lecture3 (Перегудовские лекции по физике)

Кинематика твердого телаЧисло степеней свободы. Углы ЭйлераКак мы уже говорили, твердое тело — это система материальных точек и связей, таких что расстояние между двумя любыми материальнымиточками остается неизменным. Нетрудно догадаться, что и углы междувекторами, соединяющими любые три точки твердого тела, тоже остаются неизменными.BCДомашнее задание. Докажите неизменность скалярных произведений векторов,соединяющих любые три точки твердого тела.

Выведите из этого неизменность углов.AAOOCBВмороженная система координатНеизменность расстояний и углов дает возможность ввести вмороженную систему координат. Рассмотрим начальное положение твердого тела.Совместим начало неподвижной лабораторной декартовой системы координат с какой-либо точкой O твердого тела.

Точки твердого тела, лежащиена осях координат (на положительных полуосях) и отстоящие от началакоординат на 1 м (или 1 мм — масштаб не важен), обозначим через A,B, C. Рассмотрим какое-либо положение твердого тела в процессе движения. Точки O, A, B, C уже не совпадают со своими начальными положениями, однако расстояния между точкой O и точками A, B, C по-прежнемуравны 1 м, а углы между векторами OA, OB, OC — по-прежнему прямые.Это означает, что можно ввести декартову систему координат с началомв O и осями, проходящими через A, B, C.

В этой — вмороженной — системе координат точки A, B, C в процессе движения имеют постоянныекоординаты, равные их начальным значениям.Домашнее задание. Покажите, что координаты любой точки твердого тела вовмороженной системе остаются неизменными в процессе движения.30zyzθOyϕψxxУглы ЭйлераОписание движения твердого тела — это описания движения каждойего точки.

Ясно, что описание движения твердого тела сводится к описанию движения вмороженной системы координат относительно лабораторной. Движение вмороженной системы координат опишем в два приема.Сначала опишем движение начала координат O. На это уйдет три координаты. Поворот осей вмороженной системы относительно лабораторнойтакже можно описать тремя координатами, например тремя углами Эйлера. Таким образом, для описания движения твердого тела в общем случаенужно шесть координат. Три степени свободы, связанные с координатамиточки O и соответствующие поступательному движению, называют поступательными, а три степени свободы, соответствующие углам Эйлера— вращательными.Замечание. Конечно, такое разбиение условно (определенный смысл имеет толькополное число степеней свободы), однако оно практически удобно и вошло в обиход.Домашнее задание.

Сколько поступательных и вращательных степеней свободыимеет твердое тело в двумерном пространстве? А в четырехмерном?Из сказанного выше есть одно важное исключение. Если все точки твердого тела расположены на одной прямой (например, тело представляетсобой тонкий стержень), то степеней свободы пять, а не шесть. Поступательное движение по-прежнему описывается тремя координатами некоторой точки O твердого тела, однако для описания вращений достаточнодвух координат, например двух сферических углов.Замечание. Если на твердое тело наложены связи, то, как и в случае материальной точки, число степеней свободы уменьшается. Довольно типичны два случая.

Если31одна из точек твердого тела закреплена, то остается всего три (вращательных) степени свободы. Если закреплены две точки (твердое тело на оси), то остается всего одна(вращательная) степень свободы. Одна степень свободы остается также в некоторыхслучаях качения твердого тела.Угловая скоростьКоординаты любой точки твердого тела в лабораторной системе координат выражаются через координаты какой-то одной его точки O в лабораторной системе координат и углы Эйлераr = rO + Ar ,где векторы r и rO составлены из координат точек M и O в лабораторной системе координат, а вектор r составлен из (постоянных) координат точки M во вмороженной системе координат. Матрица A описываетпреобразование компонент вектора от вмороженной системы координат клабораторной.

Последнее слагаемое нужно понимать как произведение  axx axy axzxaxx x + axy y + axz z  ayx ayy ayz   y  =  ayx x + ayy y + ayz z  .azx azy azzzazx x + azy y + azz z Компоненты матрицы axx и т. д. зависят от углов Эйлера, а через них —от времени, компоненты же x , y , z от времени не зависят.Немного математики. Кое-что о матрицах.

Матрица — это прямоугольнаятаблица чисел. Число строк и число столбцов таблицы — это размеры матрицы. Например, матрица A — матрица 3 × 3, а r — матрица 3 × 1. Матрицы с равным числомстрок и столбцов называются квадратными.Для матриц одинакового размера естественно определяется операция сложения. Матрица C называется суммой матриц A и B (записывается C = A + B), если для всех i, jcij = aij + bij .Матрица B называется произведением матрицы A на число c (записывается B =cA = Ac), если для всех i, jbij = caij .Для случая, когда второй размер матрицы A (число столбцов) совпадает с первымразмером матрицы B (числом строк), определяется произведение C = ABaik bkjcij =k(частный случай этого равенства явно выписан выше). Квадратные матрицы (определенного размера) хороши тем, что их можно и умножать и складывать. При этом операции сложения и умножения матриц обладают многими свойствами операций сложения32и умножения чисел, однако, в отличие от произведения чисел, произведение матриц,вообще говоря, некоммутативно, то есть AB = BA.Нам понадобится еще операция транспонирования матрицы.

