Математический анализ 2 семестр (Галкин С. В. - Краткий курс математического анализа в лекционном изложении), страница 4

Пример. , интеграл сходится.

Пример. , интеграл расходится.

Пример. сходится при и расходится при . Проверьте это.

Рассмотрим интеграл Дирихле .

.

При , интеграл расходится.

Итак, несобственный интеграл Дирихле первого рода сходится при расходится при

Признаки сравнения несобственных интегралов (достаточные признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов).

1 признак. Теорема. Пусть при выполнено неравенство .

Если интеграл сходится, то и интеграл сходится.

Если интеграл расходится, то и интеграл расходится.

Доказательство. Проинтегрируем неравенство на отрезке ,

. Так как обе функции на отрезке имеют только положительные значения, то интегралы от этих функций представляют собой возрастающие функции от верхнего предела b.

Если сходится ( = I), то при любом b > a = I (I – конечное число).

Поэтому - монотонно возрастающая, ограниченная функция верхнего предела интегрирования b. Следовательно, по теореме Вейерштрасса этот интеграл как функция b имеет предел

, т.е. интеграл сходится.

Пусть теперь расходится. Если сходится, то по доказанному и сходится, противоречие. Теорема доказана.

Вообще-то, все было ясно из геометрического смысла определенного интеграла как площади криволинейной трапеции под графиком функции. Если значения одной функции больше, чем значения другой функции, то и соответствующая криволинейная трапеция имеет большую площадь. И если эта площадь конечна, то и меньшая площадь конечна. А если меньшая площадь бесконечна, то и большая площадь бесконечна. Но строгое доказательство не подведет, а «очевидное» иногда подводит.

2 признак сравнения. Теорема. Пусть при x>a . Если существует конечный предел , то интегралы , , сходятся или расходятся одновременно (если один сходится, то и другой сходится, если один расходится, то и другой расходится).

Доказательство. Из определения предела следует

.

Если интеграл сходится, то по первому признаку сравнения сходится интеграл , а, следовательно, сходится интеграл . Если интеграл сходится, то сходится интеграл , а, следовательно, по первому признаку сравнения сходится интеграл . Пусть интеграл расходится. Если интеграл сходится, то по первому признаку сравнения сходится интеграл , противоречие. Пусть интеграл расходится. Если интеграл сходится, то по первому признаку сравнения сходится интеграл , противоречие. Теорема доказана.

Эталонами служат обычно интегралы Дирихле или интегралы от показательной функции.

Пример. сходится по второму признаку сравнения, интеграл сравнения .

Пример. сходится по первому признаку, интеграл сравнения

.

Несобственные интегралы от разрывной функции по конечному промежутку (второго рода).

Функция может терпеть разрыв на левом конце отрезка , на правом конце или в некоторой внутренней точке с отрезка.

Пусть функция непрерывна на отрезке за исключением точки x= a, тогда несобственным интегралом второго рода от функции по отрезку называется предел =

.

Пусть функция непрерывна на отрезке за исключением точки x= b, тогда несобственным интегралом второго рода от функции по отрезку называется предел = .

Пусть функция непрерывна на отрезке за исключением точки x= , тогда несобственным интегралом второго рода от функции по отрезку называется = (интегралы в правой части определены выше).

Если указанные пределы существуют и конечны, то интегралы называются сходящимися, если предел бесконечен или не существует вообще, то интеграл расходится.

Если сходятся интегралы от функций , то сходятся интегралы от функций . Это следует из теорем о пределах.

Пример.

Интеграл расходится, так как пределы в правой части равенства бесконечны.

Заметим, если здесь формально применить формулу Ньютона-Лейбница (она неприменима, т.к. функция разрывна), получим ответ 2. Еще раз убеждаемся, что теоремы следует применять, внимательно проверяя условия их применимости.

Рассмотрим несобственный интеграл Дирихле второго рода .

.

При , интеграл расходится.

Итак, несобственный интеграл Дирихле второго рода сходится при расходится при

Замечание. Интегралы Дирихле первого и второго рода расходятся при n=1. При n>1 интеграл Дирихле первого рода сходится, а интеграл Дирихле второго рода расходится. При n<1 интеграл Дирихле первого рода расходится, а интеграл Дирихле второго рода сходится.

Признаки сравнения интегралов остаются верными и для интегралов второго рода. Эталонами сравнения служат обычно интегралы Дирихле и интегралы от показательной функции.

Примеры. сходится сравнением с несобственным интегралом Дирихле (n= ) по второму признаку сравнения. Вспомните, что сумма бесконечно малых функций в знаменателе эквивалентна при бесконечно малой наинизшего порядка малости. Можно доказать эквивалентность непосредственным вычислением предела.

расходится сравнением с интегралом по второму признаку сравнения.

Абсолютная сходимость несобственных интегралов.

До сих пор при анализе сходимости несобственных интегралов мы предполагали, что подинтегральная функция принимает только положительные значения. Откажемся от этого предположения. Будем исследовать сходимость несобственных интегралов первого рода вида , где может принимать значения любого знака. Полученные результаты переносятся по аналогии на остальные несобственные интегралы первого и второго рода.

Интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится несобственный интеграл .

Теорема. Если интеграл абсолютно сходится, то он сходится.

Доказательство. Введем в рассмотрение две вспомогательные функции . Эти функции принимают только положительные значения. Кроме того, . По первому признаку сравнения из абсолютной сходимости интеграла , т.е. из сходимости интеграла следует сходимость интегралов , . Тогда сходится интеграл . Теорема доказана.

Пример. абсолютно сходится, так как а интеграл сходится.

Условная сходимость несобственных интегралов.

Интеграл называется условно сходящимся, если он сходится, а интеграл расходится.

Покажем, что интеграл условно сходится.

Перейдем к пределу при . Интеграл в правой части равенства абсолютно сходится, обозначим его I.

. Поэтому интеграл сходится.

Покажем, что этот интеграл не сходится абсолютно. Справедливо неравенство . .

Переходя к пределу при , видим, что интеграл сходится (аналогично интегралу ), интеграл расходится. Поэтому интеграл расходится. Если бы он сходился, то складывая его с сходящимся интегралом 0.5 , получили бы сходящийся интеграл (0.5 ), а этот интеграл расходится.

Используя неравенство и расходимость интеграла , по первому признаку сравнения получаем расходимость интеграла . Следовательно, интеграл условно сходится.

Лекции 9-10. Приложения определенного интеграла.

Приложение интеграла к физическим задачам основано на свойстве аддитивности интеграла по множеству. Поэтому с помощью интеграла могут вычисляться такие величины, которые сами аддитивны по множеству. Например, площадь фигуры равна сумме площадей ее частей Длина дуги, площадь поверхности, объем тела, масса тела обладают тем же свойством. Поэтому все эти величины можно вычислять с помощью определенного интеграла.

Можно использовать два метода решения задач: метод интегральных сумм и метод дифференциалов.

Метод интегральных сумм повторяет конструкцию определенного интеграла: строится разбиение, отмечаются точки, в них вычисляется функция, вычисляется интегральная сумма, производится предельный переход. В этом методе основная трудность – доказать, что в пределе получится именно то, что нужно в задаче.

Метод дифференциалов использует неопределенный интеграл и формулу Ньютона – Лейбница. Вычисляют дифференциал величины, которую надо определить, а затем, интегрируя этот дифференциал, по формуле Ньютона – Лейбница получают требуемую величину. В этом методе основная трудность – доказать, что вычислен именно дифференциал нужной величины, а не что-либо иное.