шпора (Шпоры)

Билет №1

Первообразная функция.

Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F(x) = f(x).

Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F₁(x) = F₂(x) + C.

Неопределенный интеграл.

Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением: F(x) + C.

Записывают:

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Свойства:

1.

2.

3.

4.

где u, v, w – некоторые функции от х.

Таблица неопределённых интегралов.

=

=

=

=

=

=

= e^x + C

= sinx + C

= -cosx + C

= tgx + C

= -ctgx + C

=

=

=

Билет №2

Способ подстановки (замены переменных).

Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = (t) и dx = (t)dt получается:

Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство:

По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла: f(x)dx = f[(t)](t)dt

что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана.

Пример. Найти неопределенный интеграл .

Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.

Интегрирование по частям.

Способ основан на известной формуле производной произведения:

(uv) = uv + vu

где u и v – некоторые функции от х.

В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu

Проинтегрировав, получаем: , а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла:

или ;

Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.

Пример.

Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.

Билет №3

Определенный интеграл.

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).

y

M

m

0 a x_{i b x}

Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a, b]

Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками.

x₀ < x₁ < x₂ < … < x_n

Тогда x₁ – x₀ = x₁, x₂ – x₁ = x₂, … ,x_n – x_n-1 = x_n;

На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции.

[x₀, x₁]  m₁, M₁; [x₁, x₂]  m₂, M₂; … [x_n-1, x_n]  m_n, M_n.

Составим суммы:

_n = m₁x₁ + m₂x₂ + … +m_nx_n =

_n = M₁x₁ + M₂x₂ + … + M_nx_n =

Сумма называется нижней интегральной суммой, а сумма – верхней интегральной суммой.

Т.к. m_i  M_i, то _n  _n, а m(b – a)  _n  _n  M(b – a)

Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку .

x₀ < ₁ < x₁, x₁ <  < x₂, … , x_n-1 <  < x_n.

Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].

S_n = f(₁)x₁ + f(₂)x₂ + … + f(_n)x_n =

Тогда можно записать: m_ix_i  f(_i)x_i  M_ix_i

Следовательно,

Геометрически это представляется следующим образом: график функции f(x) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной.

Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.

Свойства определенного интеграла.

4. Если f(x)  (x) на отрезке [a, b] a < b, то

1. Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то:

1. Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка  такая, что

Доказательство: В соответствии со свойством 5:

т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на этом отрезке все значения от m до М. Другими словами, существует такое число  [a, b], что если

и  = f(), а a    b, тогда . Теорема доказана.

7) Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство:

Разумеется, это равенство выполняется, если существует каждый из входящих в него интегралов.

8)

Обобщенная теорема о среднем. Если функции f(x) и (x) непрерывны на отрезке [a, b], и функция (х) знакопостоянна на нем, то на этом отрезке существует точка , такая, что

Билет №4

Вычисление определенного интеграла.

Пусть в интеграле нижний предел

а = const, а верхний предел b изменяется. Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение интеграла.

Обозначим = Ф(х). Найдем производную функции Ф(х) по переменному верхнему пределу х.

Аналогичную теорему можно доказать для случая переменного нижнего предела.

Теорема: Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл.

Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбница)

Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то

это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.

Доказательство: Пусть F(x) – первообразная функции f(x). Тогда в соответствии с приведенной выше теоремой, функция - первообразная функция от f(x). Но т.к. функция может иметь бесконечно много первообразных, которые будут отличаться друг от друга только на какое – то постоянное число С, то

при соответствующем выборе С это равенство справедливо для любого х, т.е. при х = а:

Тогда .

А при х = b:

Заменив переменную t на переменную х, получаем формулу Ньютона – Лейбница:

Теорема доказана.

Билет №5

Интегрирование по частям.

Если функции u = (x) и v = (x) непрерывны на отрезке [a, b], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям:

Замена переменных.

Пусть задан интеграл , где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a, b].

Введем новую переменную в соответствии с формулой x = (t).

Тогда если

1) () = а, () = b

2) (t) и (t) непрерывны на отрезке [, ]

3) f((t)) определена на отрезке [, ], то

Тогда

Пример.

При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о том, что вводимая функция (в рассмотренном примере это функция sin) должна быть непрерывна на отрезке интегрирования. В противном случае формальное применение формулы приводит к абсурду.

