hsm2 (Расчет сейсмограмм для плоской однородной земли), страница 4

Масштабы по вертикальной оси различны у разных сейсмограмм.Приложение. Замечание о сейсмическом источникеМатематика сейсмического источника. Мультипольное разложение. Уравнениятеории упругости для однородного изотропного тела имеют вид(П.1)ρüi = cijkl ∂j ∂l uk + fi ,где ρ — плотность тела, ui — вектор смещения, cijkl = λδij δkl + µ(δik δjl + δil δjk )— тензор Гука, fi — плотность внешних сил.18Запишем решение этих уравнений через функцию Гринаui (t, x) = d3 y Gik (t, x, y) ∗ fk (t, y),где посредством оператора “звездочка” обозначена свертка по времени.Мультипольное разложение получится, если разложить функцию Грина по yвблизи некоторой точки zGik (t, x, y) = Gik (t, x, z) + (y − z)α∂Gik (t, x, z) + . . . ,∂zαи подставить в формулу для u∂3Gik (t, x, z) ∗ d3 y (y − z)α fk (t, y) + .

. .ui (t, x) = Gik (t, x, z) ∗ d y fk (t, y) +∂zαИнтегралFk (t) =d3 y fk (t, y)имеет смысл полной внешней силы, а интегралNi (t) = εijk d3 y (y − z)j fk (t, y)— полного момента внешних сил. В теории сейсмического источника считается,что полная внешняя сила и полный момент внешних сил равны нулю, посколькуземлетрясение — явление внутреннее. При полной силе, равной нулю, моментопределяется однозначно, независимо от точки z, так как3Ni (t) = εijk d y (y − z )j fk (t, y) = εijk d3 y (y − z)j fk (t, y)+3+ εijk (z − z )j d y fk (t, y) = εijk d3 y (y − z)j fk (t, y) = Ni (t).Первый неисчезающий член в разложении смещения на расстояниях, значительнобольших размеров очага, имеет вид(П.2)ui (t, x) =∂Gik (t, x, z) ∗ Mjk (t),∂zjгде1d3 y [(y − z)j fk (t, y) + (y − z)k fj (t, y)]Mjk (t) =2называется тензором сейсмического момента.

Он определяется однозначно, независимо от точки z, по тем же причинам, что и N .Подставляя решение в форме (П.2) в уравнение (П.1), находим, что сейсмическому источнику-тензору момента соответствует плотность внешних силfi (t, x) = Mik (t)∂∂δ(x − z) = −Mik (t)δ(x − z),∂zk∂xkгде z — место расположения источника.19Условия скачка на источнике. Обычно при решении задач теории упругостиприменяются интегральные преобразования исходного уравнения (П.1) по частипеременных, так что для образов получается система обыкновенных дифференциальных уравнений. Наличие точечного источника учитывается наложением соответствующих условий скачка как на сами образы, так и на их производные.Выясним, какие условия скачка соответствуют источнику-тензору момента.Для упрощения обозначений введем скорости продольных и поперечных волн2= µ/ρ, а также их отношение γ = v /v⊥ и новое время τ = v t.v2 = (λ + 2µ)/ρ, v⊥Уравнение (П.1) в новых обозначениях принимает вид(П.3)γ 2 üi = (γ 2 − 1)∂i ∂j uj + ∂j2 ui + fi /µ.Будем считать, что источник находится в начале координат, декартовы координаты будем обозначать x, y и z.

Предположим, что мы сделали преобразованиеЛапласа по времени и преобразования Фурье по координатам x и y (обычная ситуация при решении задач для полупространства, предполагаются также нулевыеначальные условия)Ui (ω, kx, ky , z) =∞−ωtdt e0dx dy e−i(kx x+ky y) ui (t, x, y, z).Уравнение для образов получается, если заменить в (П.3) производную по временина ω, а производные по координатам ∂i → iki + ni ∂z , где n — единичный вектор внаправлении z:(П.4) ω 2 γ 2 Ui = (γ 2 − 1)[−ki kj + i(ki nj + kj ni )∂z + ni nj ∂z2 ]Uj ++ (−k 2 + ∂z2 )Ui − Mij (ikj + nj ∂z )δ(z)/µ.Мы приведем два способа получения условий скачка. Первый основан на интегрировании уравнения (П.4) по отрезку [−ε, ε] и переходе затем к пределу ε → +0.Члены, содержащие производные, интегрируются явно, а оставшиеся интегралыс U в пределе дают нуль.

