lecture2 (Перегудовские лекции по физике), страница 2

Функция U (r, t) называется потенциальной энергией силового поля F(r, t).Немного математики. Еще о криволинейном интеграле второго рода. Каквосстановить силу, если известна потенциальная энергия? Поскольку криволинейныйинтеграл второго рода аналогичен определенному интегралу, а формула, определяющаяпотенциальную энергию, похожа на формулу Ньютона—Лейбница, нетрудно догадаться, что∂U (r, t).F(r, t) = −∂rИначе говоря, криволинейный интеграл от градиента некоторой функции равен разности значений функции на концах контура интегрированияr1 →r2∂fdr = f (r2 ) − f (r1 )∂rи обратно, если криволинейный интеграл равен разности значений некоторой функциина концах контура интегрирования, то подынтегральное выражение есть градиент этойфункции.Формула, выражающая силу через потенциальную энергию, дает простой критерий потенциальности: поле F(r, t) является потенциальным,23если∂Fy∂Fx=,∂y∂x∂Fy∂Fz=,∂z∂y∂Fz∂Fx=.∂x∂zДомашнее задание.

Проверьте, что сила, равная градиенту потенциальной энергии, удовлетворяет этому критерию потенциальности.Непотенциальное поле (двумерное). Пусть Fx = 0, Fy = x. Тогда∂Fx /∂y = 0, ∂Fy /∂x = 1, так что критерий потенциальности не выполняется.Домашнее задание.

Вычислите работу этого силового поля при перемещении поломаным (0, 0)—(1, 0)—(1, 1) и (0, 0)—(0, 1)—(1, 1).y(0, 1)(0, 0)y(1, 1)(1, 0)(0, 1)(0, 0)x(1, 1)(1, 0)xОбобщение понятия потенциальных сил на систему материальных точек выглядит следующим образом: силы, действующие в системе материальных точек называются потенциальными, еслиFi = −∂U (r1 , . . . , rN , t).∂riЗамечание.

Подчеркнем, что потенциальная энергия — одна на всю систему материальных точек, нет потенциальной энергии отдельных точек.Домашнее задание. Переформулируйте определение потенциальности в терминахработы-1 для случая системы материальных точек.Закон сохранения энергииКинетической энергией системы называется сумма кинетических энергий отдельных материальных точекT =Nmi v 2i=1242i.Полной механической энергией системы называется сумма кинетическойи потенциальной энергийE = T + U.Разумеется, речь идет только о системах, точки которых взаимодействуютпотенциальными силами.Замечание. Иногда понятие потенциальной энергии (а вместе с ним и полной)вводят для систем, в которых между точками действуют также непотенциальные силы.При этом подразумевают следующее разбиениеFi = −∂U+ Fi непотенц .∂riХотя такое разбиение неоднозначно, оно прижилось в механике.Будем полагать, чтоFi = −∂U+ Fi внешн.∂riПродифференцируем полную энергию по времениNNdTdU∂U∂UdE=+==mi vi ai +vi +dtdtdt∂r∂tii=1i=1NN∂U∂U∂U==.vi mi ai +vi Fi внешн ++∂ri∂t∂ti=1i=1Если потенциальная энергия не зависит от времени явно, ∂U/∂t = 0,а внешние силы отсутствуют (система изолирована), то мы приходим кзакону сохранения энергииdE= 0,dtE = const.Замечания.

Величина Fi vi называется мощностью, которую развивает сила Fi(это выражение уже возникало при рассмотрении работы-2). Закон сохранения энергиисправедлив, если мощность, развиваемая всеми внешними силами, равна нулю, однако на практике это трудно гарантировать, поэтому обычно требуют изолированностисистемы.Наличие непотенциальных сил портит закон сохранения, однако, если эти силы действуют в течение некоторого конечного промежутка времени, то в остальное времяэнергия сохраняется.Нужно также упомянуть о силах реакции.

Поскольку никакого выражения через координаты для них нет, потенциальными их считать нельзя. Тем не менее и при наличии25сил реакции закон сохранения энергии во многих случаях справедлив. Действительно,как уже было отмечено, достаточно, чтобы мощность сил реакции равнялась нулю. Этосправедливо для силы натяжения нити и силы реакции опоры, поскольку они перпендикулярны скорости материальной точки (такие силы реакции и сами связи называютсяидеальными). Это верно и для силы трения покоя, поскольку скорость равна нулю.Единственной “плохой” силой в механике остается сила трения скольжения.В заключение приведем выражения для потенциальной энергии сил тяжести и упругости.В модели плоской ЗемлиU = mgz,где ось z перпендикулярна поверхности Земли.В модели круглой ЗемлиU = −GmM,rгде r — расстояние от материальной точки до центра Земли.Потенциальная энергия сжатой или растянутой пружиныU = kx2/2,где x — удлинение пружины по сравнению с недеформированным состоянием.Домашнее задание.