Билет №6

Вычисление площадей плоских фигур.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x) [f(x) ≥ 0], прямыми x=a и x=b и отрезками [a; b] оси Ох, вычисляется по формуле:

Площадь фигуры, ограниченной кривыми y=f₁(x) и y=f₂(x)[f₁(x) ≤ f₂(x)] и прямыми x=a и x=b, находится по формуле:

Если кривая задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x=a, x=b и отрезком [a; b] оси Ох, выражается формулой:

где t₁ и t₂ определяются из уравнений a=x(t₁), b=x(t₂) [y(t) ≥ 0 при t₁ ≤ t ≤ t₂].

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением ρ=ρ(θ) и двумя полярными радиусами θ=α, θ=β (α < β), выражается интегралом:

Билет №7

Вычисление длины дуги кривой.

y y = f(x)

S_i y_i

x_i

a b x

Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как .

Тогда длина дуги равна .

Из геометрических соображений:

В то же время

Тогда можно показать (из соображений .), что

Т.е.

Если уравнение кривой задано параметрически, то с учетом правил вычисления производной параметрически заданной функции, получаем

,

где х = (t) и у = (t).

Если задана пространственная кривая, и х = (t),

у = (t) и z = Z(t), то

Если кривая задана в полярных координатах, то

,  = f().

Пример: Найти длину окружности, заданной уравнением x² + y² = r².

1 способ. Выразим из уравнения переменную у.

Найдем производную

Тогда

Тогда S = 2r. Получили общеизвестную формулу длины окружности.

2 способ. Если представить заданное уравнение в полярной системе координат, то получим: r²cos² + r²sin² = r², т.е. функция  = f() = r, тогда

Билет №8

Несобственные интегралы.

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на интервале [a, ). Тогда она непрерывна на любом отрезке [a, b].

Определение: Если существует конечный предел , то этот предел называется несобственным интегралом от функции f(x) на интервале [a, ).

Обозначение:

Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится.

Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл расходится.

Аналогичные рассуждения можно привести для несобственных интегралов вида:

Конечно, эти утверждения справедливы, если входящие в них интегралы существуют.

Пример.

-не существует.

Несобственный интеграл расходится.

Пример.

- интеграл сходится

Теорема: Если для всех х (x  a) выполняется условие и интеграл сходится, то тоже сходится и  .

Теорема: Если для всех х (x  a) выполняется условие и интеграл расходится, то тоже расходится.

Теорема: Если сходится, то сходится и интеграл .

В этом случае интеграл называется абсолютно сходящимся.

Билет №9

Функции нескольких переменных

При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного числа переменных.

Определение: Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из некоторого множества по какому - либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z, то переменная z называется функцией двух переменных.

z = f(x, y)

Определение: Если паре чисел (х, у) соответствует одно значение z, то функция называется однозначной, а если более одного, то – многозначной.

Определение: Областью определения функции z называется совокупность пар (х, у), при которых функция z существует.

Определение: Окрестностью точки М₀(х₀, у₀) радиуса r называется совокупность всех точек (х, у), которые удовлетворяют условию .

Определение: Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки М(х, у) к точке М₀(х₀, у₀), если для каждого числа  > 0 найдется такое число r >0, что для любой точки М(х, у), для которых верно условие

также верно и условие .

Записывают:

Определение: Пусть точка М₀(х₀, у₀) принадлежит области определения функции f(x, y). Тогда функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке М₀(х₀, у₀), если

(1)

причем точка М(х, у) стремится к точке М₀(х₀, у₀) произвольным образом.

Производные и дифференциалы функций

нескольких переменных.

Определение. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение х к переменной х. Тогда величина _xz = f( x + x, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.

Можно записать

.

Тогда называется частной производной функции z = f(x, y) по х.

Обозначение:

Аналогично определяется частная производная функции по у.

Геометрическим смыслом частной производной (допустим ) является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N₀(x₀, y₀, z₀) к сечению поверхности плоскостью у = у₀.

Билет №10

Полный Дифференциал.

Пусть функция z = F(x ,y) определена в некоторой окрестности точки M₀ (x₀ ,y₀).

Дадим x₀ приращение ∆x, y - ∆y.

Разность ∆z = F(x₀ + ∆x, y₀ + ∆y) – F(x₀ ,y₀) – называется полным приращением функции.

