25185 (Оцінка точності при параметричному методі врівноваження), страница 2

Тоді

Підставивши отримане рівняння у формулу 1 отримаємо систему умовних рівнянь поправок в лінійному вигляді:

Дана система r рівнянь з n невідомими є невизначена, оскільки r

Параметричний спосіб зрівнювання і спосіб умов є еквівалентними за однакових додаткових умов, тобто приводять до однакових значень зрівняних елементів геодезичної побудови.

Суть і послідовність врівноваження параметричним способом

При побудові геодезичних мереж на місцевості закріплюються пункти, координати і висоти яких є шуканими величинами. Як правило, при зрівнюванні геодезичних мереж параметричним способом шукані параметри приймаються:

1) координати X і Y пунктів при зрівнюванні планових мереж;

2) висоти Н пунктів при врівноваженні висотних мереж.

Елементами геодезичних мереж є вимірювані на місцевості горизонтальні кути, довжини ліній, перевищення між точками, введемо наступні позначення (k

1. Yj (j = 1, k) – дійсні значення шуканих параметрів або необхідних невідомих;

2. y* j (j = 1, k) – зрівняні значення параметрів;

3. yj (j = 1, k) – наближені значення параметрів;

4. tj (j = 1, k) – поправки в наближені значення параметрів;

5. Xi (i = 1, n) – дійсні значення елементів мережі;

6. x*i (i = 1, n) – зрівняні значення елементів;

7. vi (i = 1, n) – поправки у виміряні значення елементів мережі;

8. aij (i = 1, n; j = 1, k) – коефіцієнти параметричних рівнянь поправок;

9. li (i = 1, n) – вільні члени параметричних рівнянь поправок;

10) Pi (i = 1, n) – ваги результатів вимірів.

При врівноваженні параметричним способом складається система параметричних рівнянь поправок

де - матриця коефіцієнтів параметричних рівнянь поправок розміром k*n;

- вектор поправок до вектора наближених значень параметрів yj;

- вектор вільних членів системи параметричних рівнянь поправок l= f(y1, y2 ., yk) – xi;

- вектор поправок до вектора виміряних елементів мережі xi.

Вирішення системи параметричних рівнянь поправок полягає у відшуканні вектора поправок Т до наближених значень параметрів

yj (j = 1, k) за умови

де - вагова матриця або матриця вагів результатів вимірів розміром n*n.

Для відшукання min функції необхідно прирівняти до нуля її першу похідну і вирішити отримані рівняння. У нашому випадку:

З системи параметричних рівнянь поправок виходить, що

Покажемо, що умова

Рівносильно умові

Отже:

Помножимо рівняння AT + L = V зліва на і отримаємо:

або враховуючи умову

Отримана система k рівнянь з k невідомими параметрами tj називається системою нормальних рівнянь. Матриця коефіцієнтів системи нормальних рівнянь має вигляд:

Отримана матриця:

1. квадратна матриця порядку k;

2. симетрична матриця;

3. позитивно визначена рангу k;

4. неособлива.

В результаті вирішення системи нормальних рівнянь отримуємо поправки tj до наближених значень параметрів yj, а потім по формулі

y*j = yj + tj зрівняні значення параметрів. Поправки vi до виміряних значень елементів мережі xi обчислюються за формулою:

Потім обчислюються зрівняні значення елементів мережі:

Контроль вирішення системи нормальних рівнянь обчислення поправок vi і зрівняних значень x*i і y*j виробляється по формулі:

тобто по зрівняних значеннях параметрів ще раз обчислюють зрівняні значення елементів мережі.

Недотримання цієї контрольної рівності може відбуватися із-за помилок в обчисленнях або унаслідок недостатньої точності наближених значень параметрів yj. У першому випадку необхідно відшукати і виправити помилки в обчисленнях. У другому випадку зрівняних значень y*j слід набути як наближені значення і з ними повторити весь процес зрівнювання.

Ознакою недостатньої точності наближених значень параметрів є недопустимо великі значення поправок tj. У цих випадках не можна нехтувати нелінійними членами розкладання функції в ряд Тейлора при обчисленні коефіцієнтів параметричних рівнянь поправок.

Оцінка точності при параметричному методі врівноваження.

Визначення середньої квадратичної погрішності одиниці ваги. Визначається по формулі:

де n – число виміряних величин;

k – число необхідних вимірів.

Середня квадратична похибкам визначення m обчислюється за формулою:

Величина [pvv] або може бути знайдена різними шляхами:

1. по алгоритму Гауса – при вирішенні системи нормальних рівнянь до основної системи NT + L = 0 додається ще одне рівняння

1. Знов отримана система k+1 рівнянь з k+1 невідомими зберігає всі властивості нормальних рівнянь, причому останній діагональний елемент Тому після виключення всіх невідомих ti отримаємо:

2) по обчислених поправках v – обчисливши поправки V = AT + L, де А – матриця коефіцієнтів рівнянь поправок. Обчислимо величину [pvv] за формулою:

3) по значеннях вільних членів l в рівняннях поправок і поправках v – знаючи поправки v в результати вимірів і вільні члени l рівнянь поправок знайдемо [pvv] по формулі:

або

Обчислення середніх квадратичних похибок зрівняних значень параметрів.

