85190 (Билеты по геометрии), страница 2

Теорема 19.6: боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему.

Билет №7.

Теорема о трех перпендикулярах.

Теорема 17.5: если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Доказательство: пусть АВ - перпендикуляр к плоскости , АС - наклонная и с - прямая в плоскости , проходящая через основание С наклонной. Проведем прямую СА¹, параллельную прямой АВ. Она перпендикулярна плоскости . Проведем через прямые АВ и А¹С плоскость . Прямая с перпендикулярна прямой СА¹. Если она перпендикулярна прямой СВ, то она перпендикулярна плоскости , а значит, и прямой АС. Аналогично если прямая с перпендикулярна наклонной СА, то она, будучи перпендикулярна и прямой СА¹, перпендикулярна плоскости , а значит, и проекции наклонной ВС. ЧТД.

Вывод формулы объема шара.

Билет №8.

Перпендикулярные плоскости.

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

Теорема 17.6: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Доказательство: пусть - плоскость, в - перпендикулярная ей прямая, - плоскость, проходящая через прямую в, с- прямая, по которой пересекаются плоскости и . Докажем, что плоскости и перпендикулярны. Проведем в плоскости через точку пересечения прямой в с плоскостью прямую а, перпендикулярную прямой с. Проведем через прямые а и в плоскость . Она перпендикулярна прямой с, т.к. прямая с перпендикулярна прямым а и в. Т.к. прямые а и в перпендикулярны, то плоскости и перпендикулярны. ЧТД.

Призма - многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников.

Прямая призма - боковые ребра призмы перпендикулярны основаниям.

Боковая поверхность призмы (площадь боковой поверхности) - сумма площадей боковых граней.

Теорема 19.1: боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, т.е. на длину бокового ребра.

Доказательство: боковые грани прямой призмы - прямоугольники. Основания этих прямоугольников являются сторонами многоугольника, лежащего в основании призмы, а высоты равны длине боковых ребер. Отсюда следует, что боковая поверхность призмы равна

задача о боковой поверхности наклонной призмы: боковая поверхность наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения и бокового ребра.

Билет №9.

Теорема о двух прямых, перпендикулярных плоскости.

Теорема 17.4: две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

Доказательство: пусть а и в - две прямые, перпендикулярные плоскости . Допустим, что прямые а и в не параллельны. Тогда существует некая прямая в¹ параллельная а. Выберем на прямой в точку С, не лежащую в плоскости . Проведем через точку С прямую в¹, параллельную а. Прямая в¹ перпендикулярна плоскости (теорема 17.3). пусть В и В¹ - точки пересечения прямых в и в¹ с плоскостью . Тогда прямая ВВ¹ перпендикулярна пересекающимся прямым в и в¹. А это невозможно. Мы пришли к противоречию. ЧТД.

Прямоугольный параллелепипед - параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник. У прямоугольного параллелепипеда все грани - прямоугольники. Длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами (измерениями).

Теорема 19.4: в прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.

Доказательство:

Билет № 10.

Теорема 17.3: если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Доказательство: пусть а₁ и а₂ - две параллельные прямые и - плоскость, перпендикулярная прямой а₁. Докажем, что эта плоскость перпендикулярна и прямой а₂. Проведем через точку А₂ пересечения прямой а₂ с плоскостью произвольную прямую х₂ в плоскости . Проведем в плоскости через точку А₁ пересечения прямой а₁ с прямую х₁, параллельную прямой х₂. Так как прямая а₁ перпендикулярна плоскости , то прямые а₁ и х₁ перпендикулярны. По теореме 17.1(если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны) параллельные им пересекающиеся прямые а₂ и х₂ тоже перпендикулярны. Таким образом, прямая а₂ перпендикулярна любой прямой х₂ в плоскости . А это значит, что прямая а₂ перпендикулярна плоскости .

Теорема о противолежащих гранях параллелепипеда.