Лабораторная работа №4

Лабораторная работа №4

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Экспериментальное построение областей устойчивости линейных систем автоматического управления и изучение влияния на устойчивость системы ее параметров.

2. УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ

При подготовке к данной лабораторной работе необходимо изучить тему «Устойчивость систем автоматического управления».

3. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Под устойчивостью САУ понимается способность системы возвращаться в заданное состояние или к заданному закону движения после отклонений, вызванными внешними возмущающими воздействиями.

Физической причиной неустойчивости замкнутых систем является инерционность их элементов, из-за чего воздействие обратной связи, направленное на ликвидацию отклонения, запаздывает и поступает на вход объекта регулирования, когда отклонение уже изменилось. Этот процесс протекает либо в виде непрерывно возрастающего отклонения от заданного закона движения, либо в виде колебаний вокруг заданного значения выходной величины.

Устойчивость системы зависит от знака вещественных частей корней характеристического уравнения замкнутой системы:

Кроме этого корневого критерия устойчивости существуют косвенные критерии: алгебраические – Гаусса и Гурвица, частотные – Михайлова и Найквиста.

С повышением точности САУ, т.е. с увеличением коэффициента усиления, система становится менее устойчивой. Это объясняется тем, что с ростом коэффициента усиления на объект управления обратная связь действует сильнее. При этом увеличиваются отклонения под действием запаздывающего сигнала обратной связи.

Максимальный коэффициент, при котором система сохраняет устойчивость, называется критическим (Ккр).

Кроме коэффициента усиления, устойчивость зависит от инерционных свойств звеньев системы: постоянных времени и постоянных запаздывания. Поэтому устойчивость часто рассматривают как функцию двух или нескольких параметров. Обычно это – коэффициент усиления и постоянная времени одного из звеньев. На основании любого критерия устойчивости могут быть получены области устойчивости в плоскости двух параметров.

Под областью устойчивости в пространстве параметров понимается множество значений параметров, при которых система является асимптотически устойчивой.

Под областью неустойчивости, соответственно, понимается множество значений параметров, при которых система является неустойчивой. Области устойчивости и неустойчивости отделены друг от друга так называемыми границами устойчивости.

Граница устойчивости связывает выбранные параметры в предельном режиме перехода к неустойчивости, так что Ккр=f(T).

Эта зависимость может быть получена расчетным путем на основе любого критерия устойчивости.

Например, по критерию устойчивости Михайлова система находится на границе устойчивости, если годограф

проходит через начало координат.

Таким образом, уравнение границы устойчивости в пространстве варьируемых параметров К и Т, согласно этому критерию примет вид:

.

Исключив из уравнения , можно вывести уравнение границы устойчивости, связывающее параметры Т и Ккр.

Зависимость Ккр=f(Т) в данной работе определяется экспериментальным путем.

4. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

4.1. Получить передаточную функцию системы в соответствии с вариантом задания.

4.2. Экспериментальным путем получить границу устойчивости системы Ккр=f(T).

4.3. Выбрать точку на графике Ккр=f(T). Построить годограф Михайлова для системы с выбранными параметрами.

4.4. Сравнить результаты эксперимента и расчета.

5. УКАЗАНИЯ И ПОЯСНЕНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАБОТЫ

5.1. Для схемы моделирования системы, представленной на рис.4.1 записать выражение передаточной функции замкнутой системы, определить коэффициенты числителя и знаменателя.

Рис. 4.1. Структурная схема линейной системы автоматического управления

5.2. Установите значение постоянной времени Т1 в соответствии заданным вариантом (см. табл. 4.1).

5.3. Установите значение постоянной времени Т равное 0,1с.

5.4. В окне редактора M-файлов ввести вектора коэффициентов числителя и знаменателя найденной в п. 5.1 передаточной функции замкнутой системы, определив перед этим значения соответствующих неизвестных.

Например, для системы с передаточной функцией вида , можно определить вектора коэффициентов числителя и знаменателя в следующем виде:

B = [K*tau, K];

A = [T1*T2, K2*(T1+T2), K3];

При этом справедливо следующее обозначение .