Она сводится к заменеэлемента aij элементом aji и наоборот: B = AT , еслиbij = aji .Квадратная матрица A называется симметричной, если AT = A, и антисимметричной, если AT = −A. Нетрудно показать, что (AB)T = B T AT .Квадратная матрица называется единичной, если ее элементы aii = 1, а остальныеравны нулю. Нетрудно проверить, что единичная матрица обладает свойством обычнойединицы: ее произведение на любую квадратную матрицу A того же размера равноматрице A.Элементы матрицы A довольно сложно зависят от углов Эйлера (частный случай мы рассматривали в первой лекции). Мы не будем выписывать эту зависимость явно. Вместо этого мы установим некоторое свойство матрицы A. Возьмем три единичных вектора вдоль осей вмороженнойсистемы, они имеют компоненты (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) во вмороженнойсистеме координат. Компоненты в лабораторной системе получим, умножив на матрицу A, они оказываются равны (axx , ayx , azx ), (axy , ayy , azy ),(axz , ayz , azz ).

Поскольку это все те же единичные взаимно перпендикулярные векторы, то модуль каждого из них равен единице, а скалярныепроизведения равны нулю, и мы получаем условия на элементы матрицы A. Например, из равенства единице модуля первого вектора найдемa2xx + a2yx + a2zx = 1. Все условия оказывается возможным записать в компактном видеAAT = 1,где 1 означает единичную матрицу 3 × 3.

Матрица A с таким свойствомназывается ортогональной.Домашнее задание. Проверьте, что условие AAT = 1 действительно порождает условия нормированности и ортогональности векторов (axx , ayx , azx ), (axy , ayy , azy ),(axz , ayz , azz ). Проверьте, что условие AT A = 1 эквивалентно условию AAT = 1.Продифференцируем условие AAT = 1 по времени, учитывая, что единичная матрица от времени не зависит (производная от матрицы — этоматрица, составленная из производных от элементов)ȦAT + AȦT = 0.Согласно свойству операции транспонирования (ȦAT )T = AȦT .

Такимобразом, полученное равенство означает, что (ȦAT )T = −ȦAT , то естьчто ȦAT — антисимметричная матрица.33таАнтисимметричная матрица 3 × 3 имеет всего три независимых элемен0−ωz ωyȦAT =  ωz0−ωx  ,−ωy ωx0из которых можно составить вектор ω = (ωx , ωy , ωz ).

Этот вектор называется угловой скоростью твердого тела.Скорость произвольной точки нетрудно теперь выразить через скоростьточки O и угловую скорость. Дифференцируя соотношение r = rO + Ar повремени, получимv = vO + Ȧr = vO + Ȧ(AT A)r = vO + (ȦAT )(r − rO ) = vO + ω × (r − rO ).Замечания. Угловая скорость является характеристикой движения твердого тела как целого.

Хотя в полученную формулу для скорости произвольной точки входятрадиус-вектор и скорость точки O, угловая скорость не зависит от того, какая точкавзята в качестве начала координат. Иначе говоря, можно написатьv = vO + ω × (r − rO )с какой-то другой точкой O , а угловая скорость останется прежней (проверьте!). Здесьимеется некая антианалогия с моментом импульса, который зависит от выбора началакоординат.Если тело закреплено на оси, то вектор угловой скорости направлен вдоль оси. Действительно пусть точки A и B лежат на оси.

Тогда их скорости равны нулю. НоvB = vA + ω × (rB − rA ),поэтому ω × (rB − rA ) = 0, что означает ω rB − rA . В этом случае часто говорят обугловой скорости как о скалярной величине ω.Уравнения движения твердого телаОбщие уравнения движения. Центр массПоскольку твердое тело — это система материальных точек, то для негосправедливы те общие соотношения, которые мы получили при выводезаконов сохранения.

В частностиdL= Mвнешн.dtdP= Fвнешн ,dtНетрудно понять, что выписанные равенства как раз и представляют собой уравнения движения твердого тела. При этом импульс P и момент34импульса L выражаются через координаты какой-либо точки O и углыЭйлера, и мы получаем шесть уравнений для шести переменных. Поскольку в дальнейшем все силы будут только внешними, индекс “внешн” будемопускать.Первое из этих уравнений нетрудно проанализировать. Центром масссистемы материальных точек называется точка C с радиус-векторомrc =Nmi ri /m,i=1Nгде m =i=1 mi — полная масса системы.