∆_xz = F(x₀ + ∆x, y₀) – F(x₀ ,y₀) – ч.п.по аргум.x

∆_xz = F(x₀, y₀ + ∆y) – F(x₀ ,y₀) - ч.п.по аргум.y

Необходимое условие дифференцируемости:

Если функция z = F(x , y) дифференцируема в точке М₀, то она имеет в точке М₀ частные производные по x и по y, причём:

Доказательство:

По условию z = F(x ,y) дифференцируема в точке М₀, то есть

∆z = F(x₀ + ∆x, y₀ + ∆y) – F(x₀ ,y₀) = A∆x + B∆y + O( ) (3)

а) ∆x ≠ 0, ∆y ≠ 0, тогда ∆_xz = F(x₀ + ∆x, y₀) – F(x₀ ,y₀) = A∆x + О(∆x)

Тогда:

Отсюда вытекает доказательство формулы (2)

Достаточное условие дифференцируемости:

Пусть z = F(x ,y) имеет в некоторой точке М₀ частные производные δz/δx , δz/δy , причём они неприрывны в точке М₀, тогда z = F(x ,y) дифференцируема в точке М₀ и имеет дифференциал dz.

Билет №11

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

нормаль

N

j N₀

касательная плоскость

Пусть N и N₀ – точки данной поверхности. Проведем прямую NN₀. Плоскость, которая проходит через точку N₀, называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между секущей NN₀ и этой плоскостью стремится к нулю, когда стремится к нулю расстояние NN₀.

Определение. Нормалью к поверхности в точке N₀ называется прямая, проходящая через точку N₀ перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.

В какой – либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе.

Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция, дифференцируемая в точке М₀(х₀, у₀), касательная плоскость в точке N₀(x₀,y_0,(x₀,y₀)) существует и имеет уравнение:

.

Уравнение нормали к поверхности в этой точке:

Экстремум функции нескольких переменных.

Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М₀(х₀, у₀) верно неравенство

то точка М₀ называется точкой максимума.

Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М₀(х₀, у₀) верно неравенство

то точка М₀ называется точкой минимума.

Теорема. (Необходимые условия экстремума).

Если функция f(x,y) в точке (х₀, у₀) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю , либо хотя бы одна из них не существует.

Эту точку (х₀, у₀) будем называть критической точкой.

Билет №12

Достаточное условие функции экстремумов 2-ух переменных.

Утвреждение 1.

Пусть f(x, y) – дважды непревывно дифференцируемая функция в окрестности точки

(x₀, y₀). Для того, чтобы точка (x₀, y₀) была точкой локального минимума (максимума) достоточно, чтобы dl f(x₀, y₀) = 0 и dl² f(x₀, y₀) = 0 был бы положительно (отрицательно) определённой квадратичной формой.

Доказательство.

Пусть - квадратичная форма.

Ф положительно определена

Ф отрицательно определена

Если , то φ имеет минимум при t = 0 имеет локальный минимум в точке (x₀, y₀).

Если , то положительно определена f имеет локальный минимум в точке (x₀, y₀).

Билет №13

Двойные интегралы.

Рассмотрим на плоскости некоторую замкнутую кривую, уравнение которой

f(x, y) = 0.

y

0 x

Совокупность всех точек, лежащих внутри кривой и на самой кривой назовем замкнутой областью D. Если выбрать точки области без учета точек, лежащих на кривой, область будет называется незамкнутой область D.

С геометрической точки зрения D - площадь фигуры, ограниченной контуром.

Разобьем область D на n частичных областей сеткой прямых, отстоящих друг от друга по оси х на расстояние Dх_i, а по оси у – на Dу_i. Вообще говоря, такой порядок разбиения наобязателен, возможно разбиение области на частичные участки произвольной формы и размера.

Получаем, что площадь S делится на элементарные прямоугольники, площади которых равны S_i = Dx_i × Dy_i .

В каждой частичной области возьмем произвольную точку Р(х_i, y_i) и составим интегральную сумму

где f – функция непрерывная и однозначная для всех точек области D.

Если бесконечно увеличивать количество частичных областей D_i, тогда, очевидно, площадь каждого частичного участка S_i стремится к нулю.

Определение: Если при стремлении к нулю шага разбиения области D интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D.

