lecture3 (Перегудовские лекции по физике), страница 2

Очевидно, что координатыцентра масс твердого тела во вмороженной системе координат постоянны,так что центр масс — это какая-то “вмороженная” в твердое тело точка.Скорость центра масс равнаNvc =drc =mi vi /m,dti=1Вспоминая определение импульсаP=Nmi vi ,i=1видим, что импульс выражается через скорость центра массP = mvc ,причем эта связь такая же, как для одной материальной точки. Окончательно первое из уравнений движения твердого тела можно записать такdvcm= F.dtИначе говоря, центр масс твердого тела движется так, как двигалась быматериальная точка с массой, равной массе твердого тела, под действиемвсех сил, приложенных к твердому телу.Замечание.

На самом деле это утверждение справедливо для любой системы материальных точек, а не только для твердого тела. Оно получило название теоремы одвижении центра масс. Мы уже упоминали о нем в связи с законами сохранения.Поскольку мы без всяких усилий получили уравнение движение центрамасс твердого тела, то в качестве “какой-либо точки O” часто оказываетсяудобно выбирать центр масс тела C.В противоположность уравнениям для поступательного движения, уравнения для углов оказываются очень сложными, поэтому далее мы рассмотрим два простых частных случая: тело на оси и так называемое плоскоедвижение твердого тела.35Тело на оси. Основное уравнение вращательногодвиженияПусть твердое тело закреплено на оси. Как мы уже говорили, в этомслучае оно имеет одну степень свободы, так что нужно всего одно уравнение движения.

Поместим начало координат O в какую-либо точку на осивращения. Ось z системы координат направим по оси вращения. Тогданеобходимое уравнение движения получится, если расписать z-компонентууравнения dL/dt = M.zOyxωТвердое тело на осиСделаем некоторые приготовления. Угловая скорость ω = (0, 0, ω) направлена по оси z, поэтому скорость i-ой точки тела с радиус-вектором riравна vi = (−ωyi , ωxi , 0). Проекция момента импульса этой точки на ось zравнаliz = mi (xi viy − yi vix ) = mi (x2i + yi2 )ω.Суммируя моменты импульса отдельных точек тела, получимLz = Jω,J=mi (x2i + yi2 ).iВеличина J называется моментом инерции тела относительно оси z.Очевидно, она не меняется во время движения, поскольку выражения x2i +yi2 не меняются во время движения.Замечание.

Момент инерции определяется относительно некоторой оси. Бессмысленно говорить о моменте инерции, не указывая ось, к которой он относится. С другойстороны, ось не обязана быть осью вращения. Можно говорить о моменте инерции относительно любой воображаемой оси.36Подставляя найденное выражение для Lz в уравнение dL/dt = M, получаемdωJ= Mz .dtЭто соотношение получило не очень удачное название основного уравнения вращательного движения. Производную dω/dt = β обычно называютугловым ускорением твердого тела.Замечания. Угловое ускорение можно ввести как производную dω/dt в общем случае, но это как-то не прижилось.При применении основного уравнения вращательного движения нужно помнить, чтов правой части стоит z-компонента суммы моментов внешних сил относительно какойто точки на оси. Эта величина не зависит от выбора начала координат O на оси.Действительно, Mz = xFy − yFx .

В это выражение вовсе не входит координата z,которая только и меняется при выборе другого начала координат O .Силы реакции оси не дают вклада в z-компоненту момента внешних сил. Действительно, они приложены в точках с x = 0, y = 0, так что по формуле Mz = xFy − yFx ихвклад равен нулю.Момент инерцииВыше мы назвали моментом инерции твердого тела относительно оси zвеличинуJ=mi (x2i + yi2 ).iВ таком виде формула хороша для твердых тел, состоящих из отдельныхматериальных точек.

Если же тело сплошное, то следует писатьJ = ρ(r)(x2 + y 2 ) d3 r.zJOJcCL xRyxМомент инерции стержняМомент инерции кольца37В качестве примера вычислим момент инерции стержня длины L и массы m относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярнойстержню. ИмеемJ=Lm 2m x3 mL2x dx =.=LL 3 03L0При вычислении моментов инерции оказываются полезными следующиедва приема.Теорема Штейнера.

