Математический анализ 2 семестр (Галкин С. В. - Краткий курс математического анализа в лекционном изложении), страница 7

Сравнивая оба выражения для , находим функции и константы.

Если какой-либо из интегралов, например, не берется или его вычислить сложно, то можно найти + .

Затем, дифференцируя частным образом по x, надо сравнить с и определить функции и константы.

2) Потенциал можно определять по формуле (она будет выведена из независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования позже, в 3 семестре)

. .

Пример. .

Решим уравнение первым способом.

Так как , то это – уравнение в полных дифференциалах.

,

.

Сравнивая оба равенства, видим, что , поэтому . Соотношение - это первый интеграл заданного дифференциального уравнения.

Решим уравнение вторым способом.

. Здесь принято .

Интегрирующий множитель.

Можно поставить вопрос, нельзя ли любое дифференциальное уравнение первого порядка свести к уравнению в полных дифференциалах?

Оказывается, что существует такой интегрирующий множитель , умножая на который обе части любого дифференциального уравнения, удовлетворяющего условиям теоремы Коши, можно привести это уравнение к уравнению в полных дифференциалах.

Однако неясно, как в общем случае найти этот интегрирующий множитель. Ясно только, что он должен удовлетворять уравнению

.

Оказывается, если (является функций только одной переменной x), то . Если (является функций только одной переменной y), то .

Пример. .

Покажите, что здесь выполняется первое условие и .

Найдите потенциал, покажите, что он равен .

Лекция 13. Геометрическая интерпретация дифференциальных

уравнений 1 порядка, изоклины. Особые точки и особые

решения.

Рассмотрим интегральные кривые дифференциального уравнения 1 порядка . В любой точке плоскости OXY правая часть дифференциального уравнения известна, ее можно вычислить. Поэтому в любой точке плоскости известна и левая часть. Левая часть, исходя из геометрического смысла производной, задает тангенс угла наклона касательной к интегральной кривой.

Следовательно, в любой точке плоскости можно определить угол наклона (к оси OX) касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку, т.е. определить направление вектора касательной к интегральной кривой.

Если в некоторой области плоскости задана вектор-функция, то говорят, что она задает в этой области векторное поле.

Поэтому геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка состоит в том, что оно задает в области определения G (x, y) функции f(x, y) векторное поле направлений векторов касательных к интегральным кривым. Если интерпретировать дифференциальное уравнение механически, как скорость f(x, y) движения точки по траектории – интегральной кривой, то дифференциальное уравнение задает поле скоростей.

Изоклинами называются кривые в плоскости OXY, в каждой точке которой угол наклона к оси OX касательной к интегральной кривой один и тот же . Уравнение изоклины: .

Строя изоклины как можно чаще, можно достаточно точно построить интегральные кривые, нанося на каждой изоклине соответствующее ей направление вектора касательной к интегральной кривой..

Пример.

Уравнение изоклины

Можно предположить, что уравнение интегральной кривой (это легко проверить: ).

Таким образом, интегральные кривые – окружности с центром в начале координат.

Понятие об особых точках и особых решениях дифференциального уравнения первого порядка.

Точка (x, y) называется не особой точкой дифференциального уравнения первого порядка , если существует ее окрестность, что через каждую точку этой окрестности проходит единственная интегральная кривая.

Все прочие точки называются особыми точками дифференциального уравнения первого порядка .

Особым решением называется решение, все точки (x, y) которого – особые.

Пример.

Решая это уравнение с разделяющимися переменными, получим общее решение и решение, не принадлежащее этому семейству – тривиальное решение .

Каждая точка оси OX – особая, так как через нее проходят как тривиальное решение, так и частное решение из семейства .

- особое решение.

Пример.

Заметим, что . Общее решение (иначе ). Кроме того, - тоже решение. - особое решение.

Заметим, что на особом решении не выполняются условия теоремы Коши, гарантирующие единственность. В самом деле, в том и другом примерах терпят разрыв при .

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной.

Рассмотрим два типа уравнений 1) .

Метод введения параметра.

Обозначим

В случае 1) , .

Найдем решение , подставим в ,

получим - общее решение.

В случае 2)

Найдем решение , подставим в ,

получим - общее решение.

Уравнение Лагранжа.

Дифференцируем:

,

- линейное уравнение.

Отыскиваем и, подставляя в уравнение Лагранжа, находим .

Пример. - уравнение Лагранжа.

,

- линейное уравнение по .

Решаем его методом подстановки

.

Уравнение Клеро. .

Уравнение Лагранжа превращается в уравнение Клеро, если в уравнении Лагранжа положить .

Дифференцируем обе части:

.

1. - общее решение.

2. . Подставляя в уравнение, получим особое решение

Пример.

1. - общее решение

2. - особое решение.

Лекция 14. Дифференциальные уравнения высших порядков.

Дифференциальное уравнение n – ого порядка в общем виде записывается так:

.

Дифференциальное уравнение n – ого порядка в виде, разрешенном относительно старшей производной, выглядит так:

.

Решением дифференциального уравнения n – ого порядка называется функция , обращающая его в тождество.

Общим решением дифференциального уравнения n – ого порядка называется функция такая, что

1. при любом наборе констант эта функция является решением,

2. для любого набора начальных условий из области существования решения найдется набор констант , при котором функция удовлетворяет заданным начальным условиям, т.е. .

Заметим, что общее решение дифференциального уравнения n – ого порядка зависит ровно от n констант.

Частным решением дифференциального уравнения n – ого порядка называется какое-либо из решений, входящих в общее решение (при конкретном выборе констант).

Общим интегралом дифференциального уравнения n – ого порядка называется функция , сохраняющая свои значения на решениях дифференциального уравнения.

Интегральной кривой называется график частного решения.

Общее решение представляет собой совокупность интегральных кривых.

Обычно рассматривается одна из трех задач:

1. Найти общее решение дифференциального уравнения n – ого порядка,

2. Задача Коши – найти частное решение дифференциального уравнения n – ого порядка, удовлетворяющее заданным начальным условиям,

3. Краевая задача – найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, одна часть которых задана в точке , а другая часть в точке .

Теорема Коши (существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения n – ого порядка ).

Пусть функция и ее частные производные по переменным определены и непрерывны в некоторой области .

Тогда для любой внутренней точки существует единственное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее этим начальным условиям, т.е.

(через любую внутреннюю точку проходит единственная интегральная кривая).

Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка . Область существования и единственности решения заполнена непересекающимися интегральными кривыми. Через любую точку проходит единственная интегральная кривая. Однако через «точку» проходит бесконечно много интегральных кривых, все они различаются значениями . Заметим, что в «точка» представляет собой прямую .

Понижение порядка дифференциальных уравнений.

Мы умеем аналитически решать всего пять типов дифференциальных уравнений первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли, в полных дифференциалах. Причем однородные, линейные и Бернулли тоже сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными.

Даже решить уравнение второго порядка, не говоря уж об уравнении n-го порядка – проблема. Поэтому стараются понизить порядок дифференциального уравнения, если это возможно, чтобы свести его к известным типам уравнений первого порядка.

Если правая часть дифференциального уравнения n-го порядка зависит только от x, то интегрируя его n раз, можно получить решение.