С учетом того, что S_i = Dx_i × Dy_i получаем:

В приведенной выше записи имеются два знака S, т.к. суммирование производится по двум переменным х и у.

Т.к. деление области интегрирования произвольно, также произволен и выбор точек Р_i, то, считая все площади S_i одинаковыми, получаем формулу:

Геометрический смысл двойного интеграла функции f(x,y) на компакте К: (f(x,y)>0)

V= – объем цилиндроида, изображенного на рис.6

рис. 6

Теорема без (док-ва): Если f(x,y)-непрерывна на К, то существует .

Теорема: Если К = К₁ К₂ и S(K₂)=0, то можно отбросить К₂, т.к. S(K₂)=0

=

Свойства двойного интеграла.

1)

2)

3) Если D = D₁ + D₂, то

4) Теорема о среднем. Двойной интеграл от функции f(x, y) равен произведению значения этой функции в некоторой точке области интегрирования на площадь области интегрирования.

5) Если f(x, y) ³ 0 в области D, то .

6) Если f₁(x, y) £ f₂(x, y), то .

7) .

Вычисление двойного интеграла.

Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, ограниченной линиями х = a, x = b, (a < b), y = j(x), y = y(x), где j и y - непрерывные функции и

j £ y, тогда

y y = y(x)

D

y = j(x)

a b x

Билет №14

Тройной интеграл.

Определение. Тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области Ω называется предел интегральной суммы , если он существует.

Тройной интеграл обозначается

Пусть - ограниченная замкнутая пространственная область, границей которой является кусочно-гладкая поверхность, и пусть функция  определена и ограничена в  . Посредством сетки кусочно-гладких поверхностей разобьем на конечное число элементарных областей   с объемами (разбиение ). Пусть . наибольший из диаметров областей  , получающийся при разбиении . В каждой из элементарных областей выберем произвольную точку . Число ставится в соответствие каждому разбиению  и каждому выбору точек и называется интегральной суммой. Если существует   и он не зависит от выбора разбиения и точек, то функция называется интегрируемой по Риману в области  , а сам предел называется тройным интегралом от функции   по области  и обозначается  . Свойства тройных интегралов такие же, как и у двойных интегралов.

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.

Пусть  является цилиндрическим телом, проекция которого на плоскость  есть область и которое ограничено снизу поверхностью , а сверху v поверхностью , где   - непрерывные функции в . Тогда , то есть интегрированием по z тройной интеграл сводится к двойному интегралу по области . Для областей более сложной формы вычисление двойных и тройных интегралов производится разбиением областей на конечное число простых областей с уже рассмотренными свойствами.

Основные свойства тройного интеграла -- его линейность, аддитивность и монотонность:

Билет №15

Двойной интеграл в полярной системе координат:

Пусть требуется посчитать по области , которая задается в полярных координатах условиями .

Сделаем замену переменных .

При этой замене нарушается взаимная однозначность отображения. Точке соответствует целый отрезок на оси . Однако точка имеет нулевую площадь и теорема справедлива. Осталось вычислить . ,

. .

Следовательно,

Замена переменных в двойном интеграле.

Пусть функции взаимно однозначно отображают открытое множество, содержащее область плоскости на открытое множество, содержащее область , и пусть является образом . Если и их частные производные непрерывны, а определитель  

, то . Выражение  называется элементом площади в криволинейных координатах, функциональный определитель - якобианом.

Билет №16

Замена переменных в тройном интеграле.

Операция замены переменных в тройном интеграле аналогична соответсвующей операции для двойного интеграла.

Можно записать:

Цилиндрическая система координат.

z

P

z

0

 x



y

Связь координат произвольной точки Р пространства в цилиндрической системе с координатами в декартовой прямоугольной системе осуществляется по формулам:

Для представления тройного интеграла в цилиндрических координатах вычисляем Якобиан:

Итого:

Билет №17

Замена переменных в тройном интеграле.

Операция замены переменных в тройном интеграле аналогична соответсвующей операции для двойного интеграла.

Можно записать:

Сферическая система координат.

z

P





0  x

y

Связь координат произвольной точки Р пространства в сферической системе с координатами в декартовой прямоугольной системе осуществляется по формулам:

Для представления тройного интеграла в сферических координатах вычисляем Якобиан:

Окончательно получаем:

Билет №18

Площадь гладкой поверхности.

