Шахназаров Г.А. - Исследование динамических особенностей нелинейных систем автоматического регулирования, страница 2

Применимость метода гармонического баланса ограничивается рядом условий:

- математическая модель автоматической система должна быть разделима и представима в виде совокупности линейной динамической и нелинейной статической частей (смотри рис. 5);

- линейная динамическая часть автоматической системы должна обладать свойствами фильтра низких частот.

Рис. 5 Представление структурной блок-схемы нелинейной системы

для метода гармонического баланса.

Идея метода состоит в исследовании характеристического уравнения гармонически линеаризованной замкнутой нелинейной системы и определении условий, при которых характеристическое уравнение имеет чисто мнимые корни. Эти условия формально представляются в виде системы уравнений относительно двух параметров: амплитуды и частоты гармонических колебаний на входе нелинейности Эти уравнения, получившие название уравнений гармонического баланса существуют в различные формах. Если решение системы уравнений гармонического баланса существует при действительных значениях и , то говорят, что в нелинейной системе существуют предельные циклы. Если предельный цикл устойчив, то в нелинейной системе возможны автоколебания с параметрами и . Если предельные циклы отсутствуют, или они неустойчивы, то автоколебания в замкнутой нелинейной системе невозможны.

В лабораторно-практической работе используется форма записи уравнения гармонического баланса в частотной области, которое для одноконтурной системы с одной нелинейностью может быть представлено в виде:

(1)

где

- комплексная частотная характеристика линейной динамической части системы;

- эквивалентный комплексный коэффициент гармонический линеаризации нелинейной части системы

(2)

- первый и второй коэффициенты гармонической линеаризации нелинейной части системы соответственно, вычисляемые по формулам:

(3)

,

где:

- статическая характеристика гармонически линеаризуемой нелинейной части системы и - гармонический сигнал на входе нелинейности.

Выражения для коэффициентов гармонической линеаризации типовых нелинейных статических характеристик приведены в Приложении 1.

Комплексное уравнение (1) может быть записано в форме системы скалярных алгебраических уравнений баланса амплитуд и баланса фаз:

(4)

где

- модуль эквивалентного комплексного коэффициента гармонический линеаризации нелинейной части системы;

- аргумент комплексного эквивалентного коэффициента гармонический линеаризации нелинейной части системы;

- фазовая частотная характеристика линейной части системы;

Решая систему уравнений (4) можно исследовать условия возникновения автоколебаний, наличие или отсутствие автоколебаний при заданных параметрах системы, определять параметры автоколебаний - амплитуду и частоту .

Уравнения гармонического баланса в форме (4) могут быть решены численными методами с использованием инструментальных программных средств, в частности систем "Mathcad" или "Matlab".

Однако, для работы вычислительной процедуры решения системы нелинейных алгебраических уравнений необходимо задать начальные приближения искомых решений, допустимая область значений которых может оказаться очень незначительной. В случае, если начальные приближения заданы грубо, решение системы уравнений может быть не найдено. Поэтому в качестве начального приближения для запуска вычислительной процедуры решения системы нелинейных алгебраических уравнений можно использовать приближенное решение, полученное одним из графоаналитических методов решения уравнений гармонического баланса в частотной области, в частности методом фазовой границы устойчивости (ФГУ).

В основе метода ФГУ лежит система алгебраических уравнений баланса амплитуд и фаз в форме (5):

(5)

где

- логарифмическая амплитудная частотная характеристика линейной части системы;

- логарифмическая фазовая частотная характеристика линейной части системы.

- логарифмический обратный эквивалентный коэффициент передачи нелинейной части системы;

- логарифмическая обратная эквивалентная фазовая характеристика нелинейной части системы;

Процедура построения ФГУ состоит из следующих основных этапов:

- построение логарифмических амплитудной и фазовой частотных характеристик линейной динамической части системы - и ;

- построение линий равных значений и , как функций значений амплитуды на входе нелинейности;

- непосредственно построение ФГУ;

- определение существования в системе устойчивых предельных циклов;

- определение параметров автоколебаний - амплитуды - и частоты - .

Для выполнения графоаналитических построений можно использовать программные системы "Matlab", "Mathcad" или другие.

