ЛК3 (Лекции в ворде)

3.1 Уравнение электронейтральности

Для собственного полупроводника можно записать уравнение электронейтральности:

,

(3.1)

Если в полупроводнике присутствуют как донорная, так и акцепторная примесь, можно записать уравнение электронейтральности:

,	(3.2, а) (3.2, б)

где q – заряд электрона, n – концентрация электронов в зоне проводимости, образовавшиеся за счет обрыва связи с «собственным» полупроводником (в нашем случае с кремнием) и с донорной примесью, p – концентрация дырок в валентной зоне, образовавшиеся за счет обрыва связи с «собственным» полупроводником и за счет акцепторной примеси, - концентрация ионизированных (захвативших электрон) ионов акцепторной примеси, - концентрация ионизированных (отдавших электрон) ионов донорной примеси.

Из энергетических диаграмм электронных и дырочных полупроводников (рис. 2.5, 2.6) видно, что уровни доноров E_d и акцепторов E_a расположены в запрещенной зоне: уровни E_d — вблизи дна зоны проводимости, а уровни E_a — вблизи потолка валентной зоны. Отрыв лишнего электрона от донора или добавление недостающего электрона к акцептору требует затраты энергии ионизации. Энергетические уровни примесных атомов, расположенные вблизи разрешенных зон, называются мелкими. Ряд примесей дает глубокие уровни, находящиеся вблизи середины запрещенной зоны (рис. 3.1, а).

а б

Рис. 3.1. Энергетические диаграммы примесных полупроводников: с нейтральной примесью (а) и дырочного с учетом поверхностных состояний (б)

Энергетические уровни доноров и акцепторов могут быть как мелкими, так и глубокими. Более того, одна примесь может создавать несколько уровней в запрещенной зоне. Ловушками захвата являются дефекты решетки, нейтральные в условиях термодинамического равновесия и способные захватывать носители заряда одного знака и освобождать их. Энергетические уровни таких ловушек лежат вблизи разрешенных зон и не принимают участия в процессах рекомбинации, иногда их называют уровнями прилипания.

Ловушки, участвующие в процессах рекомбинации, называются рекомбинационными, они характеризуются глубокими уровнями.

Особую роль в любом реальном полупроводнике играет его поверхность. Структурные нарушения кристаллической решетки и наличие адсорбированных атомов создают вблизи поверхности дополнительные энергетические уровни, называемые поверхностными. Эти уровни могут занимать различное положение на энергетической диаграмме, чаще всего они находятся в пределах запрещенной зоны (рис. 3.1, 6).

3.2 Статистика электронов и дырок

Задача статистики – определение концентрации «свободных», то есть участвующих в электропроводности электронов и дырок. Мы решаем, как при данной температуре заполнены квантовые состояния в зоне.

Пусть при некоторой установившейся температуре Т полупроводник находится в состоянии термодинамического равновесия. Это состояние характеризуется равенством скоростей генерации G и рекомбинации R.

3.2.1 Заполнение электронами зон вырожденного полупроводника

Для расчета распределения квантовых частиц (будь то электроны или фононы) по энергетическим уровням используется понятие функции распределения частиц по энергиям или вероятность заполнения энергетического уровня.

В единичном объеме полупроводника находится определенное для данных полупроводника и температуры количество свободных носителей заряда, оно называется концентрацией.

Число электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне обычно значительно меньше числа энергетических состояний, содержащихся в этих зонах. Поэтому средняя плотность заполнения энергетических состояний электронами и дырками f соответствует неравенству f<<1. Вероятность выражается в долях единицы или в процентах.

Рассмотрим собственный полупроводник. При температуре Т=0 К все энергетические уровни валентной зоны заполнены электронами, а уровни зоны проводимости свободны. С повышением температуры некоторое количество электронов покидает валентную зону и переходит в зону проводимости (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Заполнение зон при Т=0 К и Т>0 К

Рассмотрим некоторый энергетический уровень в валентной зоне. Если он занят электроном, то =1 и вероятность превратилась в достоверность. Если же он не занят, то эта вероятность ; сумма вероятностей обоих событий «занят», «не занят» равна единице. Но вероятность того, что энергетический уровень в валентной зоне не занят электроном, есть вероятность нахождения на этом уровне дырки . Отсюда

Допустим, имеется электронная система, в которой распределение энергетических уровней описывается функцией, зависящей от энергии N(E). Имеется n электронов, которые как-то распределены по уровням. Часть из этих уровней заполнена электронами, часть свободна. Если T=0 K, то будут заполнены только нижние энергетических уровней. Если систему нагреть до некоторой температуры T, то часть электронов, перейдет на более высокие уровни. Нельзя точно сказать какой электрон и с какого на какой уровень перейдет, но можно сказать, что после нагрева энергия электронной системы стала выше на величину полученной тепловой энергии. Вероятность заполнения энергетического уровня для частицы с полуцелым спином (фермиона), то есть вероятность нахождения электрона на уровне с энергией E, определяется статистикой Ферми-Дирака:

,	(3.3)
		(3.4)

где k=1,38∙10^-23 Дж/К=8,6∙10^-5 эВ/К – постоянная Больцмана, F – энергия Ферми. Отметим, что значение kT=0,026 эВ при комнатной температуре много меньше ширины запрещенной зоны рассмотренных полупроводников (табл. 1.1).

