lecture8 (Перегудовские лекции по физике)

Элементы кинетикиЭто совсем маленькая лекция, поскольку в программе курса вопросамкинетики отведено очень мало места. Следовало бы их вообще выкинуть,но на то требуется соизволение министерства.До настоящей кинетики мы так и не доберемся. В программе предусмотрены всего два вопроса: вычисление средних по распределению Максвеллаи понятия средней длины свободного пробега и среднего числа столкновений молекул.Вычисление средних по распределению МаксвеллаНапомним, что под распределением Максвелла понимают обычно одноиз трех распределений:1) распределение по проекции импульса2P (px ) = (2πmθ)−1/2 e−px /2mθ ,2) трехмерное распределение2P (p) = (2πmθ)−3/2 e−p /2mθ ,3) распределение по модулю импульса2P (p) = 4πp2 (2πmθ)−3/2 e−p /2mθ .Эти распределения нормированы естественным для них образом +∞ ∞P (px ) dpx = 1,d3 p P (p) = 1,P (p) dp = 1.−∞0Чаще всего пользуются третьим из приведенных распределений.

Делаязамену p = mv, можно переписать его в виде распределения по скорости ∞23/2 −mv 2/2θP (v) = 4πv (m/2πθ) e,P (v) dv = 1.0С этим распределением связаны три важные величины.P (v)θ1θ 2 > θ1vРаспределение P (v) при двух разных значениях θ96Наиболее вероятной называется скорость, при которой распределениеимеет максимум. Приравнивая нулю производную P (v), находимvн.в = 2θ/m.Средней скоростью называется величина (для нас это не новость) ∞v =vP (v) dv =028θ/πm.= 4π(m/2πθ)3/2 (−θ/m)(v 2 + 2θ/m)e−mv /2θ |∞0 =Средней квадратичной скоростью называется корень из среднего квадрата скорости ∞2v 2 P (v) dv = 3θ/m.v =0Замечания.

Интеграл приводится к гауссовскому и вычисляется.Отметим, что mv2 /2 = 3θ/2 — средняя внутренняя энергия газа, что конечно же,не случайно.Итакvср.кв =3θ/m.Среднее число столкновений. Средняя длинасвободного пробегаПодсчет среднего числа столкновений ν данной молекулы со всеми остальными за одну секунду исходит из представления о молекуле как о жесткомшарике диаметра d. Такие шарики сталкиваются, если их центры сближаются на расстояние, меньшее d.

Величину σ = πd2 называют эффективным сечением молекулы. Если средняя скорость движения молекулыравна v, то за одну секунду молекула “заметает” объем σv. Если концентрация газа равна n, то в таком объеме находится σvn молекул, с которыми наша молекула должна неминуемо столкнуться. Разумеется, нашрасчет лишь прикидочный.Более аккуратный расчет дает дополнитель√ный множитель 2√ν = 2 σvn.Если молекула испытывает ν столкновений в секунду, то без столкновений она движется в среднем в течение времени 1/ν.

Умножая это времяна среднюю скорость движения v, получим длину свободного пробега√λ = v/ν = 1/ 2 σn.97.