85190 (Билеты по геометрии)

Билеты по геометрии.

Билет №1

1. Аксиомы стереометрии. Теорема о существовании и единственности плоскости, проходящей через данную прямую и точку вне ее.

2. Параллелепипед, его элементы. Теорема о точке пересечения диагоналей параллелепипеда.

Билет №2

1. Параллельные прямые (определение). Теорема о существовании и единственности прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на этой прямой.

2. Вывод формулы площади сферы.

Билет №3

1. Прямая, параллельная плоскости (определение). Признак параллельности прамой и плоскости.

2. Конус. Вывод формулы объема конуса.

Билет №4

1.Параллельные плоскости (определение). Признак параллельности двух плоскостей.

2. Вывод формулы объема пирамиды.

Билет №5

1. Теорема об отрезках параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями.

2. Касательная плоскость (определение). Теорема о касательной плоскости шара (сферы).

Билет №6

1. Прямая, перпендикулярная плоскости (определение). Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

2. Площадь боковой поверхности пирамиды. Теорема о боковой поверхности правильной пирамиды.

Билет №7

1. Теорема о трех перпендикулярах.

2. Вывод формулы объема шара.

Билет №8

1. Перпендикулярные плоскости (определение). Признак перпендикулярности двух плоскостей.

2. Прямая призма (определение). Теорема о боковой поверхности прямой призмы. Задача о боковой поверхности наклонной призмы.

Билет №9

1.Теорема о двух прямых, перпендикулярных плоскости.

2. Прямоугольный параллелепипед (определение). Теорема о квадрате диагоналей прямоугольного параллелепипеда.

Билет №10

1. Теорема о плоскости, перпендикулярной одной из двух параллельных прямых (или обратная ей теорема).

2. Теорема о противолежащих гранях параллелепипеда.

Билет №1

аксиомы планиметрии:

1. какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой и точки не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую и только одну.

2. из трех точек на прямой одна о только одна лежит между двумя другими.

3. каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

4. прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

5. каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

6. на любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.

7. от любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180, и только один.

8. каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.

9. через точку не лежащую на данной прямой можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

Аксиомы стереометрии.

Стереометрия - раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве.

С1: какова бы ни была плоскость, существует точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

С2: если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Этой аксиомой утверждается, что если две различные плоскости и имеют общую точку, то существует прямая с , принадлежащая каждой из этих плоскостей. При этом если точка С принадлежит обеим плоскостям, то она принадлежит прямой с.

С3: если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость и притом только одну. Это значит, что если две различные прямые a и b имеют общую точку С, то существует плоскость , содержащая прямые a и b. Плоскость, обладающая этим свойством, единственна.

Теорема 15.1: через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Доказательство: пусть АВ - данная прямая и С - не лежащая на ней точка. Проведем через точки А и С прямую (аксиома 1). Прямые АВ и АС различны, так как точка С не лежит на прямой АВ. Проведем через прямые АВ и АС плоскость (аксиома С3). Она проходит через прямую АВ и точку С. Докажем, что плоскость , проходящая через прямую АВ и точку С, единственна. Допустим, существует другая плоскость ¹, проходящая через прямую АВ и точку С. По аксиоме С2 плоскости и ¹ пересекаются по прямой. Эта прямая должна содержать точки А, В и С. Но они не лежат на одной прямой. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

Параллелепипед, его элементы.

Если основание призмы - параллелограмм, то она называется параллелепипедом. У параллелепипеда все грани - параллелограммы. Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими.

Бывает прямой и наклонный.

Прямой параллелепипед: основание - прямоугольник. У него все грани - прямоугольники. Прямоуг параллеп, у которого все ребра равны, называется кубом. Длины непараллельных ребер прямоуг параллеп называются его линейными размерами (измерениями). У прямоуг параллеп три измерения.

Теорема 19.3: диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

Дано: параллелепипед АВСДА¹В¹С¹Д¹., О - точка пересечения диагоналей С¹А и ВД¹.

Доказательство: рассмотрим какие-нибудь две диагонали параллелепипеда, например АС¹ и ВД¹. Так как четырехугольники АВСД и ДД¹С¹С - параллелограммы с общей стороной СД, то их стороны АВ и Д¹С¹ параллельны друг другу, а значит, лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает плоскости противолежащих граней параллелепипеда по параллельным прямым АД¹ и ВС¹. Следовательно, четырехугольник ВАД¹С¹ - параллелограмм. Диагонали параллелепипеда АС¹ и ВД¹ являются диагоналями этого параллелограмма. Поэтому они пересекаются и точкой пересечения О делятся пополам. Аналогично доказываются другие диагонали. Отсюда заключаем, что все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

Билет №2.

Параллельные прямые.

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.

Теорема 16.1: через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной и только одну.

Замечание: утверждение единственности в теореме 16.1 не является простым следствием аксиомы параллельных, так как этой аксиомой утверждается единственность прямой, параллельной данной в данной плоскости. Поэтому она требует доказательства.

Доказательство: пусть а - данная прямая и А - точка, не лежащая на этой прямой. Проведем через прямую и точку плоскость . Проведем через точку А в плоскости прямую а₁, параллельную а. Докажем, что прямая а₁, параллельная а, единственна. Допустим, что существует другая прямая а₂, проходящая через точку А и параллельная прямой а. Через прямые а и а₂ можно провести плоскость ₂. Плоскость ₂ проходит через прямую а и точку А, следовательно по теореме 15.1 она совпадает с . Теперь по аксиоме параллельных прямые а₁ и а₂ совпадают. Теорема доказана.

Площадь сферы. (вывод формулы).

Площадь поверхности сферы - предел отношения объема слоя, покрывающего поверхность, к толщине этого слоя, если толщина этого стремиться к нулю.

Билет №3.

Прямая, параллельная плоскости.

Пряма и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются.

Теорема 16.3: если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Доказательство: пусть - плоскость и а - не лежащая в ней прямая и а₁ - прямая в плоскости , параллельная прямой а. Проведем плоскость через прямые а и а₁. Плоскости и пересекаются по прямой а₁. Если бы прямая а пересекала плоскость , то точка пересечения принадлежала бы прямой а₁. Но это невозможно, так как прямые а и а₁ параллельны. Итак, прямая а не пересекает плоскость , а значит, параллельна плоскости . ЧТД.

Вывод формулы объема конуса.

Конусом (а точнее круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга - основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, - вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Прямой конус - прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания.

Билет №4.

Параллельные плоскости.

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Теорема 16.4: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказательство: пусть и - данные плоскости, а₁ и а₂ - прямые в плоскости , пересекающиеся в точке А, в₁ и в₂ - соответственно параллельные им прямые в плоскости . Допустим, что плоскости и не параллельны, т.е. пересекаются по некоторой прямой с. По теореме 16.3 прямые а₁ и а₂ , как параллельные прямым в₁ и в₂, параллельны плоскости , и поэтому они не пересекают лежащую в этой плоскости прямую с. Таким образом, в плоскости через точку А проходят две прямые (а₁ и а₂), параллельные прямой с. Но это невозможно по аксиоме параллельных. Мы пришли к противоречию ЧТД.

Вывод формулы объема пирамиды.

Билет №5.

Теорема об отрезках параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями.

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны. Действительно, согласно определению параллельные прямые - это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Наши прямые лежат в одной плоскости - секущей плоскости. Они не пересекаются, так как не пересекаются содержащие их параллельные плоскости. Значит, прямые параллельны. ЧТД.

Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны. Действительно, пусть и - параллельные плоскости, а и в - пересекающие их параллельные прямые, А₁, А₂,и В₁, В₂ - точки пересечения прямых с плоскостями (см рисунок). Проведем через прямые а и в плоскость. Она пересекает плоскости и по параллельным прямым А₁В₁ и А₂В₂. Четырехугольник А₁В₁В₂А₂ - параллелограмм, т.к. у него противолежащие стороны параллельны. А у параллелограмма противолежащие стороны равны. Значит А₁А₂=В₁В₂. ЧТД.

Касательная плоскость - плоскость, проходящая через точку А шаровой поверхности и перпендикулярная радиусу, проведенному в точку А.

Теорема 20.5: касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку - точку касания.

Доказательство: пусть - плоскость, касательная к шару, и А - точка касания. Возьмем произвольную точку Х плоскости , отличную от А. Так как ОА - перпендикуляр, а ОХ - наклонная, то ОХ>ОА=R. Следовательно точка Х не принадлежит шару. Теорема доказана.

Прямая в касательной плоскости шара, проходящая через точку касания, называется касательной к шару в этой точке. Так как касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку, то касательная прямая тоже имеет с шаром только одну общую точку - точку касания.

Билет №6.

Прямая, перпендикулярная плоскости.

Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90⁰. Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости.

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.

Теорема 17.2: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.

Доказательство:

Площадь боковой поверхности пирамиды.