Рассмотрим кусок поверхности , заданной уравнением . Пусть выполняется условие , что означает, что в каждой точке поверхности существует нормаль с направляющим вектором . Разобьем поверхность сеткой гладких кривых на элементарные области

( разбиение ). Пусть   - наибольший из диаметров элементарных областей. Если независимо от разбиения существует , то он и называется площадью данной поверхности. Пусть   однозначно проектируется на плоскость и  - эта проекция. Элементу площади области на плоскости соответствует элемент площади поверхности , равный:

, где - угол между нормалью к поверхности и осью . Поэтому вычисление площади поверхности сводится к вычислению двойного интеграла  по проекции поверхности на плоскость. Если поверхность задана уравнением , то     и площадь поверхности вычисляется по формуле   ,

здесь - проекция поверхности на плоскость . Если поверхность однозначно проектируется на другие координатные плоскости, то соответственно изменится формула вычисления площади поверхности.

Поверхностный интеграл 1-го рода.

Пусть некоторая функция определена и ограничена на гладкой поверхности . Выберем разбиение поверхности и точки на каждой элементарной области   и составим интегральную сумму .

Если независимо от выбора разбиения и точек существует , то он называется поверхностным интегралом по площади поверхности (1-го рода) от функции и обозначается    .

Свойства и вычисление поверхностного интеграла по площади поверхности.

Если поверхность задана уравнением  и однозначно проектируется на плоскость , то поверхностный интеграл 1-го рода вычисляется по формуле . Нетрудно получить аналогичные формулы, если поверхность однозначно проектируется на другие координатные плоскости. Поскольку вычисление поверхностного интеграла сводится к двойному интегралу, то, естественно, все свойства поверхностного интеграла 1-го рода такие же, как и у двойного.

Отметим, что в определении интеграла первого типа сторона поверхности не участвует. Пример задачи, моделью которой служит поверхностный интеграл первого типа – нахождение массы поверхности , поверхностная плотность которой в точке равна .

Для вычисления поверхностного интеграла 1-го типа удобно использовать следующие формулы:

Теорема 1. Пусть поверхность задана уравнением , где - непрерывно дифференцируемая на квадрируемой области функция, . Тогда для любой непрерывной на поверхности функции

Теорема 2. Если поверхность задана параметрическими уравнениями , где - непрерывно дифференцируемые функции на . Пусть непрерывна на . Тогда .

Билет №19

Скалярное поле

Производной скалярной функции U=f(x,y,z) по направлению вектора

в точке M0(x0,y0,z0) называется предел, если он существует, отношения приращения ΔU0 функции при смещении из точки M0(x0,y0,z0) в направлении вектора в точку M1(x,y,z) к величине этого смещения

когда ρ → 0, то есть

Следовательно,

характеризует скорость изменения величины U в точке M₀ в направлении вектора .

Очевидно, что функция U имеет бесчисленное множество производных по направлениям в каждой точке M.

Получим формулу для вычисления производной по направлению. Так как

где величины x₀,y₀,z₀, cosα, cosβ, cosγ фиксированы, то U(M₁) есть функция только смещения ρ.

 Обозначим эту функцию

При ρ = 0 имеем ψ(0) =U(x0,y0,z0)=U(M0).

Следовательно:

 Т. е. получим формулу:

 выражающую производную от функции U = f(x,y,z) по направлению вектора

.

Пусть f(x,y) – функция двух переменных.

Вектор с координатами (f(x,y)/x,f(x,y)/y) называется градиентом функции f(x,y) и обозначается grad f.

из формулы сразу следует,что

Теперь вычислим , итак мы получим следующую формулу , где - угол между градиентом f и вектором n.

Итак мы получим следующее важное свойство градиентов:

1. производная по любому направлению f(x,y) не превосходит длины градиента f .

2. длина градиента f совпадает с производной по тому направлению , по которому производная f(x,y) достигает максимума.

Билет №20

Векторное поле.

Векторное поле  характеризуется тремя функциями  которые известным образом преобразуются при поворотах осей координат.

