lecture3 (Перегудовские лекции по физике), страница 3

Некоторая громоздкость вывода уравнения вращательного движенияв этом случае по сравнению со случаем тела на оси (уравнение-то получилось то жесамое) связана с тем, что исходный закон изменения момента импульса dL/dt = Mсправедлив только в инерциальной системе отсчета (в нашем случае — в неподвижнойлабораторной). Нельзя просто записать этот закон, выбрав в качестве базовой точкицентр масс тела C, поскольку он, вообще говоря, движется с ускорением.В уравнения плоского движения твердого тела входят только масса тела и моментинерции.

Таким образом тело характеризуется всего двумя числами. Два совершенноразных твердых тела будут двигаться совершенно одинаково, если только их массы имоменты инерции совпадают. Этот удивительный вывод справедлив и в общем случаес одним маленьким уточнением: твердое тело однозначно характеризуется своей массойи тремя моментами инерции (так называемыми главными моментами), то есть всегочетырьмя числами.Мгновенная ось вращенияКак мы видели выше, при плоском движении скорость точки твердоготела с радиус-вектором r равна v = (vcx − ω(y − yc ), vcy + ω(x − xc ), 0). Еслиω = 0, то существует точка, скорость которой в данный момент времениравна нулю v = 0. Координаты этой точки равны x = xc − vcy /ω, y =yc + vcx /ω, координата z произвольна. Таким образом, существует целаяпрямая, такая что ее точки в данный момент времени имеют нулевуюскорость. Эта прямая называется мгновенной осью вращения тела.CvcOКачение цилиндра по наклонной плоскостиЗамечание.

В общем трехмерном случае прямой, точки которой в данный моментвремени имели бы нулевые скорости, нет. Однако справедливо следующее обобщение:существует прямая, точки которой имеют скорости, направленные вдоль этой прямой.Таким образом, наиболее общее движение твердого тела есть винтовое движение: вращение вокруг какой-либо прямой с одновременным поступательным движением вдольэтой же прямой.41В ряде случаев удается записать уравнение вращательного движения,взяв за базовую точку не центр масс C, а мгновенную ось вращения O.Выражения для координат мгновенной оси вращения можно записать ввекторном виде ro − rc = ω × vc /ω 2 .

Модуль вектора ro − rc равен |ro −rc | = vc /ω. Момент инерции относительно оси O можно найти по теоремеШтейнераJo = Jc + mvc2/ω 2 .В отличие от момента инерции Jc момент инерции Jo зависит от времени 2 vcdJo=m.dtω2Момент внешних сил относительно точки C можно выразить через моментотносительно Ovc F=Mcz = Moz + [(ro − rc ) × F]z = Moz −ω 2 m vcmω vc2mvc2 = Moz −= Moz −−ωω22ω2ω2(при переходе ко второй строке мы использовали уравнение mdvc /dt = F).После сделанных приготовлений мы можем записать 2 vddωd2(Jo ω) = (Jc ω + mvc /ω) = Jc+m c=dtdtdtω 2 vcmvc2 ω+ω = Moz + Jo .= Mcz + mω22ωω2Если Jo = 0 (это справедливо, например, для качения цилиндра по наклонной плоскости), тоdω= Moz .JodtЗамечание.

Подчеркнем, что записать уравнение движения в столь простом виде можно только при соблюдении условия Jo = 0, что справедливо далеко не всегда.Уравнением же Jc dω/dt = Mcz можно пользоваться в любом случае.Законы сохраненияНам осталось обсудить особенности применения законов сохранения приналичии твердых тел. Поскольку твердое тело представляет собой частный случай системы материальных точек, то для механических систем,42в состав которых входят твердые тела, справедливо все то, что уже обсуждалось для системы материальных точек. В частности, силы реакциисвязей между отдельными точками твердого тела, а также их моментыкомпенсируются, что приводит к законам сохранения импульса и момента импульса.

При этом импульс твердого тела вычисляется по формулеP = mvc , а момент импульса — по формуле Lz = Jω для тела на оси иLz = m(xc vcy − yc vcx ) + Jc ω для плоского движения тела.Обсудим более подробно закон сохранения энергии. Во-первых, нам нужно выражение для кинетической энергии твердого тела.

Кинетическаяэнергия твердого тела — это сумма кинетических энергий всех его точек.Для тела на оси vi = (−ωyi , ωxi , 0), поэтомуT = mi v 22ii= mi ω 2 (x2 + y 2 )i2ii=Jω 2.2Для плоского движения vi = (vcx − ω(yi − yc ), vcy + ω(xi − xc ), 0), а потомуT = mi v 2i2i=22 mi (vcx+ vcy)2i++mi ω[−vcx (yi − yc ) + vcy (xi − xc )] +i mi ω 2 ((xi − xc )2 + (yi − yc )2 )2i=mvc2Jc ω 2+22(последняя сумма в верхней строке равна нулю по определения центрамасс).Во-вторых, нам нужно выражение для потенциальной энергии. Пустьвсе внешние силы (о силах реакции связей между отдельными точкамитвердого тела поговорим позднее), действующие на все точки твердоготела являются потенциальными.

Тогда потенциальная энергия твердоготела — это просто сумма потенциальных энергий отдельных точек. Поскольку потенциальная энергия отдельной точки зависит от ее координат,а они, в свою очередь, зависят от координат центра масс и углов Эйлера,то потенциальная энергия в общем случае зависит от координат центрамасс и углов Эйлера, то есть не только от положения твердого тела, но иот его ориентации. Исключение составляет случай однородного поля, например поля тяжести плоской Земли.

В этом случае Ui = mi gzi , поэтомуU=Ui = mgzc.iДля сферической Земли такой простой результат уже неверен.43В-третьих, работа-2 внешних сил, как и в случае материальной точки,связана с кинетической энергией.(2)A=t2t1i=Fi vi dt =t2t1t2Fvc +t1Fvc + ωFi (ω × (ri − rc )) dt =i(ri − rc ) × Fi dt =it2t1(Fvc + ωMc ) dt.Для плоского движения, используя уравнения движения твердого тела, получаемA(2) =t2t1(Fx vcx +Fy vcy +ωMcz ) dt ==Замечание. Члента вокруг оси z.t2t1t2t1(mv̇cx vcx +mv̇cy vcy +Jc ω̇ω) dt =tJc ω 2mvc2Jc ω 2 2d mvc2++dt = .dt2222t1Mcz ω dt записывают еще в видеMcz dϕ, где ϕ — угол поворо-Наконец, покажем, что мощность, развиваемая силами реакции связеймежду отдельнымиточками твердого тела, равна нулю.

Выше мы уженашли, что i Fi vi = Fvc + ωMc . Но сумма всех сил реакции связей исумма их моментов равны нулю, а потому i Fi vi = 0. Таким образом,силы реакции связей не портят закона сохранения энергии.44.