УТС_Раздел_2_2009 (Лекционный курс)

2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ (РЕГУЛИРОВАНИЯ)

2.1. Получение уравнений динамики системы. Статическая характеристика. Уравнение динамики САУ (САР) в отклонениях

При составлении уравнений, описывающих нестационарные процессы в САУ (САР) и которые в дальнейшем будем называть уравнениями динамики, система “разбивается” на отдельные элементы (звенья), для каждого из которых не существует проблем в записи соответствующего уравнения динамики.

На рис. 2.1 представлено схематичное представление САУ (звена) в переменных «вход-выход», где x(t) (или u(t)) - входное воздействие, а y(t) - выходное воздействие, соответственно. Нередко входное воздействие будет называться управляющим, а выходное воздействие - регулируемой величиной (переменной).

Рис. 2.1 – Схематическое представление САУ (звена)

При составлении уравнений динамики используются фундаментальные законы сохранения из разделов “Механики”, “Физики”, “Химии” и др.

Например, при описании перемещения узла какого-то механизма силового привода используются законы сохранения: момента, энергии, импульса и др.. В теплофизических (теплогидравлических) системах используются фундаментальные законы сохранения: массы (уравнение неразрывности), импульса (уравнение движения), энергии (уравнение энергии) и др.

Уравнения сохранения в общем случае содержат постоянные и нестационарные члены, причем при отбрасывании нестационарных членов получают так называемые уравнения статики, которые соответствуют уравнениям равновесного состояния САУ (звена). Вычитанием из полных уравнений сохранения стационарных уравнений получают нестационарные уравнения САУ в отклонениях (от стационара).

В качестве примера рассмотрим «технологию» получение уравнений динамики для механического демпфера, схематическое изображение которого представлено на рис. 2.2.

Рис. 2.2 – Механический демпфер

Согласно 2-го закона Ньютона Þ ...ускорение тела равно сумме сил… Þ

(2.1.1)

где m – масса тела; F_j - силы, воздействующие на тело (поршень демпфера).

Подставляя в уравнение (2.1.1) все силы согласно рис. 2.2, имеем Þ

(2.1.2)

где m∙g – сила тяжести; k∙y(t) – сила сопротивления пружины; – сила трения.

Размерности сил и коэффициентов, входящих в уравнение (2.1.2) 

Предполагая, что при t £ 0 поршень демпфера находился в равновесии 

 перейдем к отклонениям от стационарного состояния 

Пусть при t > 0 Þ

Подставляя эти соотношения в уравнение (2.1.2), получаем

(2.1.3)

Если t £ 0, уравнение (2.1.3) принимает вид:

Þ (2.1.4)

. (2.1.5)

Соотношение (2.1.4) - уравнение звена (демпфера) в стационаре, а соотношение (2.1.5) - статическая характеристика звена (демпфера). Þ см. рисунок ниже Þ

Рис. 2.3 – Статическая характеристика механического демпфера

Вычитая из уравнения (2.1.3) уравнение (2.1.4), получаем уравнение динамики демпфера в отклонениях:

Þ разделив на k , имеем Þ

(2.1.6)

где

Уравнение (2.1.6) - это уравнение динамики в канонической форме, т.е. коэффициент при Dy(t) равен 1.0!!!

«Легко» видеть, что коэффициенты перед членами, содержащими производные, имеют смысл постоянных времени. Þ В самом деле Þ

Таким образом, получаем, что:

- коэффициент перед первой производной имеет размерность Þ [c] Þ т.е. смысл некоторой постоянной времени;

- коэффициент перед второй производной Þ [c²];

- коэффициент в правой части Þ [м^-1]

Тогда уравнение (2.1.6) можно записать в операторной форме:

(2.1.6.а)

где p = d / dt – оператор дифференцирования;

- линейный дифференциальный оператор;

N(p) - линейный дифференциальный оператор, вырожденный в Const, равную k₁ .

