lecture4 (Перегудовские лекции по физике)

Математический и физический маятникиМатематический маятникМатематический маятник — это материальная точка массы m, подвешенная на нити длиной l. Пусть движение материальной точки происходитв плоскости xy. Заимствуя выражения для компонент ускорения из первойлекцииax = −ϕ̇2 l cos ϕ − ϕ̈l sin ϕ,ay = −ϕ̇2 l sin ϕ + ϕ̈l cos ϕ(мы только заменили R на l), мы можем записать второй закон Ньютонадля нашей материальной точки в видеm(−ϕ̇2 l cos ϕ − ϕ̈l sin ϕ) = mg − T cos ϕ,m(−ϕ̇2 l sin ϕ + ϕ̈l cos ϕ) = −T sin ϕ.Умножая второе уравнение на cos ϕ и вычитая из него первое, умноженноена sin ϕ (на самом деле это просто преобразование к повернутым осям),получимmlϕ̈ = −mg sin ϕ.Это и есть уравнение движения математического маятника.

Принято записывать его в видеgϕ̈ = − sin ϕ.lyϕTmmgxМатематический маятник45До сих пор наше рассмотрение было точным. Если угол отклонениямаятника от вертикали составляет не более 5–7◦ (около 0.1 радиана), томожно воспользоваться разложением синуса в ряд Тейлораsin ϕ = ϕ −ϕ3+ ...6Относительная величина второго члена в правой части составляет ϕ2/6,что для углов порядка 0.1 радиана дает погрешность менее 0.2%. Приуказанных амплитудах можно ограничиться первым членом в правой части и записатьgϕ̈ = − ϕ.lЭто уравнение называется уравнением гармонических колебаний.

Его решение имеет видϕ(t) = A cos ωt + B sin ωt,где ω = g/l — частота колебаний, A и B — произвольные постоянные.Домашнее задание. Проверьте, что выписанная зависимость ϕ(t) действительноудовлетворяет уравнению движения.ϕCAωt−DКолебания маятникаПоскольку синус и косинус — периодические функции с периодом 2π,то движение математического маятника также является периодическим спериодомT = 2π l/g.Периодическое движение маятника называют еще колебательным, а T —периодом колебаний математического маятника. Колебания, происходящие по закону синуса и косинуса, называются гармоническими.46Замечание. Точное уравнение движения маятника также имеет периодические решения, то есть описывает колебания.

Однако эти колебания происходят по более сложному закону, чем закон синуса и косинуса, то есть уже не являются гармоническими.Постоянные A и B определяются из начальных условий. Имеемϕ(0) = A = ϕ0 ,ϕ̇(0) = ωB = ϕ̇0 .Вместо A и B часто используют амплитуду колебаний C =начальную фазу D, которая определяются из условийcos D = A/C,√A2 + B 2 иsin D = −B/C.Зависимость ϕ(t) переписывается в видеϕ(t) =ABA2 + B 2 √cos ωt + √sin ωt =A2 + B 2A2 + B 2= C(cos D cos ωt − sin D sin ωt) = C cos(ωt + D).Таким образом, C представляет собой максимальное значение ϕ во времядвижения, а D — начальное (при t = 0) значение аргумента косинуса.Физический маятникФизический маятник — это твердое тело, подвешенное на горизонтальной оси.NOϕaCmgФизический маятник47Пусть масса маятника равна m, момент инерции относительно оси вращения равен Jo , а центр масс отстоит от оси вращения на расстояние a.Тогда уравнение вращательного движения записывается в видеJo ϕ̈ = −mga sin ϕ(мы учли, что ω = ϕ̇, поэтому ω̇ = ϕ̈).

Это уравнение полностью аналогично уравнению движения математического маятника. Для малых колебанийможно написатьmgaϕ̈ = −ϕ,Joоткуда получаем выражение для периода колебаний физического маятникаT = 2π Jo /mga.Тело на пружинеЕще один распространенный случай колебаний — колебания тела напружине. Рассмотрим сперва горизонтальные колебания. Пусть материальная точка лежит на горизонтальном столе и прикреплена пружиной квертикальной стене. Пусть трение об стол отсутствует. Записывая второй закон Ньютона в проекции на горизонтальную ось (причем началокоординат соответствует положению материальной точки при недеформированной пружине), находимmẍ = −kx(мы учли, что ax = ẍ).

В отличие от маятников, мы сразу получили уравнение гармонических колебаний, которое в этом случае является “точным”(конечно, ровно настолько, насколько точен закон Гука).Период колебаний равенT = 2πm/k.Рассмотрим теперь материальную точку, которая подвешена за пружину к потолку. Вводя вертикальную ось и выбирая начало координат, каки ранее, найдемmẍ = −kx + mg.Положение равновесия (такое положение тела, когда сумма действующихна него сил равна нулю), определяется из уравнения −kx0 + mg = 0 и48FтрNFтрxmgxmgТело на пружине (горизонтальный и вертикальный случаи)имеет координату x0 = mg/k. Отсчитывая координату y от положенияравновесия y = x − x0 , имеемmÿ = −ky.Это то же самое уравнение, которое мы получили в горизонтальном случае, поэтому и движение материальной точки точно такое же.

Обычносразу отсчитывают координату от положения равновесия, тогда сила тяжести в уравнение не входит.49.