Графическое окно для построения ФГУ и определения параметров автоколебаний представлено на рис. 6.

Р

Lno =

-12.1816

-12.0037

-9.5724

-6.8046

-3.9069

-0.9511

2.0324

5.0294

Fno =

-144.2457

-162.6504

-168.6232

-172.2041

-174.5671

-176.1853

-177.3119

-178.1025

a =

0.4010

0.5671

0.8020

1.1342

1.6040

2.2684

3.2080

4.5368

ис. 6 Построение ФГУ.

Полученные методом гармонического баланса результаты можно проверить и сопоставить с результатами цифрового моделирования исследований методом цифрового моделирования.

Н
а рисунке 7 представлено окно редактора "Matlab-Simulink" при исследовании автоколебаний в нелинейной системе, а также результаты моделирования. Полученные методом моделирования результаты позволяют не только убедиться в существовании автоколебательных режимов в автоматической системе, но и определить их параметры: амплитуду и период автоколебаний, который можно пересчитать в частоту автоколебаний , воспользовавшись известным соотношением: .

Рис. 7 Схема и результаты моделирования нелинейной релейной системы с автоколебаниями.

Метод гармонического баланса может быть использован не только для выявления автоколебаний и оценке их параметров в нелинейных автоматических системах с регулятором уже известной структуры и параметрами, но и при решении задачи структурно-параметрического синтеза регуляторов с учетом требований о недопустимости возникновения автоколебательных режимов.

Порядок выполнения лабораторно-практической части работы.

1. С использованием инструментальной программной системы Matlab (Mathcad) провести исследование нелинейных динамических систем, структурные схемы которых представлены на рисунке 8, методом гармонического баланса в форме ФГУ с целью выявления условий возникновения автоколебательных режимов и получения оценок параметров автоколебаний и ;

а) Нелинейная система с нелинейностью типа "Насыщение"

б) Нелинейная система с нелинейностью типа "Люфт"

в) Нелинейная система с нелинейностью типа "Реле"

Рис. 8 Структурные схемы нелинейных систем

2 Уточнить полученные методом ФГУ оценки параметров автоколебаний, используя вычислительную процедуру решения систем нелинейных алгебраических уравнений программной среды Mathcad для решения системы уравнений гармонического баланса в форме (4). При этом, целесообразно использовать полученные графоаналитическим способом, на основе применения метода ФГУ, приближенные оценки параметров автоколебаний в качестве начальных приближений.

3. Оценить характеристики статической точности нелинейной автоматической системы с автоколебаниями и определить предельное значение гармонической составляющей ошибки регулирования , пересчитав амплитуду автоколебаний от входа нелинейности к выходу автоматической системы ;

4. Исследовать нелинейную автоматическую систему методом моделирования в среде инструментальной программной оболочки Matlab-Simulink при нулевых значениях входных воздействий и ненулевых начальных условиях. Убедиться в наличии автоколебаний в системе и получить оценки амплитуды , периода и частоты автоколебаний ;

5. Сделать выводы по результаты проведенных исследований автоматической нелинейной системы, как методом гармонического баланса, так и методом цифрового моделирования. Сопоставить полученные результаты и сделать соответствующие выводы;

6. Составить и оформить отчет по результатам проведенных исследований.

Список рекомендуемой для самостоятельной подготовки литературы:

1. под ред. Воронова А.А. "Теория автоматического управления", часть 1, Теория линейных САУ, М., Высшая школа. 1986;

2. под ред. Воронова А.А. "Теория автоматического управления", часть 2, Теория нелинейных и специальных САУ, М., Высшая школа. 1986;

3. Солодовников В.В., Плотников В.Н., Яковлев А.В. "Основы теории и элементы САР". М., Машиностроение, 1985;

4. Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления, М., Наука, 1979.

5. Воронов А.А., Титов В.К., Новогранов Б.Н. Основы теории автоматического регулирования и управления, М., Высшая школа, 1977;

Приложение 1.

Тип нелинейности	Коэффициенты гармонической линеаризации
Нелинейность типа “Реле”
Нелинейность типа «Люфт»
Нелинейность типа «Насыщение»