Мы получаем(П.5)i(γ 2 − 1)(ki nj + kj ni )∆Uj + [(γ 2 − 1)ni nj + δij ]∆∂z Uj − iMij kj /µ = 0.Это дает три условия. Еще три условия получим, домножив уравнение (П.4) на zи проинтегрировав, как раньше. После интегрирования по частям в членах с производными часть интегралов вычислится явно, оставшиеся дадут нуль в пределе.Мы найдем(П.6)[(γ 2 − 1)ni nj + δij ]∆Uj − Mij nj /µ = 0.Эти же условия можно получить другим способом. При z = 0 уравнение (П.4)однородное. Пусть решение при z > 0 есть U + (z), а решение при z < 0 — U − (z).Тогда решение на всей прямой можно записать в видеUi (z) = Ui+ (z)θ(z) + Ui− (z)θ(−z).20Подставим это решение в уравнение (П.4).

Члены, в которых дифференцируютсятолько функции U ± (z) в сумме дадут нуль, так как U ± (z) удовлетворяют однородным уравнениям. Останутся члены, в которых один или два раза дифференцируются θ(±z). Эти члены пропорциональны δ(z) и δ (z) соответственно иобъединяются с членами за счет источника(П.7)i(γ 2 − 1)(ki nj + kj ni )∆Uj (z)++ 2[(γ 2 − 1)ni nj + δij ]∆∂z Uj (z) − iMij kj /µ δ(z)+2+ [(γ − 1)ni nj + δij ]∆Uj − Mij nj /µ δ (z) = 0,где ∆U (z) = U + (z) − U − (z), ∆∂z U (z) = ∂z U + (z) − ∂z U − (z). Уравнение (П.7) имеетвид(П.8)f (z)δ(z) + g(z)δ (z) = 0,где f и g — гладкие функции. Можно было бы подумать, что f (0) = 0, g(0) = 0, ноэто неверно.

По определению обобщенная функция задается правилами интегрирования с гладкими функциями. Равенство (П.8) означает, что для любой гладкойфункции ϕ(z)[f (z)δ(z) + g(z)δ (z)]ϕ(z) dz = 0.Интегрируя во втором слагаемом по частям, получимϕ(0)[f (0) − g (0)] − ϕ (0)g(0) = 0.Поскольку ϕ(0) и ϕ (0) независимы, тоf (0) − g (0) = 0,g(0) = 0.Если мы применим найденное правило к (П.7), то получим (П.5) и (П.6).Решим уравнения (П.5) и (П.6) относительно ∆U и ∆∂z U . Для этого нужнообратить матрицу (γ 2 − 1)ni nj + δij . Обратная к ней равна (1/γ 2 − 1)ni nj + δij ,поэтому(П.9)∆Ui = [(1/γ 2 − 1)ni nj + δij ]Mjl nl /µ,∆∂z Ui = i(1/γ 2 − 1)(ki nj + kj ni )Mjl nl /µ++ i[(1/γ 2 − 1)ni nj + δij ]Mjl kl /µ.Условие скачка производной ∆∂z U можно переписать в виде условия скачкаобраза напряжения Σ. Тензор напряжений имеет вид σij = cijkl ∂k ul , поэтомуобразы его iz-компонент равныΣij nj = µ i[(γ 2 − 2)ni kl + ki nl ]Ul + [(γ 2 − 1)ni nl + δil ]∂z Ul .21Условие скачка для напряжений выглядит следующим образом(П.10)∆Σij nj = i[(2/γ 2 − 1)ki (np Mpq nq ) − ni (kp Mpq nq ) + Miq kq ].Приведем еще явную покомпонентную запись условий скачка смещения и напряжения∆Ux = Mxz /µ, ∆Uy = Myz /µ, ∆Uz = Mzz /(µγ 2 ),∆Σxz = i (2/γ 2 − 1)kx Mzz + Mxx kx + Mxy ky ,∆Σyz = i (2/γ 2 − 1)ky Mzz + Mxy kx + Myy ky ,∆Σzz = 0.Физика сейсмического источника.