Определение: Векторными линиями поля  называются линии, касательные к которым в каждой точке имеют направление вектора  

Пусть вектор d совпадает по направлению с касательной к векторной линии в точке с радиус-вектором . Это означает, что он параллелен вектору и          (2.14)

т.е.

dx2A3 – dx3A2 =0 

dx3A1 – dx1A3 =0         (2.15)

dx1A2 – dx2A1 =0

Из (2.15) следует, что

(2.16)

Решением этих двух дифференциальных уравнений будет два семейства поверхностей, пересечением которых являются векторные линии.

Рассмотрим в пространстве, в котором определено векторное поле, некую поверхность S. Ориентацию элементов dS этой поверхности  будем характеризовать единичными векторами внешних нормалей.

Определение: Поток вектора  через поверхность S называется скалярная величина, определяемая интегралом

      (2.28)

Интегралы такого типа широко встречаются в физике. Для примера рассмотрим стационарное поле скоростей частиц жидкости или газа. Объем жидкости, протекающий через элемент поверхности  S за время t, равен

Умножим это выражение на плотность жидкости  и разделим на , получим массу жидкости, протекающей через элемент поверхности в единицу времени. Просуммировав по всем элементам , на которые разбита поверхность, и перейдя к пределу , получим, что масса жидкости, протекающая через поверхность S за еденицу времени, выражается ингералом

      (2.30) , который имеет смысл потока вектора через поверхность S.

Билет №21

Дивергенция векторного поля.

Пусть задано векторное поле

Определение: 

Дивергенцией или расходимостью векторного поля называется скалярная функция, определяемая равенством:

На этот раз векторное поле

порождает скалярное поле

.

С учетом понятий дивергенции и потока векторного поля (формулу Остроградского ) можно представить в форме:

т. е. поток векторного поля через замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали равен тройному интегралу от дивергенции векторного поля по области, ограниченной этой поверхностью.

На основании формулы (3.38) можно записать:

и, переходя к пределу, стягивая V в точку М (при этом величина V → 0 ), имеем:

То есть

есть предел отношения потока поля

через бесконечно малую замкнутую поверхность, окружающую точку М, к величине объёма, ограниченного этой поверхностью. Из этого следует, что дивергенция не зависит от выбора системы координат.

Если поток

,

то в область V втекает большее количество жидкости (если следовать ранее рассмотренному примеру о течении несжимаемой жидкости), чем вытекает из неё, т.е. внутри области V имеются источники жидкости.

Если П < 0, то внутри области V есть стоки.

Но поток векторного поля характеризует интенсивность источников и стоков лишь суммарно, т. е. при П ≥ 0 внутри области V могут быть как источники, так и стоки.

Гидромеханический смысл:

Для характеристики точки можно использовать

.

Если > 0, то данная точка есть источник,

если < 0 - то сток.

Инвариантное определение дивергенции и его свойства:

можно записать с помощью символического вектора Гамильтона

в следующем виде:

Отметим свойства дивергенции: 

где U – скалярная функция.

Теорема Гаусса-Остроградского.

«Поток векторного поля F(r) через замкнутую поверхность G в направлении ее внешней нормали равен тройному интегралу по области D_G, ограниченной этой поверхностью:

Билет №22

Соленоидальное поле. Векторная трубка в соленоидальном поле

Опр. - соленоидальное поле, если .

Векторная линия обладает тем свойством, что в любой ее точке вектор касательной к линии совпадает с .

Векторная трубка – это совокупность векторных линий.

Пусть - сечения векторной трубки и - ее боковая поверхность.

.

Рассмотрим внешнюю нормаль к и применим теорему Остроградского: ,

в случае соленоидального поля. Итак, .

На по определению векторной линии , поэтому или .

Изменяя направление нормали на на противоположное получаем, что поток соленоидального поля через поперечные сечения векторных трубок постоянен.

Билет №23

Криволинейный Интеграл

Пусть в области DÌR³ заданы : 1) непрерывное векторное поле

F(r) =[ f_x(x,y.z); f_y(r); f_z(r)]^t Î R³;

(координаты вектора F - непрерывные функции f_x,y,z(x,y,z) трех переменных)

и 2) параметрическое уравнение гладкой линии L Ì D, соединяющей точки A и В:

; А(x(t_A), y(t_A),z(t_A))=A(t_A), B(t_B).

( функции x(t), y(t), z(t) - дифференцируемые)

Запишем в произвольной точке линии M(r(t))ÎL

-векторное поле F(t)=F(r(t))= F(x(t), y(t), z(t))= .

- и вектор dr(t) бесконечно-малого перемещения в точке (по касательной к линии L)

dr(t)=[dx(t),dy(t), dz(t)]^t

^F(r(t))

^M(r(t))

^r(t)

^dr(t)

^B(t_B⁾

Очевидно, что скалярное произведение F(t)·dr(t) равно

и определяется одной переменной - параметром “t” точки линии.

Опр: Криволинейным интегралом (II рода

по координатам) от непрерывного векторного поля F(r) вдоль гладкой кривой L : называют число

Из определения следует:

Физический смысл:

1) Так как скалярное произведение векторов

F(t)·dr(t)= ||F|| ||dr||cos(F,r), для силового поля F криволинейный интеграл равен работе по перемещению материальной точки из точки А в точку В по линии L в поле силы F.

Вычисление К.Р.:

2) Алгоритм вычисления криволинейного интеграла :

а) записывается параметрическое уравнение ггладкой линии L

L : r(t) Û x=x(t); y=y(t); z=z(t);

и находятся соответствующие параметрические координаты t_А и t_В точек А и В ;

б) уравнение линии дифференцируется dr(t)=r^'(t)dt=[dx(t);dy(t);dz(t)];

в) записывается векторное поле в точках линии F(t)=[f_X^*(t); f_Y^*(t); f_Z^*(t)] ^t;

4) вычисляется скалярное произведение векторов (F(t),dr(t)) и находится явный вид подынтегрального выражения

(f_X^*(t)x’(t)+ f_Y^*(t)y’(t)+ f_Z^*(t)z’(t))dt = Ф(t)dt;

5) вычисляется определенный интеграл

Теорема Грина. Если плоское векторное поле F(x,y)=[f_X(x,y);f_Y(x,y)]^t непрерывно дифференцируемо в замкнутой области D_К ÌR², ограниченной гладким контуром «К», криволинейный интеграл по замкнутому контуру в положительном направлении (+К) равен двойному интегралу по области, ограниченной этим контуром

- формула Грина

Билет №24

Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру.

Проведем в векторном поле замкнутую кривую и примем для нее определенное направление обхода. Затем разобьем ее на малые дуги. Хорды, стягивающие эти элементы кривой, имеют направления, совпадающие с направлением обхода. Обозначим их . В произвольной точке i –того участка кривой возьмем вектор поля   и составим сумму            (2.37)

После этого устремим  к нулю. Если при этом предел суммы (2.37) существует и не зависит от способа разбиения кривой и выбора точек определения векторов , то мы приходим к криволинейному интегралу

        (2.38)

Определение:

Криволинейный интеграл (2.38) называется циркуляцией векторного поля  по замкнутому контуру L.Если, например,  - это силовое поле, то физический смысл циркуляции состоит в том, что она выражает работу поля по пути L.

Ротор векторного поля.

Рассмотрим в пространстве замкнутый контур с выбранным направлением обхода, лежащий в ориентированной плоскости на ее положительной стороне (из конца единичного вектора нормали   обход контура представляется против часовой стрелки). Ротором    (или вихрем) векторного поля в точке  называется вектор, проекция которого на направление вектора нормали есть    . Точка лежит  на плоскости внутри контура  , который стягивается в эту точку при вычислении предела. Поскольку ротор поля определяется через циркуляцию, то он тоже является мерой завихренности поля. Найдем компоненты ротора в декартовой системе координат, воспользовавшись формулой Стокса. Для этого выберем сначала координатную плоскость y0z с нормальным вектором   , затем x0z,     , затем x0y,   . Применяя каждый раз теорему о среднем для интеграла, получим:   

Теперь теорема Стокса может быть сформулирована следующим образом: циркуляция векторного поля вдоль контура равна потоку ротора поля через поверхность, натянутую на этот контур. Выражение для ротора поля проще запомнить, если записать его в виде определителя:

.

Используя свойства частных производных и определителей, получим следующие свойства ротора векторного поля:

Теорема: Поток вихря  через поверхность S,.натянутую на замкнутый контур L , равен циркуляции векторного поля   по этому контуру, если компоненты поля вместе с их частными произ­водными непрерывны на S  и L.