Виразимо невідомі Т у вигляді лінійних функцій вільних членів нормальних рівнянь за допомогою зворотної матриці:

Позначимо Тоді

Тобто

Для будь-якого ti можна записати

У параметричному способі зрівнювання елементи зворотної матриці Q є ваговими коефіцієнтами. При цьому всі діагональні елементи Qij завжди позитивні і називаються квадратними, а Qij = Qji, тобто матриця симетрична. Середня квадратична погрішність зрівняного значення параметрів

Yj* (j = 1,k) обчислюється за формулою:

Вагові коефіцієнти Qij визначаються вирішенням системи рівнянь N·q – E = 0. Для цього в таблиці вирішення нормальних рівнянь по алгоритму Гауса додаються стовпці з коефіцієнтами одиничної матриці. Наприклад, для i = 1 маємо:

Після завершення всіх перетворень обчислимо Q11, Q12 і Q13 також, як і невідомі. При цьому замість графи L використовується додаткова графа Q1j. Використовуючи коефіцієнти нормальних рівнянь можна довести, що зворотна вага j-того параметра визначається по формулі:

Тоді

Обчислення середньої квадратичної погрішності зрівняних значень виміряних величин.

Середня квадратична погрішність обчислюється за формулою:

де Pfi – вага зрівняного значення виміряної величини xi*.

Виразимо xi* через зрівняні значення параметрів Yj*

і визначимо коефіціенти

Наприклад,

Тоді

Зворотна вага функції 1/Рf обчислюється безпосередньо в графові F за допомогою вагових функцій fi, узятих із зворотним знаком. Крім того:

Обчислення коефіцієнтів кореляції між зрівняними значеннями параметрів.

Тоді

.

Висновок

Геоде́зія (у перекладі з грецької — «землерозділення) — наука про методи визначення фігури і розмірів Землі, зображення земної поверхні на планах і картах і точних вимірювань на місцевості, пов'язаних з розв'язанням різних наукових і практичних завдань.

Виділяють вищу геодезію (вивчає фігуру, розміри і гравітаційне поле Землі, а також теорію й методи побудови опорної геодезичної мережі), топографію та прикладну геодезію (використання методів і техніки геодезії для розв'язання спеціальних вимірювальних завдань у різних галузях господарства).

Геодезія тісно пов'язана з математикою, фізикою, радіоелектронікою, радіотехнікою, геофізикою, астрономією, картографією, географією, геоморфологією.

Геодезичні побудови створюються для забезпечення єдиної системи координат і висот, для визначення взаємного положення точок, що знаходяться на земній поверхні, під і над нею. При цьому об'єкти можуть бути нерухомими (рівновага об'єктів) або знаходиться в русі.

Врівноваження забезпечує:

1. однозначне визначення параметрів геодезичної побудови;

2. підвищення точності визначення елементів і параметрів побудови.

Зрівнювання геодезичних побудов виконується в тих випадках, коли:

1)відомі вихідні дані, яких вистачає для обчислення визначуваних параметів побудови;

2 ) виконано n вимірів, причому n>k (k – число необхідних вимірів);

3) серед виміряних n елементів побудови є k величини, необхідні і достатні для відшукання визначуваних параметрів.

Основними є два способи зрівнювання:

1) параметричний спосіб (спосіб необхідних невідомих);

2) коррелатний спосіб (спосіб умов).

Окремі способи зрівнюваннями, що мають свої назви, є видозміни або різні комбінації цих способів (зрівнювання вимірів однієї величини, групове зрівнювання, параметричний спосіб з надлишковими невідомими, спосіб умов з додатковими невідомими і ін.)

При побудові геодезичних мереж на місцевості закріплюються пункти, координати і висоти яких є шуканими величинами. Як правило, при зрівнюванні геодезичних мереж параметричним способом шукані параметри приймаються:

1) координати X і Y пунктів при зрівнюванні планових мереж;

2) висоти Н пунктів при врівноваженні висотних мереж.

Параметричний спосіб зрівнювання і спосіб умов є еквівалентними за однакових додаткових умов, тобто приводять до однакових значень зрівняних елементів геодезичної побудови.

Список використаної літератури

1. Геодезія. Підручник. Частина друга / А. Л. Островський, О. І. Мороз, В. Л. Тарнавський; За заг. ред. А. Л. Островського. Львів: Видавництво Львівської політехніки, 2008. 564 с.

2. Вища геодезія. Підручник/ Савчук С. Г. – Житомир, 2005. – 315 с.

3. Геодезія. Підручник. Порицький. 2007.-260с.