gluon (Глюонный конденсат)

ГЛЮОННЫЙ КОНДЕНСАТА. С. Вшивцев и Д. В. ПерегудовАннотация. В работе вычислен глюонный конденсат во внешнем сферически-симметричномнеабелевом хромомагнитном поле в однопетлевом приближении.ВведениеСогласно оценкам, полученным в работах [1,2] на основании экспериментальныхданных с помощью правил сумм КХД, вакуумное среднее глюонных полей отличноот нуля и соответствует плотности энергии вакуума 0.15 ГэВ/Фм3 .

В рамках теории калибровочных полей предпринимались попытки построить модели, в которыхподобный глюонный конденсат возникал бы вследствие спонтанного нарушениясимметрии. Исторически первой была модель вакуума Матиняна—Саввиди [3],в которой однородное абелево хромомагнитное вакуумное поле H моделировалосьабелевыми же потенциалами:Aai = Hx2 δ a3 δi1 ,Aa0 = 0.Позднее (см. [4,5,6,10]) были предложены принципиально другие модели вакуума,основанные на использовании постоянных неабелевых потенциалов.

Наиболее простым примером является, по-видимому, поле “3λ”:gAak = aδka ,Aa0 = 0.Модели с неабелевыми постоянными потенциалами существенно отличаются отмодели Матиняна—Саввиди, потому что эти потенциалы являются решениямиклассических уравнений Янга—Миллса с ненулевым током [11]. Наиболее подробный анализ теорий с током можно найти в работе [6]. Там полностью рассмотренамодель с полем “3λ” и впервые в явном виде выписана функция Грина глюонов.Целью настоящей работы является вычисление однопетлевой поправки к глюонному конденсату в модели “3λ”.Я в неоплатном долгу перед А.

В. Борисовым, объяснившим мне суть перенормировки, иЮ. В. Грацем, научившим меня правильно смотреть на тахионные моды (Д. П.).1Typeset by AMS-TEXА. С. ВШИВЦЕВ И Д. В. ПЕРЕГУДОВ2Исходные выраженияДля формальной замкнутости работы нам придется привести некоторые результаты, полученные в [6]. Во-первых, мы приведем выражения для функции Гринаглюонов:G(1) (σ) =121×22a 2 − σf 2q (σf − 2) + 4σffκf 2 − 2σf + 2 f 2 − 2σf + 2,fκ×  f 2 − 2σf + 2 f 2 − 2σf + 222fκfκf − 2σf + 2κG(2) (σ) =11,a2 −q 2 + 2σfσ = ±1,11×24a 4(q + 6q 2 − 4f 2 )2(f 2 + 2)2f κ−(q 2 + 2) −(q 2 + 2)2(f 2 + 2)2f κ −(q 2 + 2) −(q 2 + 2)×.222−f κ(4 + q 2 )2(f + 2) 2(f + 2) −(f + 2)(q 2 + 4)−(κ 2 + 2)(q 2 + 4) + 82f κ2f κ−f κ(4 + q 2 )G(3) =Такой блочно-диагональный вид она имеет в специальном базисе, векторы которогоопределяются как всевозможные попарные произведения:n+ β, lη + , uη + ; n− β, lη − , uη − ; n− η − ; n+ η + ; n+ η − , n− η + , lβ, uβвекторов из базиса в импульсном пространстве:1εαβγµ εabc gAaα gAbβ gAcγ ,6a3lµ = (qµ − κuµ )/f, где qµ = pµ /a,uµ =κ = qµ uµ ,nµ (1) и1(pµ gAaµ pν gAaν )1/2 ,2aпричем nµ (1)nµ (1) = nµ (2)nµ (2) = 1,f=nµ (2),nµ (1)nµ (2) = nµ (1, 2)uµ = nµ (1, 2)lµ = 0.и векторов из базиса в изотопическом пространстве:βa = lµ gAaµ /a,aηa± = n±µ gAµ /a.Во-вторых, не все компоненты квантового поля Q являются физическими.