5.4. Изменяя коэффициент усиления К, подберите такое его значение, при котором система находится на границе устойчивости. Для исследования использовать критерий устойчивости Михайлова (годограф Михайлова должен проходить через начало координат).

Для построения годографа Михайлова необходимо в редакторе M-файлов ввести следующий код. Задать диапазон изменения частот с шагом 0,01, верхний предел (20) в дальнейшем изменять в соответствии с текущим графиком в сторону увеличения или уменьшения.

w=0.001:0.01:10;

Для построения годографа Михайлова необходимо определить комплексную частотную характеристику полинома знаменателя найденной передаточной функции, для этого необходимо перейти в частотную область, используя следующую команду

GM=freqs(A, 1, w);

Замечание Для построения годографа АФЧХ замкнутой системы можно воспользоваться командой freqs(B, A, w)

Определить действительную U и мнимую V части комплексного полинома можно, используя следующие команды

U=real(GM);

V=imag(GM);

Далее необходимо построить график годографа Михайлова в параметрической форме и отметить для удобства точку с координатами (0; 0) красным крестом. Команда grid включает координатную сетку. Команда hold включает (on) и выключает (off) наложение графиков друг на друга.

plot(U,V);

hold on

plot(0,0,'r+');

grid

hold off

В случае если годограф Михайлова не проходит через точку с координатами (0;0), необходимо изменить значение коэффициента усиления K.

Пример годографа, проходящего через начало координат представлен на рисунке 4.2.

5.5. Для получения следующей точки границы устойчивости измените значение постоянной времени Т. Количество точек, необходимых для построения границы устойчивости, должно быть не менее 10. Диапазон изменения постоянной времени Т – от 0,1с. до 5с. Результаты эксперимента занесите в таблицу 4.2. Постройте график Ккр=f(T).

5.6. Выберите точку на графике Ккр=f(T). Для выбранных параметров системы постройте годограф Михайлова.

5.7. Сравните результаты расчета и эксперимента.

Таблица 4.1.

Варианты задания

Таблица 4.2.

Граница устойчивости

Рис. 4.2. Пример годографа Михайлова системы на границе устойчивости

6. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

Отчет должен содержать следующие разделы:

1. Цель работы.

2. Порядок выполнения работы.

3. Результаты работы.

Примечание: этот раздел должен содержать структурную схему, схему модели системы, экспериментальную зависимость Ккр=f(T), годограф Михайлова.

4. Выводы.

5. Использованная литература.

7. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

7.1. Сформулировать критерии устойчивости Гурвица, Михайлова, Найквиста, логарифмический критерий.

7.2. Как по логарифмическому критерию устойчивости определить К_кр и _кр?

7.3. Как построить К_кр(Т), используя критерий устойчивости Гурвица?

7.4. Сформулируйте корневой критерий устойчивости.

7.5. Постройте, используя любой критерий устойчивости, зависимость Ккр=f(T) для варианта системы, передаточная функция которой имеет вид, указанный в таблице 4.3.

Таблица 4.3.

Приложение А.

СИСТЕМА MatLAB

Настоящее приложение содержит описание некоторых функций системы MatLAB, позволяющих моделировать технические системы и получать их характеристики в наглядном виде.

MatLAB (сокращение от Matrix Laboratory – матричная лаборатория) – это новая компьютерная система проведения математических расчетов, получившая широкое распространение в последнее время.

Интегрирование системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Интегрирование системы обыкновенных дифференциальных уравнений осуществляется при помощи функций ode23 и ode45. Функция ode23 осуществляет интегрирование численным методом Рунге-Кутта 2-го порядка, а с помощью метода 3-го порядка контролирует относительные и абсолютные ошибки интегрирования на каждом шаге и изменяет величину шага интегрирования так, чтобы обеспечить заданные пределы ошибок интегрирования. При использовании функции ode45 интегрирование осуществляется методом Рунге-Кутта 4-го порядка, а величина шага контролируется методом 5-го порядка.

Система дифференциальных уравнений должна быть представлена в форме Коши: