УТС_Раздел_2 (Лекционный курс), страница 2

В самом деле, разделив уравнение (2.2.5) на и выполнив некоторые преобразования, получаем:

Приведение уравнения динамики САУ (звена) к нормализованному виду позволяет “унифицировать” размерность коэффициентов уравнений: 

Если вынести в правой части (2.2.7) коэффициент за общую скобку и разделить все уравнение на , то уравнение принимает вид:

Линеаризация уравнений динамики и, особенно, нормализация переменных позволяют привести уравнения динамики САУ (звена) к виду, наиболее удобному для использования классических методов анализа, т.е. к нулевым начальным условиям. 

Если t  0 

Пример: Выполнить линеаризацию уравнения динамики некоторой «абстрактной» САР в окрестности состояния (x ₀ , y ₀), если полное уравнение динамики имеет вид:

Нелинейность полного уравнения динамики проявляется в следующем:

• во-первых, в нелинейности статической характеристики

Рис. 2.6

• во-вторых, слагаемое в левой части - чисто нелинейное, так как действие умножение является нелинейным.

Внимание: выполним процесс линеаризации исходного уравнения динамики другим способом, основанным на том, что в окрестности состояния (x₀, y₀) нормированные отклонения управляющего воздействия и регулируемой величины намного меньше 1.

Преобразования выполним в следующей последовательности:

1) Перейдем к безразмерным переменным (нормализованным);

2) Выполним линеаризацию, отбросив нелинейные члены 2-го и выше порядков малости.

Перейдем к новым безразмерным координатам (переменным) 

Заметим, что

Подставляя значения x(t) и y(t) в исходное уравнение:

Подчеркнутые слагаемые - условия стационара. 



Если в правой части вынести за общую скобку и разделить все уравнение на , то уравнение (линеаризованное) принимает вид:

Процедура нормализации позволяет более просто линеаризовать уравнение динамики, так как не требуется выполнять разложение в ряд Тейлора (хотя это и не сложно).

Обобщая материал данного подраздела, необходимо отметить, что переход к безразмерным (нормализованным) отклонениям позволяет:

• во-первых, привести динамику САУ (звена) к нулевым начальным условиям;

• во-вторых, упрощает процесс линеаризации уравнения динамики, так как не требуется выполнять разложение в ряд Тейлора.

2.3. Классический способ решения уравнений динамики

Классический метод решения уравнений динамики САУ (САР) применим только для линейных или линеаризованных систем.

Рассмотрим некоторую САУ (звено), динамика которой описывается линейным дифференциальным уравнением вида:

Переходя к полной символике, имеем: 

Выражение (2.3.2) - обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ), точнее неоднородное ОДУ, так как правая часть  0.

Известно входное воздействие x(t), коэффициенты уравнения и начальные условия (т.е. значения переменных и производных при t = 0).

Требуется найти y(t) при известных начальных условиях.

Из курса “Математика” известно, что

В курсе «УТС» будем называть решение однородного дифференциального уравнения , так как его решение не зависит от входного воздействия, а полностью определяется собственными динамическими свойствами САУ (звена).

Вторую составляющую решения (2.3.3) будем называть , так как эта часть решения определяется внешним воздействием x(t), поэтому САУ (САР или звено) “вынуждена отрабатывать” это воздействие. 

(2.3.4)

Напомним “этапы” решения:

1. Если имеется уравнение вида , то сначала решаем однородное дифференциальное уравнение:

1. Записываем характеристическое уравнение:

3) Решая уравнение (2.3.5), которое является типичным степенным уравнением, каким-либо способом (в том числе и с помощью стандартных подпрограмм на ЭВМ) находим корни характеристического уравнения . 

4) Тогда собственное решение записывается в виде:

(2.3.6)

если среди  _j нет повторяющихся корней (кратность корней равна 1).

Если уравнение (2.3.5) имеет 2 (два) совпадающих корня, то собственное решение имеет вид:

(2.3.7)

Если уравнение (2.3.5) имеет k совпадающих корней (кратность корней равна k), то собственное решение имеет вид:

(2.3.8)

5) Вынужденную часть решения можно найти различными способами, но наиболее распространены следующие способы:

а) По виду правой части.

б) Методом вариации постоянных.

в) Другие методы…

Если вид правой части дифф. уравнения – относительно несложная функция времени, то предпочтительным является способ а)… «подбор» решения…  .

6) Суммируя полученные составляющие (собственную и вынужденную), имеем: 



7) Используя начальные условия (t = 0), находим значения постоянных интегрирования .  Обычно получается система алгебраических уравнений.  Решая систему, находим значения постоянных интегрирования .

Пример: Найти аналитическое выражение переходного процесса на выходе звена, если 

Решение. Запишем однородное ОДУ   Характеристическое уравнение  ;  Решая, имеем:  

,

где С₁ и С₂ - неизвестные (пока) постоянные интегрирования.

По виду временной функции в правой части запишем как:

Подставляя в исходное уравнение, имеем: 



Суммируя , имеем: 

Используя 1-е начальное условие (при t = 0), получаем: а из 2-го начального условия имеем:

Решая систему линейных уравнений относительно С ₁ и С ₂ , имеем: ==> С ₁ = -1/6; C ₂ = -4/3.

Тогда окончательно:

()

На рис. 2.7 приведено сравнение аналитического решения по вышеприведенному соотношению (сплошная линия) и численного решения задачи (пунктирная линия) в среде программного комплекса «Моделирование в технических устройствах» (ПК «МВТУ»).

Рис. 2.7 – Сравнение аналитического и численного решений уравнения динамики

10