Физические компоненты имеют вид Π†nk Qk , где:Πnk = gnk − Jˆn M-1 ∇k ,kM = Jˆk ∇ ,Jˆkab = gεacb Jkc ,J — ток, соответствующий полю “3λ”, а черта означает зависимость от внешнегополя A. С практической точки зрения мы должны просто отбросить компоненты Q, пропорциональные вектору uµ специального базиса.ГЛЮОННЫЙ КОНДЕНСАТ3С учетом сказанного однопетлевая поправка к конденсату (под которым понимается среднее от произведения полей) записывается так:(Π†nk Qk )a (x, t)(Π†nm Qm )a (x, t).Из-за трансляционной инвариантности теории среднее на самом деле не зависит отпространственно-временной точки. Мы будем вычислять конденсат при конечнойтемпературе, то есть понимать под средним среднее по гиббсовскому распределению.

Как известно, это можно сделать при помощи замены:+∞dκ→T,2πn=−∞κ → 2πT n.Окончательно конденсат представляется в виде суммы трех слагаемых, по числублоков в функции Грина (обозначение a позаимствовано из работы [7]):Q(1)Q(2)Q(3)=2+∞ d3 pp2 − 2pa + 2a2+T(2π)3 n=−∞ (p − 2a)2 ((2πT n)2 + p2 + 2pa2/(p − 2a))p2 + 2pa + 2a2+,(p + 2a)2 ((2πT n)2 + p2 + 2pa2/(p + 2a))+∞ 11d3 p+=T,(2π)3 n=−∞ (2πT n)2 + p2 − 2pa (2πT n)2 + p2 + 2pa+∞2a2 ((2πT n)2 + p2 + 2a2 ) + (p2 + 2a2 )((2πT n)2 + p2 + 4a2 )1d3 p= 2T.4a(2π)3 n=−∞((2πT n)2 + p2 + 3a2 )2 − 4p2 a2 − 9a4Доопределение функции ГринаВыписанное в конце предыдущего раздела выражение для конденсата являетсяматематически бессмысленным, так как на пути интегрирования лежат особенности, правила обхода которых не определены. Неопределенность евклидовой (!)функции Грина возникает из-за наличия в спектре “тахионных мод”, то есть области значений пространственного импульса, при которых частота чисто мнима.Нужно четко понимать, что общая теория не дает никаких рецептов работы с тахионными модами, так что приведенное ниже правило обхода особенностей нужносчитать дополнительным предположением.Наличие тахионных мод говорит о том, что выбранное фоновое поле не является классическим устойчивым решением, а соответствующий “вакуум” нестабилен.

Точное вакуумное поле, разумеется, приводит к свободной от тахионных модтеории возмущений. К сожалению, оно нам неизвестно, и приходится довольствоваться приближением, которое можно считать квазистабильным.Итак, мы доопределяем функцию Грина, добавляя к квадрату частоты бесконечно малую отрицательную мнимую часть:κ 2 → κ 2 − iδ.А.

С. ВШИВЦЕВ И Д. В. ПЕРЕГУДОВ4CРис. 1. Обход полюсовна вещественной оси.Рис. 2. Перемещение полюсовпри изменении p.С одной стороны это означает, что полюс на отрицательной части вещественной оси обходится сверху, а на положительной — снизу. С другой стороны, этоопределяет путь полюса при изменении пространственного импульса: полюс с положительной части мнимой оси “переползает” на положительную же часть вещественной и наоборот.Приведенное правило можно переформулировать в терминах параметров интеграла. Например, фейнмановское доопределение функции Грина в пространстве Минковского можно трактовать как наличие мнимой части у массы: m → m − iδ.Аналогично, глядя на выражение для конденсата, можно сказать, что наше доопределение эквивалентно наличию мнимой части у температуры: T → T − iδ.Данное нами доопределение функции Грина не является единственно возможным. Можно дать другое доопределение, которое, как известно, будет отличатьсяот приведенного линейной комбинацией слагаемых δ(κ − κ(f )), где κ(f ) — полюсафункции Грина.

Например, выбор κ 2 → κ 2 + iδ приводит к другому знаку мнимойчасти конденсата.Вооружившись данными определениями, рассмотрим более пристальновклад Q(2) (как наиболее простой):Q(2)=+∞ 11d3 p+T.(2π)3 n=−∞ (2πT n)2 + p2 − 2pa − iδ(2πT n)2 + p2 + 2pa − iδОтметим, что второе слагаемое получается из первого заменой p → −p, поэтомудалее сосредоточимся на первом слагаемом. Введем обозначение:ε = p2 − 2pa − iδ,причем возьмем ту ветвь корня, для которой ε ∼ p при p → ∞.Для отделения бестемпературной части и температурной добавки воспользуемсяпересуммированием Пуассона:+∞n=−∞f (n) =+∞ k=−∞+∞−∞f (x)e−2πikx dx.ГЛЮОННЫЙ КОНДЕНСАТ5εРис. 3.

