,

где – возмущающее воздействие.

Матрицы заданы в пункте 5.1.1.

Весовые матрицы и имеют следующий вид:

, .

Начальные условия для заданной системы .

Время стабилизации .

Задаем возмущающее воздействие только на первую координату, так как только она имеет значение

и .

Решение задачи стабилизации сводится к решению уравнения Риккати

с начальными условиями:

Введём вспомогательную вектор-функцию , ДУ которой имеет вид:

с начальными условиями: .

Управление определяется по формуле:

.

Используя скрипт AKOR_stabilizaciya_pri_vozmusheniyah.m, получили следующие результаты:

Рис.31. Графики решения уравнения Риккати.

Рис.32. Графики коэффициентов регулятора обратной и прямой связи.

Рис.33. График возмущающего воздействия.

Рис.34. График вспомогательной вектор – функции.

Рис.35. Графики фазовых координат.

Рис.36. График управления.

Рис.37. График возмущающего воздействия.

Рис.38. График вспомогательной вектор – функции.

Рис.39. Графики фазовых координат.

Рис.40. График управления.

Выводы: По графикам фазовых координат при различных воздействиях видно, что влияние возмущающего воздействия не существенно и фазовые координаты устанавливаются в ноль. При этом видно, что графики первой фазовой координаты при различных воздействиях мало отличаются друг от друга, т.е. система отрабатывает любое возмущение.

5.4 Задача АКОР для отслеживания известного задающего воздействия. I подход

Система задана в виде:

Матрицы заданы в пункте 5.1.1.

Весовые матрицы и имеют следующий вид:

, .

Начальные условия для заданной системы .

Время слежения .

Задающее воздействие в виде системы ДУ

Начальные условия для воздействия:

.

Введем расширенный вектор состояния и расширенные матрицы

,

,

.

Тогда новое описание системы имеет вид:

с начальными условиями: .

Решением уравнения Риккати будет матрица:

с н.у.

Тогда оптимальное управление, находится по формуле:

Используя скрипт AKOR_slegenie_na_konech_interval_I_podxod, получили следующие результаты:

Рис.41. Графики решения уравнения Риккати.

Рис.42. Графики коэффициентов регулятора обратной и прямой связи.

Рис.43. Графики фазовых координат.

Рис.44. График управления.

Выводы: На данном этапе была решена задача АКОР-слежения. В качестве отслеживаемого воздействия была взята исходная система, но с другими начальными условиями, поэтому графики фазовых координат отличаются от заданных, но только на начальном участке движения.

5.5 Задача АКОР для отслеживания известного задающего воздействия. II подход (линейный сервомеханизм)

Система задана в виде:

Матрицы заданы в пункте 5.1.1.

Весовые матрицы и имеют следующий вид:

, .

Начальные условия для заданной системы .

Задающее воздействие имеет вид:

, .

Время слежения

Введём вспомогательную вектор-функцию , ДУ которой определяется

,

,

НУ определяются из соотношения

Зная закон изменения и , можно определить управление:

.

Используя скрипт AKOR_slegenie_na_konech_interval_II_podxod, получили следующие результаты:

Рис.45. Графики решения уравнения Риккати.

Рис.46. График задающего воздействия.

Рис.47. Графики коэффициентов регулятора обратной и прямой связи.

Рис.48. Графики фазовых координат.

Рис.49. График управления.

Выводы: На данном этапе была решена задача построения линейного сервомеханизма. В качестве отслеживаемого воздействия была задана экспоненциальная функция. Анализируя выше приведенные графики, можно сказать, что все состояния заданной системы, особенно первая фазовая координата, отслеживается с заданной точностью.

5.6 Задача АКОР – слежения со скользящими интервалами

Пусть интервал времени является объединением нескольких отрезков. Известно некоторое задающее воздействие заданное аналитическим выражением, причем информация о задающем сигнале на следующем отрезке времени поступает только в конце предыдущего. Таким образом, зная задающий сигнал только на одном отрезке времени, мы будем синтезировать управление на этом отрезке.

Разобьем весь интервал на 3 равных отрезка.