Анализ уравнения (2.1.6.а) показывает, что такое уравнение имеет размерные переменные, а также размерными являются все коэффициенты уравнения. Если реальная САР (САУ) состоит из многих звеньев, выходными воздействиями которых являются различные физические переменные (скорость, температура, нейтронный поток, тепловой поток и т.д.), то значения коэффициентов могут различаться на большое число порядков, что ставит серьезные математические проблемы при численном решении уравнений динамики на ЭВМ (поскольку числа в ЭВМ представляются с какой-то точностью). Одним из наилучших способов избежать численных трудностей является принцип нормализации, т.е. переход к безразмерным отклонениям, которые получены нормированием отклонения на стационарное значение соответствующей переменной Þ

Введем новые нормированные (безразмерные) переменные:

Подставляя эти соотношения в уравнение (2.1.2), имеем:

Þ

Перенося в левую часть члены, содержащие , и разделив на , получаем:

(2.1.7)

где - коэффициент усиления, причем безразмерный ===>

Проверим размерность коэффициента ==> .

Использованный выше «технический» прием позволяет перейти к безразмерным переменным, а также привести вид коэффициентов в уравнении динамики к легко интерпретируемому виду, т.е. к постоянным времени (в соответствующей степени) или к безразмерным коэффициентам усиления.

На рис. 2. 4 представлены статические характеристики для механического демпфера.

Рис. 2.4

Процедура нормировки отклонений позволяет привести уравнения динамики к виду:

(2.1.8)

где L(p), N(p) – дифференциальные операторы.

Если дифференциальные операторы L(p) и N(p) - линейные, а статическая характеристика САУ (звена) – тоже линейна, то выражение (2.1.8) соответствует линейному обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ).

А если L(p) или N(p) – нелинейные дифференциальные операторы, или , то уравнение динамики - нелинейное. Под нелинейными действиями понимаются все математические действия, кроме сложения (+) и вычитания (-).

2.2. Линеаризация уравнений динамики САУ (САР)

Практически все реальные системы автоматического управления (САУ) являются нелинейными, причем нелинейность САУ может определяться различным причинами:

1) Нелинейностью статической характеристики.

2) Нелинейностью динамических членов в уравнениях динамики.

3) Наличием в САУ принципиально нелинейных звеньев.

Если в замкнутой САУ (САР) нет принципиально нелинейных звеньев, то в большинстве случаев уравнения динамики звеньев, входящих в систему, могут быть линеаризованы. Линеаризация основана на том, что в процессе регулирования (т.е. САУ с обратной связью) все регулируемые величины мало отклоняются от их программных значений (иначе система регулирования или управления не выполняла бы своей задачи).

Например, если рассмотреть управление мощностью энергетического ядерного реактора, то главная задача САР - поддержание мощности на заданном (номинальном) уровне мощности. Существующие возмущения (внутренние и внешние) “отрабатываются” САР и поэтому параметры ядерного реактора незначительно отличаются от стационарных. На рис. 2.5 представлена временная зависимость мощности ядерного реактора, где нормированные отклонения мощности N /N₀ << 1, и поэтому уравнения динамики ядерного реактора, в принципе, могут быть линеаризованы.

Рис. 2.5

Рассмотрим некоторое звено (или САР в целом), описание динамики которого можно представить в переменных “вход-выход”. Предположим, что динамика данного звена описывается обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка:

. (2.2.1)

Перенесем в левую часть уравнения и запишем уравнение в виде

(2.2.2)

где F – функция регулируемой переменной и ее производных, а также управляющего (входного) воздействия и его производных, причем F – обычно нелинейная функция.

Будем считать, что при t £ 0 САУ (звено) находилось в равновесии (в стационарном состоянии). Тогда уравнение (2.2.2) вырождается в уравнение статической характеристики.

(2.2.3)

Разложим левую часть уравнения (2.2.2) в ряд Тейлора в малой окрестности точки равновесного состояния (y₀, u₀).

Напомним, что в курсе “Математика” разложение в ряд Тейлора трактуется следующим образом.  Если y = f(x), то «простое» разложение в ряд Тейлора в окрестности точки x = x₀ равно:

C учетом вышеприведенного разложение принимает вид:

Предполагая, что отклонения выходных и входных воздействий незначительны (т.е. ), оставим в разложении только члены 1-го порядка малости (линейные). Поскольку получаем:

(2.2.4)

Подставляя соотношение (2.2.4) в уравнение (2.2.2), после преобразований имеем:

Коэффициенты - постоянные коэффициенты, поэтому уравнение (2.2.5) - линейное обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

Еще раз напомним, что в дальнейшей части курса “УТС” будет часто использоваться операторная форма записи уравнений динамики: