Государственная академия тонкой химическойтехнологии им. М.В.ЛомоносоваКафедра Химии и технологииредких и рассеянных элементовим. проф. К.А.БольшаковаС.А.СЕМЕНОВПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА В ХИМИИ И ХИМИЧЕСКОЙТЕХНОЛОГИИ(часть 2)Учебное пособиеМосква, 2005 г.www.mitht.ru/e-libraryББК 24:30.606:В6УДК 66-9.001.4/.5:65.012.2Рецензент: проф. Закгейм А.Ю.

(МИТХТ, кафедра общей химической технологии)Семенов С.А.Планирование эксперимента в химии и химической технологии (часть 2).Учебное пособие.М.: МИТХТ им. М.В.Ломоносова, 2005 - 29 с.: ил.Утверждено Библиотечно-издательской комиссией МИТХТ им. М.В.Ломоносова вкачестве учебного пособия.Настоящее учебное пособие является продолжением пособия, опубликованногов 2001 г. Изложены методы оптимального планирования эксперимента в химии и химической технологии. Методы иллюстрируются примерами расчетов.

Учебное пособие рекомендовано для студентов 5-го курса, обучающихся по дисциплине «Планированиеэксперимента» для направления 551600 и студентов 5-го курса, обучающихся по специальности 072200 «Метрология, стандартизация и сертификация (по отраслям)»дневной формы обучения. МИТХТ им. М.В.Ломоносова, 20052www.mitht.ru/e-libraryОглавлениеУсловные обозначения и сокращения …………….……………….3Введение …………………………………………………..…………….41. Функция желательности ……………………………………..…42. Сложные планы ……………………………………………...…14Латинские и греко-латинские квадраты ……………………....14Факторный эксперимент 22k, совмещенный слатинским квадратом ……………………………….……………183. Ортогональные насыщенные планы Плакетта-Бермана ..23Литература …………………………………………………………….27Условные обозначения и сокращенияПФЭ – полный факторный эксперимент.ДФЭ – дробный факторный эксперимент.bi – коэффициент уравнения регрессии.D – обобщенная функция желательности.d – частная функция желательности.k – количество факторов.l – число уровней.N – количество опытов.sвоспр.

– дисперсия воспроизводимости.t – критерий Стьюдента.xi – фактор.yj – функция отклика.3www.mitht.ru/e-libraryВведениеНастоящее учебное пособие является продолжением пособия, опубликованного в 2001 г. [1]. Ранее [1] были рассмотрены общие сведения обэксперименте, экспериментально-статистические модели, в том числе полный факторный эксперимент (ПФЭ), метод дробных реплик, устранениевлияния временного дрейфа, дана интерпретация полученной модели;рассмотрены методы оптимизации, в том числе метод крутого восхождения и симплексный метод, рассмотрено исследование области оптимальных условий на примере ортогонального центрального композиционногопланирования, рассмотрено планирование эксперимента при изучениидиаграмм состав- свойство, в том числе метод симплексных решеток, симплекс-решетчатые планы Шеффе.1. Функция желательностиЗадачу оптимизации процессов, характеризующихся несколькими откликами, обычно сводят к задаче оптимизации по одному критерию с ограничениями в виде равенств или неравенств.

В зависимости от вида поверхности отклика и характера ограничений, для оптимизации предлагается использовать методы неопределенных множителей Лагранжа, линейного и нелинейного программирования, ридж-анализ [2, 3] и др. К недостаткам этих способов решения задачи оптимизации следует отнести вычислительные трудности. В частности, при описании поверхности отклика полиномами второго порядка решение задачи на условный экстремум с применением неопределенных множителей Лагранжа приводит к необходимостирешать систему нелинейных уравнений. Поэтому одним из наиболее удачных способов решения задачи оптимизации процессов с большим количеством откликов является использование предложенной Харрингтоном [4] вкачестве обобщенного критерия оптимизации так называемой обобщенной4www.mitht.ru/e-libraryфункции желательности D.

Для построения обобщенной функции желательности D предлагается преобразовать измеренные значения откликов вбезразмерную шкалу желательности d. Построение шкалы желательности,которая устанавливает соотношение между значением y и соответствующим ему значением d (частной функции желательности), является в своейоснове субъективным, отражающим отношение исследователя (потребителя) к отдельным откликам.Для построения шкалы желательности удобно использовать метод количественных оценок с интервалом значений желательности от нуля доединицы, хотя возможны и другие варианты шкалы. Значение d=0 (илиD=0) соответствует абсолютно неприемлемому значению данного отклика,а d=1 (D=1) - самому лучшему значению отклика, причем дальнейшееулучшение его или невозможно, или не представляет интереса.

Промежуточные значения желательности и соответствующие им числовые отметкиприведены в табл. 1.Таблица 1.Базовые отметки шкалы желательностиКоличественная отметкаЖелательность значенияна шкале желательностиотклика0.81.00Очень хорошо0.630.80Хорошо0.370.63Удовлетворительно0.200.37Плохо0.000.20Очень плохоТакой выбор числовых отметок объясняется удобством вычислений, поскольку5www.mitht.ru/e-library11d  0.63  1  ; d  0.37 ee(1.1)Построенная в соответствии с табл. 1 шкала d представляет собой безразмерную шкалу, при помощи которой любой отклик может быть преобразован так, чтобы его можно было интерпретировать в терминах полезностиили желательности для любого специфического применения.Простейшим типом преобразования служит такое, в котором существует верхний и (или) нижний пределы, причем эти пределы являютсяединственным и не допускающим изменений критерием качества.

Вне этихпределов значение d=0.0, между ними значение d=1. Частная функция желательности при одностороннем ограничении имеет вид (рис.1,а).0, y<ymind=(1.2)1, yyminАналогичным образом получается частная функция желательности, если задается ограничение сверху. Если для данного свойства существуетдвустороннее ограничение, то частная функция желательности будет выглядеть следующим образом (рис.1,б).0,y<ymin и y>ymaxd=(1.3)1,yminyymaxВсегда желательно, чтобы значение отклика находилось не только между заданными пределами, но и на определенном расстоянии от них, чтобыпротивостоять присущим производственному процессу случайным колебаниям. Кроме того, довольно трудно бывает провести точную пограничнуюлинию между приемлемой и неприемлемой продукцией.

Поэтому в общемслучае преобразование y в d осуществляется по более сложным законам.6www.mitht.ru/e-libraryd1**yy min0ad10**y miny maxyбРис.1. Простейший случай задания частной функциижелательностиДля двустороннего ограничения видаyminyymaxпреобразование измеренного отклика y в шкалу d (рис.2) производится припомощи выраженияd  exp[ ( y' ) n ],(1.4)где n - положительное число (0<n<) не обязательно целое;y' 2 y  ( y max  y min );y max  y min7www.mitht.ru/e-library(1.5)показатель степени n можно вычислить, еслизадать некоторому значению y значение d(предпочтительно в интервале 0.6<d<0.9) поформулеnln(ln1/ d),ln y'(1.6)Задавая при помощи контрольной точкиРис.2.Функция желательностидля двустороннегоограничения.крутизну кривой желательности, можно учестьособую важность отдельных свойств; для нихn будет иметь большее значение, и маломуизменению свойства вблизи ограничивающихпределов будет соответствовать резкое изменение желательности.

Показатель степени n определяет наклон кривой, и когда n становится большим, кривая приближается к своей предельной форме (см. рис.1,б): d=0вне заданных пределов и d=1 между этими пределами. Если нет заданныхпределов, целесообразно дать статистическую оценку n по ряду значенийy и соответствующих d.Для односторонних ограничений вида yymax или yymin более удобнойформой преобразования y в d служит другая экспоненциальная зависимость (рис.3):d=exp[-exp(-y')],(1.7)В выражении (1.7)y'=b0+b1y(1.8)Коэффициенты b0 и b1 можно определить, еслиРис.

3. Функция желательностидля свойства, ограниченногос одной стороны.8www.mitht.ru/e-libraryзадать для двух значений свойства y соответствующие значения желательности d предпочтительно в интервале 0.2<d<0.8.Нелинейное преобразование y в y' применяется, если данное свойствоимеет особую важность, нарушение условий недопустимо и малому изменению свойства вблизи ограничивающего предела соответствует резкоеизменение желательности. Односторонняя спецификация наиболее частовстречается на практике.Имея несколько откликов, преобразованных в шкалу d, можно при помощи арифметических операций скомбинировать из этих различных d некий обобщенный показатель желательности D. При этом, если какой-либоодин отклик является абсолютно неудовлетворительным, обобщеннаяфункция желательности D должна быть равна 0 независимо от уровня остальных откликов.

Математическим выражением, отвечающим этим требованиям, служит среднее геометрическое частных функций желательности,т.е.D  k d1d 2 ...  d k .(1.9)Очевидно, что если какое-либо одно di=0, то соответствующее D=0. Более того, на D сильно влияют именно наименьшие значения di. В то жевремя D=1 только тогда, когда все частные желательности di=1 (i=1, 2, …,k). Важно еще то, что (1.9) позволяет применить к частным желательностям и обобщенному показателю единый способ задания базовых отметокшкалыжелательности,представленныйвтабл.1,таккакеслиd1=d2=…=dk=0.37, то и D=0.37 и т.д.

С обобщенной функцией желательности D можно проделывать все вычислительные операции, как и с любымоткликом системы, можно использовать D в роли критерия оптимизациипри исследовании и оптимизации процесса. Следует иметь в виду, чтомножество возможных значений D ограничено: 0D1.9www.mitht.ru/e-libraryПример 1.1. Функция желательности была применена при разработкекомпозиции нового полимерного материала на основе полиэтилена высокого давления.

В качестве откликов были использованы: y1 - модуль упругости при изгибе, кгс/см2; y2 - разрушающее напряжение при разрыве,кгс/см2; y3 - относительное удлинение при разрыве, %, и D - обобщеннаяфункция желательности. Покажем последовательность расчетов при определении D.Для сравнительной оценки качества различных композиций обобщеннуюфункцию желательности определяли по формулеD  3 d1  d 2  d 3 ,(1.10)где d1, d2 и d3 - частные функции желательности.Для построения частных функций желательности необходимо сначалаустановить преобразование измеренных свойств y в безразмерную равномерную шкалу y'. Ограничения при этом носят характер yymin.

Разрабатываемый материал должен удовлетворять заданным требованиям по тремпоказателям качества, которые предусматривают пригодность его к переработке и эксплуатации. Исходя из этих требований, были выбраны значения y1, y2 и y3, соответствующие двум базовым отметкам на шкале желательности (табл.1). Преобразование отклика y в частную функцию желательности имеет вид (1.7). Коэффициенты b0 и b1 определялись по даннымтаблицы 2.Подставим значение d в уравнение (1.7):0.63=exp[-exp(-y'1)] и 0.2=exp[-exp(-y'1)],1/0.63=1.587=exp[exp(-y'1)] и 1/0.2=5=exp[exp(-y'1)]. (1.11)Дважды логарифмируя выражения (1.11), получим-y'1=ln(ln1.587) и -y'1=ln(ln5)или-y'1=-0.755 и -y'1=0.326.10www.mitht.ru/e-library(1.12)Таблица 2.Значения числовых отметок по шкале желательности dy1, кгс/см2y2, кгс/см2y3, %Значениесвойств430320110602001000.630.20.630.30.630.2Числовыеотметкипо шкалежелательности dТогдаb0+430b1=0.755,b0+320b1=-0.326.(1.13)Решение системы (1.13) дает b1=0.0098, b2=-3.445.Таким образом, частная функция желательности имеет видd1=exp[-exp(-3.445+0.0098y1)].(1.14)Аналогично получены частные функции желательности d2 и d3:d2=exp[-exp(-1.45+0.02y2)],d3=exp[-exp(-1.25+0.01y3)].(1.15)Для всех композиций (таблица) частные функции желательности можноопределять по формулам (1.14), (1.15).