Выбор ветви ε.Предполагая k 0, вычисляем интеграл по теореме о вычетах замыканием контура полуокружностью снизу:+∞−∞e−2πikx dxe−(ε/T )k=.(2πT x)2 + ε22T εОказывается, что отрицательные k дают тот же вклад, что и положительные,поэтому первое слагаемое в Q(2) равно ∞d3 pd3 p111e−(ε/T )k1=.++(2π)3 2εε(2π)3 2ε ε eε/T − 1k=1Последнее выражение импонирует своей узнаваемостью. Первый член соответствует бестемпературному вкладу, второй — температурной добавке, бозе-подобнуюконструкцию которой трудно скрыть.Бестемпературный случайБестемпературная часть конденсата Q(2) вычисляется по формуле:3d1p1.+ Q(2) =(2π)3 2 p2 − 2pa 2 p2 + 2paК ней нужно сделать три добавления.

Во-первых, как уже отмечалось, оба слагаемых можно объединить, если распространить интегрирование по p также ина отрицательную часть вещественной оси. Во-вторых, на пути интегрированиялежат точки ветвления, способ обхода которых следует из приведенных выше правил. В-третьих, интеграл расходится, и нужно ввести какую-либо регуляризацию.Мы выберем регуляризацию обрезанием, то есть будем считать, что интегрирование ведется по отрезку [−Λ, Λ]. Суммируя вышесказанное, запишем интеграл вобезразмеренном виде:a2(2)x3/2 (x − 2)−1/2 dx.Q =24π CА. С. ВШИВЦЕВ И Д.

В. ПЕРЕГУДОВ6−Λ/aCΛ/aРис. 4. Контур интегрирования для Q(2) .Этот интеграл можно вычислить в лоб по формуле Ньютона—Лейбница, но мыизложим другой подход, который применим и в случае более сложного подынтегрального выражения, когда найти первообразную затруднительно.Сначала разобьем интеграл на части, скажем, по отрезкам [0, 3], [3, Λ/a]и [−Λ/a, 0].

Первый интеграл конечен и только он содержит мнимую часть. Вообще, тахионные моды не могут залезать слишком далеко в область больших импульсов, поскольку асимптотически при p → ∞ мы должны получать ультрарелятивистскую связь ε ∼ p. Второй интеграл расходится при Λ → ∞. Вычтем изподынтегрального выражения несколько первых членов разложения в ряд Лоранапри x → ∞, так что он станет сходящимся:Λ/ax33/2(x − 2)−1/2Λ/a dx =x33/2(x − 2)−1/23−x−1−dx+2x Λ/a 3x+1+dx.+2x3Вся расходимость теперь вычисляется явно, и мы можем записать:Λ/a3x3/2 (x − 2)−1/2 dx =Λ2Λ 3 Λ+ + ln + O(1).22aa2 aВспоминая, что интеграл по отрезку [0,3] конечен, мы можем заменить в этойформуле нижний предел интегрирования на 0. Вычисляя аналогично интеграл поотрезку [−Λ/a, 0], найдем:Q(2) =Λ23a2 Λ+ln + Ba2 .4π 24π 2aНапомним, что в B входит интеграл по отрезку [0, 3], поэтому B имеет мнимуючасть.

Вещественная часть B нас не интересует, так как нам еще предстоитперенормировка, но мнимую нужно вычислить. К счастью, она вычисляется безпроблем: 2a23a2(2)3/2−1/2.x(2−x)dx=Im Q =4π 2 08πГЛЮОННЫЙ КОНДЕНСАТ7(Интеграл типа B-функции). Итак:Q(2) =Λ23a2 Λ 3ia2+ln ++ B a2 ,4π 2 4π 2a8πгде B уже вещественно.Расходящаяся часть Q(1) :Q(1)a2=2π 2 Cxx−23/2 x2 − 2x + 2 dxC−Λ/aΛ/aРис. 5. Контур интегрирования для Q(1) .анализируется аналогично. Вот результат:Q(1) =Λ25a2 Λ+ln + Ba2 .2π 2π2aСитуация с мнимой частью здесь сложнее, поскольку интеграл20x2−x3/2 x2 − 2x + 2 dxрасходится при x → 2. Поэтому поступим так.