Теорема представления и подвижкапо разрыву. Рассмотрим уравнение (П.1) в некоторой области V с границей Γ(см. рис. П.1) в отсутствие внешних сил. Сделаем преобразование Лапласа повремени, предполагая нулевые начальные условия. Тогда уравнение (П.1) перепишется в видеρω 2 ui (ω, x) = cijkl ∂j ∂l uk (ω, x).Уравнение для соответствующей функции Грина G выглядит такρω 2 Gip (ω, x, y) = cijkl ∂j ∂l Gkp (ω, x, y) + δip δ(x − y).Имеем23Gip (ω, x, y)ui (ω, x)d x =Gip (ω, x, y)cijkl ∂j ∂l uk (ω, x)d3 x =ρωVVGip (ω, x, y)nj cijkl ∂l uk (ω, x)dSx −∂j Gip (ω, x, y)cijkl ∂l uk (ω, x)d3 x ==ΓV=Gip (ω, x, y)nj cijkl ∂l uk (ω, x)dSx − ∂j Gip (ω, x, y)nl cijkl uk (ω, x)dSx +ΓΓcijkl ∂l ∂j Gip (ω, x, y)uk (ω, x)d3 x =Gip (ω, x, y)nj cijkl ∂l uk (ω, x)dSx −+VΓ− ∂j Gip (ω, x, y)nl cijkl uk (ω, x)dSx + (ρω 2 Gkp (ω, x, y)−δkp δ(x−y))uk (ω, x)d3 x =ΓVGip (ω, x, y)nj cijkl ∂l uk (ω, x)dSx − ∂j Gip (ω, x, y)nl cijkl uk (ω, x)dSx +=ΓΓ+ ρω 2Gkp (ω, x, y)uk (ω, x)d3 x − up (ω, y).VИтакup (ω, y) =ΓGip (ω, x, y)nj cijkl ∂l uk (ω, x)dSx −Γnl cijkl ∂j Gip (ω, x, y)uk (ω, x)dSx .Это и есть теорема представления для образов.

В правую часть входят смещения uk и нормальные напряжения σin = nj cijkl ∂l uk только на границе Γ. Чтобы22+−VnΓРис. П.2. Внутренний разрывРис. П.1. К теореме представленияполучить теорему представления во временной области, надо просто заменить произведения свертками(П.11) up (t, y) =ΓGip (t, x, y) ∗ σil (t, x)nl dSx −Γnl cijkl ∂j Gip (t, x, y) ∗ uk (t, x)dSx .Рассмотрим неограниченную область с поверхностью внутреннего разрыва (илиограниченную область, но возьмем функцию Грина, удовлетворяющую граничнымусловиям на внешней границе). Тогда в формуле (П.11) в правой части будутлишь интегралы по берегам разрыва.

Вообще говоря, мы не можем задать независимо смещения и напряжения на разрыве — это противоречило бы общей теорииуравнений в частных производных. Имеется, однако, частный случай, когда вправой части (П.11) остаются только смещения на разрыве. Это случай, когданормальные напряжения на разрыве непрерывны. Конечно, такое предположениепротиворечит физической картине образования и распространения разрыва, однако оно математически вполне корректно и удобно для “кинематического” описанияземлетрясений. Пометим одну из сторон разрыва как “положительную”, другаябудет “отрицательной” (см.