Пусть известен момент инерции Jc относительнонекоторой оси z, проходящей через центр масс. Тогда момент инерцииотносительно любой другой оси z , параллельной данной, вычисляется поформулеJ = Jc + ma2 ,где a — расстояние между осями.zzCy, y axxК теореме ШтейнераДля доказательства введем две системы координат (x, y, z) и (x , y , z ).Имеем x = x , y = y + a, z = z . ПоэтомуJ=2mi (x2i + yi ) =i=mi (x2i + (yi − a)2 ) =imi (x2i + yi2 ) − 2aiim i y i + a2mi = Jc + ma2 .iВторая сумма равнанулю, так как представляет собой y-координату центра масс yc = ( i mi yi )/m, которая равна нулю.38Замечание.

Одна из осей в теореме Штейнера должна проходить через центр масс.Теорема неверна для двух произвольных осей.В качестве примера вычислим момент инерции уже рассмотренногостержня относительно оси, проходящей через середину стержня, и перпендикулярной стержню. Это как раз Jc из теоремы Штейнера, поэтомуmL2/3 = J = Jc + mL2/4, откуда Jc = mL2/12.Плоская фигура. Пусть все точки тела лежат в плоскости xy. ТогдаJz =mi (x2i + yi2 ) =mi x2i +mi yi2 = Jy + Jx .iiiПрименим это соотношение для вычисления момента инерции кольцарадиусом R и массой m относительно его диаметра (оси x на рисунке).Момент инерции кольца относительно оси z, перпендикулярной плоскостикольца и проходящей через его центр, легко вычисляется по определениюJz = mR2 .Моменты инерции относительно осей x и y, очевидно, равны в силу симметрии кольцаJx = Jy .Теперь можно написатьJx =1Jz = mR2/2.2Плоское движениеПлоским движением твердого тела называется такое движение, когданаправление угловой скорости остается постоянным, а скорость какойлибо точки O (и тогда любой точки) перпендикулярна угловой скорости.Плоское движение можно еще описать, сказав, что оно эффективно двумерное: разные точки твердого тела движутся в параллельных плоскостях,а сами эти плоскости перпендикулярны угловой скорости.

Примером плоского движения является качение цилиндра по наклонной плоскости.Как уже говорилось в начале лекции, в двумерном пространстве твердоетело имеет три степени свободы: две поступательных и одну вращательную. Уравнения движения, соответствующие поступательным степенямсвободы, имеют видmdvcx= Fx ,dtm39dvcy= Fy .dtУравнение вращательного движения проще всего записать, взяв в качестве базовой точки центр масс тела C. Приготовления аналогичны тем,что мы делали, когда рассматривали тело на оси. Угловая скорость ω =(0, 0, ω).

Скорость точки с радиус-вектором ri равна vi = (vcx − ω(yi −yc ), vcy + ω(xi − xc ), 0). Момент импульса одной точкиliz = mi (xi viy − yi vix ) = mi [xi vcy − yi vcx + ω(xi (xi − xc ) + yi (yi − yc ))] == mi [xc vcy − yc vcx + ω[(xi − xc )2 + (yi − yc )2 ] ++ mi [(xi − xc )(vcy + ωxc ) + (yi − yc )(−vcx + ωyc )].При вычислении момента импульса всего тела последнее слагаемое обращается в нуль вследствие определения центра массLz = m(xc vcy − yc vcx ) + Jc ω,где Jc = i mi [(xi − xc )2 + (yi − yc )2 ] — момент инерции твердого телаотносительно оси z, проходящей через центр масс. Как и в случае тела наоси, эта величина остается постоянной в процессе движения.

Первое слагаемое в формуле для Lz тоже имеет простую интерпретацию — это моментимпульса “тела как целого” относительно начала координат лабораторнойсистемы отсчета.Суммарный момент внешних сил может быть записан аналогичноMz =xi Fiy − yi Fix = xc Fy − yc Fx +(xi − xc )Fiy − (yi − yc )Fix ,iiгде Fx = i Fix (аналогично для y), а последнюю сумму естественно назвать суммарным моментом внешних сил относительно центра масс телаMcz =(xi − xc )Fiy − (yi − yc )Fix .iЕсли мы теперь подставим найденные выражения для Lz и Mz в уравнение dLz /dt = Mz , то получимJcdω= Mcz .dtДействительно, дифференцируя выражение m(xc vcy − yc vcx ) по времени,находимdm(xc vcy − yc vcx ) = m(ẋc vcy − ẏc vcx ) +dt+ m(xc v̇cy − yc v̇cx ) = m(xc v̇cy − yc v̇cx ),40а это выражение сокращается с xc Fy − yc Fx в силу уже выписанных уравнений поступательного движения.Замечания.