УТС6 (Лекционный курс)

13

6. Устойчивость линейных и линеаризованных систем автоматического регулирования (управления).

6.1. Понятие об устойчивости САР. Теоремы Ляпунова.

В теории «Управления техническими системами» общепринято понятие качество управления, состоящее из трех основных составляющих:

• устойчивость САР (или запасы устойчивости);

• точность САР;

• качество переходного процесса.

Необходимо заметить, что если не обеспечена устойчивость замкнутой САР, то говорить о точности и, тем более, о качестве переходного процесса - бессмысленно.

Поэтому понятие «устойчивость» - важнейшее понятие для САР.

Приведем «механическую» аналогию понятия «устойчивость» 

1. 2. 3.

абсолютно неустойчивое нейтральное

устойчивое положение (безразличное)

положение

В положении 1 при отклонении шарика от нижнего положения он обязательно вернется в свое устойчивое положение (низ «воронки»).

В положении 2 малейшее отклонение шара от состояния равновесия приведет к «скатыванию» его вниз; т.е. шар не вернется сам назад на вершине «горки».

В положении 3 при воздействии на шар он начнет перемещаться в горизонтальном направлении и, если нет трения, то шар будет двигаться с постоянной скоростью.

Если реальная замкнутая САР имеет свойства, аналогичные 1, то она «хорошая », если 2 – «совсем плохая ».  Нужно так проектировать САР, чтобы ее свойства были похожи на 1, т.е. если какое-то возмущающее воздействие отклонит систему от равновесия, то система управления обязана вернуть техническую систему в состояние равновесия.

Рассмотрим техническую систему (САР), описываемую в переменных «вход-выход»

 (6.1.1)

• уравнение динамики замкнутой САР при управляющем воздействии.

Учитывая, что , рассмотрим составляющую  решая характеристическое уравнение:

(6.1.2)

 

находим . Тогда 

 (6.1.3)

• возможно несколько вариантов в зависимости от значений .

Анализ вышеприведенных рисунков показывает, что система может вернуться в исходное состояние, если все составляющие при будут стремиться к нулю.  Поэтому условием устойчивости является  т.е. корни характеристического уравнения лежали в левой полуплоскости 

Jm Причем ось ординат соответствует границам

 _j устойчивости (апериодической или колебательной).

Re

Таким образом, вопрос об устойчивости или неустойчивости замкнутой (и разомкнутой) САР определяется по расположению корней соответствующего характеристического уравнения:

(6.1.4)

Если все корни характеристического уравнения лежат (расположены) в левой полуплоскости – линейная (или линеаризованная) САР устойчива.

Необходимо заметить, что коэффициенты уравнения совпадают с коэффициентами многочлена (полинома)  следовательно  полюса замкнутой САР тождественно совпадают с корнями характеристического уравнения  , где - корни характеристического уравнения ;

- полюса передаточной функции замкнутой САР.

Используя приблизительно такие же рассуждения (см. выше), Ляпуновым были сформулированы 3 теоремы об устойчивости линейных САР:  их «суть» 

1. Если все корни характеристического уравнения или полюса передаточной функции САР расположены в левой полуплоскости, то линеаризованная САР обязательно вернется в исходное состояние при снятии внешнего воздействия, выведшего эту САР из состояния равновесия.  Следовательно САР – устойчива.

2. Если хотя бы один полюс (или корень характеристического уравнения) передаточной функции САР расположен в правой полуплоскости (при всех остальных в левой полуплоскости), линейная (линеаризованная) САР никогда не вернется в исходное (равновесное) состояние при снятии внешнего воздействия, которое вывело данную САР из исходного состояния равновесия.  Следовательно САР – неустойчива.

3. Если хотя бы один из полюсов передаточной функции САР (корней характеристического уравнения) находится на мнимой оси (при всех остальных в левой полуплоскости) об устойчивости линеаризованной САР ничего сказать нельзя, т.к. учет нелинейных (отброшенных) членов в динамике САР может дать любой результат (устойчива или неустойчива).