Энергия Ферми служит некоторой границей, разделяющей заполненные и незаполненные состояния системы. Действительно, вероятность заполнения энергетического уровня с энергией Ферми (Е=F) согласно (3.3) составляет: f(F)=½. Все состояния с энергией меньшей энергии Ферми имеют вероятность заполнения больше ½. Все состояния находящиеся выше уровня Ферми имеют вероятность заполнения меньше ½. На рис. 3.3 приведена зависимость f(E), рассчитанная для различных температур.

Рис. 3.3. Функция распределения Ферми-Дирака

Рис. 3.4. Заштрихованные площади пропорциональны концентрации носителей заряда в зонах

Если на систему наложить внешнее электрическое поле, то электроны начнут приобретать энергию и смогут участвовать в электропроводности. Причем в электропроводности смогут принимать участие только те электроны, которые расположены на уровне Ферми и выше него. Электроны, находящиеся у дна зоны проводимости принимать участие в электропроводности не смогут, так как всё соседнее энергетическое пространство занято.

Чтобы определить, какое число электронов в системе может принимать участие в электропроводности, необходимо рассчитать распределение концентрации электронов по энергиям и проинтегрировать эту зависимость по всей разрешенной зоне как произведение плотности состояний на вероятность их заполнения:

,	(3.5)
	(3.6)

Если уровень Ферми F находится в разрешенной зоне, то он разделяет заполненные и незаполненные её части. Если температура сравнительно низкая, то все уровни, лежащие ниже уровня Ферми заполнены электронами, и все уровни находящиеся выше уровня Ферми свободны.

Рис. 3.5. Заполнение электронами зоны проводимости в случае вырожденного полупроводника

Если уровень Ферми лежит внутри разрешенной зоны, то такой полупроводник называется вырожденным, если в запрешенной зоне, то полупроводник называется невырожденным.

Вырождение полупроводника может наступать в следующих случаях: при высокой температуре (значение kT велико), при обычных рабочих температурах — у полупроводников с малой шириной запрещенной зоны E_g при высокой степени легирования.

3.2.2 Заполнение электронами и дырками зон невырожденного полупроводника

В невырожденном полупроводнике уровень Ферми находится между зоной проводимости и валентной зоной, то есть внутри запрещенной зоны. В собственном невырожденном – в середине запрещенной зоны (см. рис. 3.6, а также п. 4.1) .

б

Рис. 3.6 Заполнение электронами зоны проводимости в случае невырожденного полупроводника

Функция Ферми – Дирака (3.3), (3.4) справедлива не только для собственных, но и для примесных полупроводников. Степень или уровень легирования определяется количеством примесных атомов в единице объема полупроводника.В полупроводниках n-типа большое количество электронов переходит в зону проводимости с уровней доноров, при этом дырки в валентной зоне не появляются. Поэтому вероятность появления электрона в зоне проводимости выше вероятности появления дырки в валентной зоне. Это, очевидно, возможно в том случае, если уровень Ферми F‚ будет смещен от середины запрещенной зоны в сторону дна зоны проводимости. Чем выше концентрация атомов доноров в полупроводнике , тем больше это смещение. В полупроводнике р-типа, наоборот, уровень располагается ниже уровня и с повышением концентрации атомов акцепторов в нем уровень Ферми будет располагаться все ближе к потолку валентной зоны. На рис. 3.7 представлены функции Ферми – Дирака для примесных полупроводников n-типа (а) н р-типа (б). Заштрихованные площади пропорциональны концентрациям носителей заряда в зонах.

Рис. 3.7.Функции Ферми – Дирака и примесных полупроводников n-типа (а) и р-типа (б)

В общем случае согласно (3.5) концентрации электронов и дырок рассчитываются по формулам:

,

(3.7)

Для невырожденного полупроводника E-F » kT, »1, тогда можно применить статистику Максвелла-Больцмана:

,	(3.8)
Рис. 3.8. Функция распределения Максвелла — Больцмана при температурах Т1 и Т2 (Т2>Т1)
,		(3.9)

Для того чтобы рассчитать концентрацию всех свободных электронов, т.е. концентрацию электронов в зоне проводимости, необходимо проинтегрировать по всей зоне проводимости, согласно (3.9). Поскольку функция Больцмана – очень быстро спадающая экспонента, при интегрировании по зоне в качестве верхнего предела использована ∞.