lecture2 (Перегудовские лекции по физике)

Законы сохраненияНемного математики. О функциях многих переменных. Рассмотрим функцию двух переменных f (x, y). Аналогично случаю одной функции одной переменнойможно ввести понятие производной. Забудем на время, что f зависит от y, тогда остается одна переменная x и можно определить производную обычным образом. Такаяпроизводная называется частнойf (x2 , y) − f (x1 , y)∂f.(x1 , y) = limx2 →x1∂xx2 − x1Точно так же определяется частная производная по yf (x, y2 ) − f (x, y2 )∂f(x, y1 ) = lim.y2 →y1∂yy2 − y1Предположим теперь, что x и y сами являются функциями какой-то переменной t.

Тогдаf также является (сложной) функцией t. Нетрудно догадаться, что∂f dx∂f dydf=+.dt∂x dt∂y dtВсе приведенные конструкции легко обобщаются на большее число переменных.Нам будут часто встречаться функции от векторов, например, f (r). Под этим понимается функция от компонент вектора f (x, y, z). Частные производные такой функции∂f /∂x, ∂f /∂y, ∂f /∂z также образуют вектор∂f=∂r∂f ∂f ∂f,,∂x ∂y ∂z,который называют еще градиентом функции f .Домашнее задание.

Проверить, что частные производные ∂f /∂x, ∂f /∂y, ∂f /∂zпри повороте системы координат действительно преобразуются как компоненты вектора.Аналогично функциям одной переменной можно определить высшие производные(вторую, третью . . . ) через повторное дифференцирование. При этом смешанные производные типа ∂ 2 f /∂x ∂y обладают свойством∂2f∂2f=∂x ∂y∂y ∂x(значение производной не зависит от порядка дифференцирования).Понятие об интегралах движенияМы записали уравнения движения (второй закон Ньютона) в видеma = F(r, v, t).16Напомним, что a = r̈, v = ṙ, поэтому это дифференциальные уравнениявторого порядка.Частным случаем такого уравнения являетсяdΦ(r, v, t) = 0.dtДействительно, выполняя дифференцирование, найдем∂Φ∂Φ∂Φv+a+= 0.∂r∂v∂tВ это соотношение входят r, v и a.Особая роль уравнения движения в формеdΦ(r, v, t) = 0dtв том, что оно немедленно “интегрируется”Φ(r, v, t) = c (= const)и приводит к соотношению между r и v (без a!), то есть к дифференциальному уравнению меньшего (первого) порядка.

Функция Φ называетсяпервым интегралом исходного дифференциального уравнения ma = F.Закон сохранения импульсаРассмотрим систему N материальных точек с массами mi , i = 1, 2,. . . , N . Импульсом материальной точки называется векторpi = mi vi .Импульсом системы материальных точек называется сумма импульсовотдельных точекNpi .P=i=1Закон сохранения импульса утверждает, что, при некоторых дополнительных условиях, импульс системы материальных точек остается постоянным, то есть dP/dt = 0.Чтобы вывести закон сохранения импульса, запишем уравнения движения для каждой точки системыmi ai = Fi (r1 , . . .

, rN , v1 , . . . , vN , t),17i = 1, . . . , N.Заметим, что ai = dvi /dt, а потому левую часть можно записать в видеdpi /dt. Правую часть в соответствие с третьим законом Ньютона представим в видеNFi =Fij + Fi внешн.j=1j=iИтакNdpi =Fij + Fi внешн ,dtj=1i = 1, . . . , N.j=iДифференцируя импульс системы по времени, найдемNNNNdP dpi==Fij +Fi внешн.dtdti=1i=1 j=1i=1j=iСтоящую справа двойную сумму можно представить как сумму всехэлементов таблицы×F21...FN 1F12×...FN 2F13F23...FN 3............F1NF2N...×в которой диагональные элементы отсутствуют (по условию j = i). В этойтаблице для любого наддиагонального элемента найдется поддиагональный противоположного знака (например, F12 и F21 ).

Поэтому сумма всехэлементов равна нулюdP= Fвнешн,dtпосредством Fвнешн = Ni=1 Fi внешн обозначена сумма всех внешних сил,действующих на точки системы.Если Fвнешн = 0, то мы приходим к закону сохранения импульсаdP= 0,dtP = const.Замечания. Мы совсем не пользовались утверждением F12 r1 −r2 третьего законаНьютона.18Обычно закон сохранения импульса формулируют для систем, на которые вообще недействуют внешние силы (такие системы называют изолированными).

Однако из нашего вывода закона сохранения импульса видно, что достаточно, чтобы сумма внешнихсил равнялась нулю (чтобы внешние силы компенсировались).Не нужно забывать, что закон сохранения импульса — векторный закон. В рядеслучаев сумма внешних сил не равна нулю, однако ее проекция на какую-то ось все жеравна нулю. Тогда имеет место сохранение проекции импульса на соответствующуюось.Закон сохранения момента импульсаМоментом импульса материальной точки M относительно данногоначала координат O называется векторli = ri × pi = mi ri × vi ,где ri — радиус-вектор относительно O.lOvrMМомент импульса материальной точкиЗамечание.