         (2.43)

Билет №25

Потенциальное поле:

Если формула Грина верна для области D_К ÌR² , она верна для любого контура К₁D_K , целиком лежащего в области. Кроме того,

Следствия. Если плоское векторное поле

F=[f_x; f_y] удовлетворяет условию

, то

1. КИ по любому замкнутому контуру, целиком лежащему в области, равен нулю.

2. КИ по гладкой линии LÌD, соединяющей точки А, В ,

не зависит от формы линии , определяется только положением точек А и В на плоскости

и равен разности значений некоторой функции U(x,y) в этих точках.

Определение. Плоское векторное поле, криволинейный интеграл в котором не зависит от формы пути, называется потенциальным векторным полем, а функция U(x,y) называется потенциалом векторного поля.

Оглавление

1. Первообразная. Свойство первообразных. Неопределённый интеграл и его свойства. Таблица неопределённых интегралов.

2. Замена переменной и интегрирование по частям неопределённом интеграле.

3. Определённый интеграл. Геометрический смысл и его свойства. Теорема о среднем для определённого интеграла.

4. Интеграл с переменным верхним пределом. Производная интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.

5. Интегрирование по частям и замена переменной в определённом интеграле.

6. Вычисление площадей с помощью определённого интеграла в декартовых координатах, в полярных и для функции заданной параметрически.

7. Длина дуги и её вычисление в декартовой системе координат и для функции заданных параметрически. Дифференциал дуги и его геометрический смысл.

8. Несобственные интегралы I-ого рода ( с бесконечными пределами). Эталонный интеграл и его сходимость. Теоремы сравнения (2-е шт.). Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.

9. Функции нескольких переменных. Область определения. Частные производные I-ого порядка и их геометрический смысл. Предел и непрерывность.

10. Полный дифференциал. Необходимое условие дифференцирования. Дифференциал функции 2-ух переменных. Достаточное условие дифференцируемости функции (без доказательства).

11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности, в заданной точке. Экстремумы функции 2-ух переменных. Необходимое условие экстремумов.

12. Достаточное условие функции экстремумов 2-ух переменных (сначала доказать теорему о знаке квадратичной формы, а затем применить её к достаточному условию).

13. Двойной интеграл, его свойства и геометрический смысл. Классы интегрируемых функций. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах с помощью 2-ух последовательных интегрирований (сначала дать без доказательства теорему Фубини => применить её к теореме о вычислении интеграла в криволинейной области).

14. Тройной интеграл, его геометрический смысл и его свойства. Классы интегрирования функций. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат сведением к повторному интегралу.

15. Криволинейные интегралы. Якобиан и его геометрический смысл. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярной системе координат. Вычисление площади в полярной системе координат (в формуле сделать замену переменных x=pcos(a) и y=sin(a), где а – угол).

16. Замена переменных в тройном интеграле (теорема без доказательства). Геометрический смысл Якобиана. Тройной интеграл в цилиндрических координатах.

17. Замена переменных в тройном интеграле (теорема без доказательства). Геометрический смысл Якобиана. Тройной интеграл в сферических координатах.

18. Понятие площади поверхности. Вычисление площади поверхности заданной уравнением f=f(x,y). Поверхностный интеграл I-ого рода (по площади поверхности). Его свойства и вычисление.

19. Скалярное поле. Примеры. Градиент. Производная по направлению, её вычисление и связь градиентом. Свойства градиента. Инвариантное определение градиента.

20. Векторное поле и примеры векторных полей. Векторные линии и векторные трубки. Поток векторного поля через поверхность и его физический смысл. Свойство потока и его вычисление.

21. Дивергенция векторного поля и её гидромеханический смысл. Теорема Остроградского-Гаусса. Инвариантное определение дивергенции и его свойства.

22. Соленоидальное поле. Условие соленоидальности. Поток соленоидальности через поперечное сечение трубки (закон сохранения интенсивтности векторной трубки).

23. Криволинейный интегралл и его вычисление. Криволинейный интеграл II-ого рода, его сведение к интегралу I-ого рода и вычисление. Физический смысл интеграла Iого рода и II-ого рода. Формула Грина.

24. Циркуляция векторного поля вдоль замкнутой кривой и её физический смысл. Ротор и его свойства. Инвариантное определение ротора. Теорема Стокса.

25. Потенциальное поле и примеры потенциальных полей. Условие потенциальности. Условие независимости криволинейного интеграла II-ого рода от формы пути