Резюмируя вышесказанное, отметим, что:

Наиболее простым способом определения устойчива или неустойчива САР (как замкнутая, так и разомкнутая) является решение уравнения D(s) = 0 для замкнутой САР (или L(s) = 0 для разомкнутой САР) или решение характеристического уравнения D() = 0 или (L() = 0 – для разомкнутой САР).

Если САР задана в переменных состояния 

(6.1.5)

• вопрос об устойчивости САР определяется матрицей А – собственной матрицей.

Если собственные числа матрицы А лежат в левой полуплоскости – САР устойчива; если хотя бы одно собственное число лежит в правой полуплоскости – линейная САР неустойчива.

Собственные числа (согласно разделу «Линейная алгебра») находятся из уравнения:

(6.1.6)

где А – матрица размера ;

Е – единичная матрица.



Это означает, что уравнение принимает вид 

(6.1.7)

• решая, находим .

Фактически уравнения (6.1.6) и (6.1.7) – характеристические уравнения САР. Поэтому, если САР задана в переменных состояния, то характеристический полином D(s) при задании САР в переменных «вход-выход» может быть определен как

Чисто математически задача определения устойчивости сводится к решению степенного уравнения или к проблеме нахождения собственных чисел матрицы А.

6.2. Необходимые условия устойчивости линейных и линеаризованных САР.

Наиболее просто необходимое условие устойчивости линейных (линеаризованных) САР формулируется для систем, записанных в переменных «вход-выход», причем оно применяется в одинаковой «редакции» как для замкнутых, так и для разомкнутых САР.  Это условие доказывается с использованием характеристического полинома D(s) – для замкнутых САР, или L(s) – для разомкнутых САР. Сделаем вывод на основании D(s) 

Разложим многочлен D(s) на элементарные линейные сомножители :

(6.2.1),

где - полюса передаточной функции замкнутой САР.

Предположим, что , и что все полюса расположены в левой полуплоскости: 



 - действительный полюс;

- комплексно-сопряженные полюса.

Подставляя в первую скобку выражения (6.2.1)  получаем  );

Подставляя значение во вторую скобку (6.2.1)  .

Подставляя значение в третью скобку (6.2.1)   перемножим эти три скобки 

= )[ ][ ]=

  т.е. все слагаемые положительны, т.е.  подставляя и в другие скобки  поскольку вещественная часть всех полюсов отрицательна   , то в выражении (6.2.1) скобки будут принимать вид типа , или, если перемножить 2 скобки с комплексно-сопряженными полюсами, принимать вид типа  отсюда очевидно, что если раскрыть все скобки в (6.2.1), то, учитывая, что , получим полином D(s), у которого все коэффициенты положительны. Это результат и составляет суть необходимого условия: необходимым условием устойчивости линейных САР является положительность всех коэффициентов в полиноме D(s) - для замкнутых САР, или в L(s) – для разомкнутых САР.

Для систем 1-го и 2-го порядка необходимое условие является и достаточным.

Но для систем, имеющих порядок , выполнение необходимого условия невсегда является достаточным.

Тем не менее, необходимое условие «очень удобно», т.е. если хотя бы один коэффициент в D(s) отрицателен, то однозначно – САР неустойчива.

Если необходимое условие выполнено , то если необходимо либо вычислить корни характеристического уравнения (полюса передаточной функции), либо используя какой-либо из критериев устойчивости сделать соответствующий вывод об устойчивости САР.

6.3. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица.

Как отмечалось выше, устойчивость любой САР можно определить, вычислив значение всех полюсов (или корней соответствующего характеристического уравнения). Однако далеко не все способны без компьютера (калькулятора) решить степенное уравнение выше квадратного (кубическое и т.д.). 

Критерий Гурвица, являющийся частным случаем критерия Раусса, позволяет не решая уравнений типа D(s) = 0 или сделать вывод об устойчивости САР на основании «несложных» вычислений с использованием коэффициентов характеристического полинома 

Представим полином D(s) в измененном виде:

(6.3.1)

Дадим формулировку критерия Гурвица без доказательства: 

О

пределение: Для того, чтобы замкнутая САР (или разомкнутая) была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы были положительны все n главных определителей Гурвицевой матрицы Г.

Г =

необходимо,

чтобы:

Если все (от до ) больше (строго) нуля, то линейная САР (или линеаризованная) устойчива.