lamb2 (Двумерная задача Лэмба. Метод Каньяра)

ДВУМЕРНАЯ ЗАДАЧА ЛЭМБА. МЕТОД КАНЬЯРАД. В. ПерегудовПостановка задачиНа двумерные задачи можно смотреть двояко. Обычно считают, что двумерныезадачи — это трехмерные задачи, в которых все величины не зависят от одной издекартовых координат. Иногда говорят, что это задачи с линейными источниками.Можно, однако, считать двумерные задачи самостоятельными. Мы принимаемвторую точку зрения, в связи с чем ниже всюду будет использоваться “двумерная”терминология.PyxК постановке задачи.Рассмотрим однородную изотропную упругую полуплоскость со свободной границей.

Будем считать, что ось x декартовой системы координат направленавнутрь полуплоскости, а ось y — вдоль границы. Распространение волн в полуплоскости описывается уравнениями теории упругостиρüi = cijkl ∂j ∂l uk ,где ρ — плотность, ui (t, x, y) — вектор смещения, cijkl = λδij δkl + µ(δik δjl + δil δjk )— тензор Гука. Индексы i, j, k, l пробегают значения x и y. Внешние объемныесилы отсутствуют. На свободной границе обращаются в нуль xx- и xy-компонентытензора напряженийσij = cijkl ∂l uk .В начальный момент времени t = 0 к началу координат на свободной поверхностиприложили сосредоточенную импульсную силу (с импульсом P ), направленную1Typeset by AMS-TEX2вдоль оси x. Выпишем явно покомпонентно уравнения, начальные и граничныеусловияρüx = (λ + µ)∂x (∂x ux + ∂y uy ) + µ(∂x2 + ∂y2 )ux ,ρüy = (λ + µ)∂y (∂x ux + ∂y uy ) + µ(∂x2 + ∂y2 )uy ,(1)ux (0, x, y) = 0,uy (0, x, y) = 0,u̇x (0, x, y) = 0,u̇y (0, x, y) = 0,σxx (t, 0, y) = (λ + 2µ)∂x ux + µ∂y uy = −P δ(y)δ(t),σxy (t, 0, y) = µ(∂x uy + ∂y ux ) = 0.Заметим, что в граничное условие для σxx входит P со знаком минус.

Это связанос тем, что объемная упругая силаfi = ∂j σij .Интегрируя это равенство по объему, ограниченному поверхностью Γ, и применяятеорему Гаусса, получим для силы, действующей на весь объем, формулуσij nj dS,Fi =Γгде n — внешняя нормаль. Поскольку у нас ось x направлена внутрь полуплоскости, то нормаль имеет отрицательную x-компоненту, и σxx будет отрицательнадля силы, направленной по x.2=Удобно ввести скорости продольных и поперечных волн v2 = (λ + 2µ)/ρ, v⊥µ/ρ, а также их отношение γ = v /v⊥ и новое время τ = v t.

Система (1) переписывается в видеγ 2 üx = (γ 2 − 1)∂x (∂x ux + ∂y uy ) + (∂x2 + ∂y2 )ux ,γ 2 üy = (γ 2 − 1)∂y (∂x ux + ∂y uy ) + (∂x2 + ∂y2 )uy ,(2)ux (0, x, y) = 0,uy (0, x, y) = 0,u̇x (0, x, y) = 0,u̇y (0, x, y) = 0,σxx (τ, 0, y) = µ[γ 2 ∂x ux + (γ 2 − 2)∂y uy ] = −P v δ(y)δ(τ ),σxy (τ, 0, y) = µ(∂x uy + ∂y ux ) = 0,где точкой обозначается теперь дифференцирование по τ . Задача (2) называетсядвумерной задачей Лэмба.Исторический очеркВпервые задача в приведенной выше постановке появилась в статье Лэмба1904 г. [1].

Следует отметить, что одновременно на эту работу ссылаются как напервую работу, в которой интегральные преобразования были применены в теорииупругости. Лэмбу удалось получить явные выражения, но только для смещения награнице. В трехмерной задаче ему удалось получить смещения на границе в виде3однократного интеграла. По-видимому, впервые явные выражения для смещенияво всей полуплоскости были получены Смирновым и Соболевым в 1932 г.

[2] спомощью метода функционально-инвариантных решений. Годом позже Смирнови Соболев [3] получили решение трехмерной задачи (во всем полупространстве) ввиде однократного интеграла от алгебраической функции по некоторому контурув комплексной плоскости.Для переполучения результатов Смирнова и Соболева методом интегральныхпреобразований понадобилось еще шесть лет. В 1939 г. Каньяр опубликовал монографию [4], в которой подробно рассмотрел отражение и преломление сферическойволны на границе раздела двух полупространств.

Для вычисления обратных интегральных преобразований ему пришлось придумать метод, ныне носящий его имя,а знаменитый “путь Каньяра” впервые появился на рис. 13 главы V его книги. Каньяр рассматривал только трехмерный случай и получил выражения для решенияво всем пространстве.Насколько можно судить, работа Каньяра и исследования советской школы проводились независимо. В 1950 г. Петрашень, Марчук и Огурцов опубликовалиработу [5], в которой переполучали результаты Смирнова и Соболева методом интегральных преобразований.

Справедливости ради заметим, что они применилинесколько иную, чем Каньяр, технику обращения интегральных преобразований,основанную не на деформации контура, а на изменении порядка интегрирования(в связи с анизотропной теорией упругости этот способ принято называть методомВиллиса [6]).