Получите эти выражения.Законы сохранения и симметрия пространстваМы получили законы сохранения как следствие уравнений движения(второго и третьего законов Ньютона). Однако с точки зрения современнойфизики законы сохранения являются в некотором смысле более фундаментальными, чем уравнения движения. Оказывается, что законы сохранениятесно связаны с симметриями пространства и времени.Закон сохранения энергии накладывает наибольшие ограничения на силы: они должны зависеть только от координат, да еще быть потенциальными.

С другой стороны, совершенно не используются утверждения третьего закона Ньютона. Совмещение потенциальности с третьим закономприводит к замечательной интерпретации законов сохранения.УтверждениеNFijFi =j=1j=i26третьего закона Ньютона соответствует разложению потенциальной энергии в суммуNN uij (ri , rj ).U (r1 , . . . , rN ) =i=1 j=1j<iУсловие Fij = −Fji означает∂uij∂uij=−.∂ri∂rjТакое возможно, только если uij зависит не от ri и rj по раздельности, аот их разности uij (ri − rj ). Условие Fij ri − rj означает, что uij зависитне от вектора ri − rj (три переменных), а только от его модуля uij (|ri − rj |)(одна переменная).Домашнее задание. Показать, чтоFij = −∂uij,∂riи проверить сделанные утверждения о зависимости uij от ri и rj .Геометрическая интерпретация зависимости uij только от ri − rj состоит в том, что такая uij (а значит и U ) не меняется при сдвигеri = ri + a.Зависимость uij только от |ri − rj | соответствует неизменности uij приповоротах.Отсутствие явной зависимости uij от времени соответствует неизменности uij при сдвигах времениt = t + a.Таким образом, законы сохранения оказываются связанными с фундаментальными симметриями пространства, которые мы обсуждали в связи с принципом относительности.

Остались “невостребованными” толькопреобразования Галилея (равномерное прямолинейное движение). Оказывается, что им тоже соответствует закон сохранения, который иногда называют теоремой о движении центра масс.Поскольку законы сохранения выполняются в любой инерциальной системе отсчета, они оказываются связанными друг с другом.

Рассмотримтолько один пример, восходящий еще к Гюйгенсу.27Запишем сохранение энергия в двух инерциальных системах отсчета,движущихся друг относительно друга со скоростью uddtddtNmi v 2i=12i+ U (ri , . . . , rN )Nmi v 2i=12= 0,i+U (ri , . . . , rN )= 0.Здесь штрихованные и нештрихованные величины связаны равенствамиri = ri + ut,vi = vi + u.Выражая штрихованные величины во втором равенстве через нештрихованные, получимddtNmi v 2i=12i+Nmi vi u +i=1Nmi u 2i=12+ U (ri + ut, .

. . , rN + ut)= 0.Третья сумма представляет собой постоянную величину M u2/2, где M —сумма масс всех материальных точек. Пользуясь инвариантностью потенциальной энергии при сдвигах, можно убрать слагаемое ut из всех аргументов. ТогдаddtNi=1mi vi u +Nmi v 2i=12i+ U (ri , . . . , rN )= 0.Но последние два слагаемых сохраняются, поэтомуNd mi vi u = 0.dt i=1При произвольном u это возможно, только еслиNd mi vi = 0.dt i=1Нетрудно видеть, что мы получили закон сохранения импульса.28Замечания.

Оказывается, что можно не только получить одну сохраняющуюся величину, если известна другая, можно вывести их зависимость от координат и скорости,опираясь только на формулы преобразований из одной инерциальной системы отсчетав другую. В частности, выражения mv и mv2/2 для импульса и кинетической энергиимогут быть выведены из преобразований Галилея.Связь законов сохранения друг с другом и с преобразованиями из одной инерциальной системы отсчета в другую особенно выпукло проступает в теории относительности,где энергия и импульс объединяются в один четырехмерный вектор.Заметим, наконец, что оказывается возможным обобщить понятие потенциальностии на некоторые силы, зависящие от скорости (например, на силу Лоренца). Обобщеннаяпотенциальная энергия уже сама зависит от скорости, а сила вычисляется по формулеF=∂Ud ∂U−.dt ∂v∂rПри этом, как уже отмечалось, третий закон Ньютона теряет силу, но законы сохранения остаются, остается неизменной их связь друг с другом и с симметриями пространства.29.