Данная задача похожа на задачу отслеживания известного задающего воздействия, заданного аналитическим выражением, но с некоторыми изменениями:

1. Поскольку в уравнение Риккати относительно матрицы входят только параметры системы и функционала качества, то решать его будем один раз на первом отрезке, так как на остальных отрезках решение будет иметь тот же вид, но будет смещено по времени:

2. Начальными условиями для системы на каждом отрезке будет точка, в которую пришла система на предыдущем отрезке:

3. Вектор необходимо пересчитывать на каждом отрезке.

4. В остальном данная задача аналогична задаче построения линейного сервомеханизма (пункт 5.5).

Используя скрипт AKOR_slegenie_so_skolz_intervalami_Modern, получили следующие результаты:

Рис.50. Графики решения уравнения Риккати.

Рис.51. Графики фазовых координат.

Рис.52. График управления.

Выводы: при сравнении полученных результатов, можно сказать, что различия в фазовых координатах при наличии трех участков и при наличии одного участка несущественные. Если сравнивать скорость вычислений и используемые ресурсы, то скорость увеличивается почти в 3 раза, а памяти требуется в 3 раза меньше для решения поставленной задачи. В точках соединения участков наблюдаются скачки, связанные с тем, что требуется значительные затраты на управление, но для первой координаты этот скачок незначительный.

6. Синтез наблюдателя полного порядка

Наблюдателями называются динамические устройства, которые позволяют по известному входному и выходному сигналу системы управления получить оценку вектора состояния. Причем ошибка восстановления .

Система задана в виде:

Начальные условия для заданной системы .

Матрицы заданы в пункте 5.1.1.

Весовые матрицы и имеют следующий вид:

, .

Построим наблюдатель полного порядка и получим значения наблюдаемых координат таких, что:

В качестве начальных условий для наблюдателя выберем нулевые н.у.:

Ранг матрицы наблюдаемости:

- матрица

наблюдаемости.

.

.

Т. е. система является наблюдаемой.

Коэффициенты регулятора:

,

тогда

Собственные значения матрицы :

Коэффициенты наблюдателя выберем из условия того, чтобы наблюдатель был устойчивым, и ближайший к началу координат корень матрицы лежал в 3 – 5 раз левее, чем наиболее быстрый корень матрицы . Выберем корни матрицы

Коэффициенты матрицы наблюдателя:

.

Используя скрипт Sintez_nablyud_polnogo_poryadka, получили следующие результаты:

Рис.53. Графики решения уравнения Риккати.

Рис.54. Графики фазовых координат.

Рис.55. Графики управлений.

Выводы: Так как система является полностью наблюдаема и полностью управляема, то спектр матрицы может располагаться произвольно. Перемещая собственные значения матрицы левее, относительно собственных значений матрицы мы улучшаем динамику системы, однако, наблюдатель становится более чувствителен к шумам.

Литература

1. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 5 – и т. Т.4: Теория оптимизации систем автоматического управления / Под ред. Н.Д. Егупова. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. – 748 с.

2. Краснощёченко В.И.: Методическое пособие: «Методы теории оптимального управления».

Приложение.

PlotTimeFrHaract.m

clc

clear all

close all

b1 = 9;

b0 = 5;

a4 = 0.1153;

a3 = 1.78;

a2 = 3.92;

a1 = 14.42;

a0 = 8.583;

% syms s w

% W_s_chislit = b1 * s + b0;

% W_s_znamen = s * (a4 * s^4 + a3 * s^3 + a2 * s^2 + a1 * s + a0);

%

% W_s_obj = W_s_chislit/W_s_znamen;

%A_w = collect(simplify(abs(subs(W_s_obj, s, i*w))))

%----------------------Построение АЧХ-------------------------------------%

figure('Name', '[0,10]');

w = 0 : 0.01 : 10;

A_w = sqrt((b0^2 + b1^2.*w.^2)./((-a1*w.^2+a3*w.^4).^2+(a0*w-a2*w.^3+a4*w.^5).^2));

plot(w,A_w,'k', 'LineWidth', 2);

grid on

xlabel('w')

ylabel('A(w)')

title('Function ACHX(w)')

%-------------------------------------------------------------------------%

r_ch = roots([b1 b0])

r_zn = roots([a4 a3 a2 a1 a0 0])

%----------------------Построение ФЧХ-------------------------------------%

figure('Name', '[0,100]');

w = 0 : 0.01 : 100;

fi_w = (atan(w/0.5556)-atan(w/0)-atan(w/13.5832)-atan((w-2.7677)/0.5850)...