Однако и тот и другой способы существенно опираются на введенуюеще Лэмбом замену переменных. Фактически Лэмб пользовался методом Каньяра,только в очень специальном случае.Метод Каньяра был развит и обобщен в работе де Хупа [7].Решения трехмерной задачи Лэмба и сходной задачи для горизонтально приложенного усилия во всем полупространстве выражаются через эллиптические интегралы.

В 1979 г. Ричардс заметил [8], что значительная часть этих интеграловдля точек на поверхности выражается через элементарные функции. В частности,выражается через элементарные функции вертикальное смещение на поверхностив задаче Лэмба.Настоящая заметка следует в основном Поручикову [9], но не вводятся потенциалы упругих волн.

Нам кажется, что такой более прямой подход упростилизложение.АлгебраРешение поставленной задачи довольно просто выписывается методом Фурье.Для этого введем лапласовский образ смещения по времени(3)Vx,y (ω, x, y) =∞0dτ e−ωτ ux,y (τ, x, y)и фурье-преобразование V по y(4)Ux,y (ω, x, k) =+∞−∞dy e−iky Vx,y (ω, x, y).4Проделывая над уравнениями (2) преобразования (3) и (4), найдем(5)(6)γ 2 ω 2 Ux = γ 2 ∂x2 Ux − k 2 Ux + ik(γ 2 − 1)∂x Uy ,γ 2 ω 2 Uy = ∂x2 Uy − k 2 γ 2 Uy + ik(γ 2 − 1)∂x Ux ,γ 2 ∂x Ux + ik(γ 2 − 2)Uy = −P v /µ,∂x Uy + ikUx = 0, x = 0.x = 0,(При преобразованиях нужно учитывать, что лапласовским образом от ü(t, x, y) является ω 2 V (ω, x, y) − ωu(0, x, y) − u̇(0, x, y), что в силу начальных условий сводитсяк ω 2 V (ω, x, y). Кроме того, при вычислении лапласовского образа импульсной силынужно считать, что сила действует в некоторый момент времени τ1 > 0, переходязатем к пределу τ1 → +0.

Это позволяет правильно разделить во времени начальные условия и внешнее воздействие: сила начинает действовать после того, какзаданы начальные условия.)Решение уравнений (5) ищем в видеUx = Ae−αx ,Uy = Be−αx .Для коэффициентов A и B получаем линейную однородную систему уравнений 2 2Aikα(γ 2 − 1)ω γ − α2 γ 2 + k 2= 0.(7)22 222 2Bω γ −α +k γikα(γ − 1)Как известно, линейная однородная система уравнений имеет нетривиальное решение, если определитель ее матрицы равен нулю∆ = (ω 2 γ 2 − α2 γ 2 + k 2 )(ω 2 γ 2 − α2 + k 2 γ 2 ) + k 2 α2 (γ 2 − 1)2 == γ 2 (α2 − ω 2 γ 2 − k 2 )(α2 − ω 2 − k 2 ) = 0.Таким образом, нетривиальное решение существует приα1 = ω 2 γ 2 + k 2 , α2 = ω 2 + k 2 , α3 = −α1 ,α4 = −α2 .Из возможных решений физическому условию убывания при x → +∞ будут удовлетворять только решения с α1 и α2 (более подробно мы обсудим это в разделе“Анализ”).

Подставляя α1 в (7), найдем A = k, B = −iα1 . Аналогично для α1получим A = iα1 , B = k. Общее решение, убывающее при x → +∞, получим, взявпроизвольную линейную комбинацию найденных решений(8)Ux = Cke−α1 x + Diα2 e−α2 x ,Uy = −Ciα1 e−α1 x + Dke−α2 x .Подставляя общее решение в граничные условия (6), получим систему уравненийдля определения коэффициентов C и D C0−2kα2iα25,=(9)−P v /µD−2kα1 −iα255где α5 =ω 2 γ 2 + 2k 2 . Определитель матрицы этой системыR(ω, k) = α45 − 4k 2 α1 α2 = (ω 2 γ 2 + 2k 2 )2 − 4k 2(ω 2 + k 2 )(ω 2 γ 2 + k 2 )называется функцией Рэлея. Решая (9), находимC=−P v 2kα2,µR(ω, k)D=−P v iα25.µR(ω, k)Остается подставить C и D в (8), и мы получаем выражения для образов смещенийP v α2 2 −α1 x2k e− α25 e−α2 x ,µR(ω, k)P v ik Uy = −−2α1 α2 e−α1 x + α25 e−α2 x .µR(ω, k)Ux = −Сами смещения получаем, последовательно применяя преобразования, обратные(4) и (3)(10)(11)Vx,y (ω, x, y) =+∞−∞1ux,y (τ, x, y) =2πidk ikye Ux,y (ω, x, k),2πCdω eωτ Vx,y (ω, x, y).АнализПрежде всего сделаем в (10) замену переменной k = iωs.

Тогда(12)Vx,y (ω, x, y) =DP v ids −ωysWx,y (ω, x, s),e2πµконтур D показан на рисунке,√√1 − s2 2 −xω√γ 2 −s22+ (γ 2 − 2s2 )e−xω 1−s ,Wx =2s eR(s)√ 2 2√s 2−2 (1 − s2 )(γ 2 − s2 )e−xω γ −s + (γ 2 − 2s2 )e−xω 1−s ,Wy =R(s)а R(s) = (γ 2 − 2s2 )2 + 4s2 (1 − s2 )(γ 2 − s2 ). Как видно, зависимость от ω теперьосталась только в экспонентах.γ 2 − s2ПодынтегральныефункцииWсодержатдвадвузначныхрадикала√и 1 − s2 , а потому определены на четырехлистной римановой поверхности.