Мы специально подчеркиваем, что момент импульса исчисляется относительно некоторой точки. Бессмысленно говорить просто о моменте импульса.Моментом импульса системы материальных точек относительно точки O называется сумма моментов импульса отдельных точек относительноточки ONli .L=i=1Моментом силы, действующей на материальную точку, относительноточки O называется векторri × Fi .Замечания. Иногда момент силы определяют безотносительно какой-либо материальной точки, на которую сила действует, а пользуются понятием точка приложениясилы.Как и момент импульса, момент силы исчисляется относительно какой-либо точки.19Закон сохранения момента импульса утверждает, что, при некоторыхдополнительных условиях, момент импульса системы остается постоянным, dL/dt = 0.Для вывода закона сохранения импульса продифференцируем L по времениNNNdL d(mi ri × vi ) ==mi (vi × vi + ri × ai ) =ri × Fi .dtdti=1i=1i=1Представляя, как и ранее, силы Fi в виде суммы внутренних и внешних,найдемN NNdL =ri × Fij +ri × Fi внешн .dti=1 j=1i=1j=iЕсли мы представим двойную сумму в правой части через сумму элементов таблицы, то заметим, что в выражении ri × Fij можно поменятьместами i и j, от этого сумма не изменится.

Действительно, можно сначала сложить элементы каждой строки, а затем сложить полученные результаты. Но можно сначала сложить элементы каждого столбца, а затемсложить результаты. ПоэтомуN Ni=1 j=1j=iri × Fij =N NNrj × Fji =i=1 j=1j=iN1 (ri × Fij + rj × Fji ) .2 i=1 j=1j=iОстается воспользоваться условиями Fij = −Fji и Fij × (ri − rj ) = 0, и мывидим, что двойная сумма равна нулю. ИтакdL= Mвнешн ,dtгде Mвнешн = Ni=1 ri × Fi внешн — сумма моментов внешних сил, действующих на точки системы.Если Mвнешн = 0, то мы приходим к закону сохранения момента импульсаdL= 0, L = const.dtЗамечания. Для доказательства нам потребовались все утверждения третьего закона Ньютона.20В отличие от закона сохранения импульса, моменты внешних сил труднее компенсировать, поскольку они зависят не только от самих внешних сил, но и от положенияматериальных точек системы.

Поэтому закон сохранения момента импульса обычноформулируется для изолированной системы.Для неизолированных систем в ряде случаев удается воспользоваться произволом ввыборе начала координат для того чтобы “занулить” момент внешних сил (или хотябы его проекцию).Закон сохранения момента импульса — закон векторный, поэтому отдельные проекции могут сохраняться, даже если полный момент и не сохраняется.Понятие силового поля. Работа силыБудем предполагать, что сила, действующая на материальную точку,не зависит от ее скорости (приведенные выше примеры сил тяжести иупругости удовлетворяют этому предположению).

Поскольку сила в этомслучае зависит только от координат и времени, F(r, t), то можно “отделить” силу от материальной точки, считая ее характеристикой самогопространства.Силовое поле — это сила, заданная в каждой точке пространства вкаждый момент времени.Замечание. Настоящее изучение “полей”, то есть функций r и t, ждет нас в следующем семестре, когда мы столкнемся с электромагнитным полем.Если задана кривая C, то можно определить работу силы (точнее, работу силового поля)A=CF dr =OC(Fx dx + Fy dy + Fz dz).r2C1Работа силыНемного математики.

Криволинейный интеграл второго рода. Стоящийздесь интеграл называется криволинейным интегралом второго рода. Он похож на21определенный интеграл. Пусть кривая C задана параметрически, то есть задана функция r(τ ), такая что r пробегает кривую C, когда τ пробегает отрезок [0, 1].

ТогдаCF dr =10F(r(τ ))r (τ ) dτ.Справа стоит уже обыкновенный (не криволинейный) определенный интеграл. От способа параметризации кривой C значение криволинейного интеграла на самом деле независит.Если F не зависит от t, то данное нами определение работы вполнеоднозначно.

Если же F зависит от t явно, F(r, t), то нужно еще указать, какв процессе вычисления интеграла меняется время. Есть две естественныевозможности, которые мы условно назовем работа-1 и работа-2.Работа-1: время при вычислении интеграла полагается постоянным(а сам интеграл зависит от него как от параметра),Работа-2: время меняется в соответствие с движением материальнойточки по траектории C под действием самой же силы F (тоесть параметр τ есть время, а r (τ ) = v(τ )).Оба определения применяются в механике.Замечание. Очевидно, определение работы-2 можно распространить и на силы,зависящие от скорости материальной точки.Работа-2 и изменение кинетической энергииРассмотрим одну материальную точку, на которую действует сила F(r, t).Вычислим работу-2(2)A=CF(r, t) dr =t2t1F(r(t), t)v(t) dt ==t2t1ma(t)v(t) dt =tmv 2 (t) 2mv 2 (t2 ) mv 2 (t1 )−.=222t1Величина mv 2/2 называется кинетической энергией материальной точки.Работа-1 и понятие потенциального поляСиловое поле F(r, t) называется потенциальным, если работа-1 A(1) = 0для любой замкнутой кривой C.Определение потенциальности можно переформулировать таким образом: работа-1 для незамкнутой кривой C не зависит от формы кривой, атолько от начальной и конечной точек.

Таким образом, можно говорить о22r2r2r1r1Работа по замкнутому путиравна нулюРабота по незамкнутому путине зависит от путиработе при перемещении из точки r1 в точку r2 безотносительно кривой,по которой это перемещение происходит. Нетрудно понять, что работа приперемещении из точки r1 в точку r3 равна сумме работ при перемещениииз точки r1 в точку r2 и перемещении из точки r2 в точку r3 . Для произвольных r1 , r2 , r3 это возможно, только если существует функция U (r, t)(зависимость от t как от параметра, вспомни определение работы-1), такаячтоF dr = −(U (r2 , t) − U (r1 , t)).r1 →r2(общий знак “минус” в правой части по историческим причинам).