УТС_4 (Лекционный курс)

9

4. СТРУКТУРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

4.1. Замена цепи из последовательно параллельно соединенных звеньев

Все реальные системы автоматического регулирования являются замкнутыми и сложными, но при анализе часто приходится рассматривать “фрагменты” (а иногда и целиком) САР и выполнять над ними некоторые операции, например, упрощающие изображение структуры САР.

Определение. Действия, упрощающие математическое или графическое изображение САР или упрощающие последующий анализ динамических свойств САР, называются структурными преобразованиями.

Различают несколько типовых упрощающих действий:

• замена цепи из последовательно соединенных звеньев эквивалентным звеном;

• замена цепи из параллельно соединенных звеньев эквивалентным звеном;

• замена цепи с местной обратной связью эквивалентным звеном;

• замена цепи с местной обратной связью на единичною обратную связь;

• перенос точек включения обратной связи “вперед”- “назад”;

• перенос точек суммирования или ветвления “вперед”- “назад”.

Рассмотрим поочередно вышеперечисленные структурные преобразования.

4.1.1. Замена цепи последовательно соединенных звеньев эквивалентным звеном

Цепь преобразований: Получить эквивалентную передаточную функцию Wэкв(S)

=>W_экв (s) = Y(s)/X(s) ≡ X_n(s)/X(s) => запишем ряд очевидных равенств:

перемножим, соответственно, правые и левые части этих равенств =>

W_1*W_{2 *}……_* W_n= X₁/X _* X₂/X₁…… X_n-1/X_{n-2 *} X_n/X_n-1 =>

X_n(s)/X(s) = Wэкв(s) = W₁(s)_*W₂ (s)_*……_* W_n(s)

— Эквивалентная передаточная функция. (4.1)

Найдем эквивалентную АФЧХ => s = i_*ω =>

(4.2)

учитывая, что W_j = A_j(ω) e^iφj(ω) =>

(4.3)

Эквивалентная логарифмическая амплитудная характеристика =>

(4.4)

Если каждое из звеньев имеет передаточную функцию в виде W_j(s)=K_*N(s)/L(s), где N(s), L(s) имеют свободные члены = 1,0 =>

(4.5)

1. Замена цепи из параллельно соединенных звеньев эквивалентным звеном

Складывая, получаем

X₁(s)+X₂(s)+…+ X_n(s)= X(s)[W₁(s)+W₂(s)+…+ W_n(s)]

└─────────────┘ └──────────────┘

↓ ↓

Y(s) Wэкв(s)

=> (4.6)

Подставляя вместо “s” значение “i_*ω” =>

(4.7)

(4. 8)

Aэкв(ω) не выражается простым сложением =>

(4. 9)

Аналогично для фазового сдвига =>

φ_экв(ω)=-π_*m+arct(Vэкв (ω)/ Uэкв (ω)) , (4. 10)

где значение m:

m=1,3,5…, если в 2…3 квадрантах

m=0,2,4…, если в 1 или 4 квадрантах

Логарифмическая амплитудная характеристика:

(4. 11)

Наиболее простые соотношения имеют место для переходной и весовой эквивалентных функций

h_экв(t)= ; w_экв(t)= (4. 12)

Последовательное и параллельное соединение звеньев в значительной степени похожи на аналогичные соединения в электротехнике, гидравлики, и т.д.

Пример на использование структурных преобразований

Задание: Построить (качественно) ЛАХ следующей цепи из последовательно соединенных звеньев:

x(t) y(t)

→ τ₁s/(T_1*s+1) → K₂/(T_2*s+1) → K₃/(T_3*s+1) →

T₁=10^-2c K₂=1 K₃=10²

τ₁=1c T₂=1c T₃=10²c

НУЖНО ВСТАВИТЬ РИСУНОК !!!!

4.2 Цепь с местной обратной связью

Цепь с местной обратной связью имеет следующий структурный вид:

причем сравнивающее устройство

если отрицательная обратная связь

если положительная обратная связь

Рассогласование ε(t) = x(t)-x_ос(t) =>

Выполним преобразования, “обойдя” структуру по контуру =>

Необходимо получить Wэкв(s) = Y(s)/X(s), т.е. =>

↓

=>Y(s) = E(s)_*W(s) = [X(s) - Xoc(s)]_*W(s) = [X(s) - Y(s)_*Woc(s)]_*W(s) =>

[1+ Woc(s)_*W(s)]_*Y(s) = X(s)_*W(s) =>

Wэкв(s) = Y(s)/X(s) = W(s)/(1+ Woc(s)_*W(s)) (4.13)

− Эквивалентная передаточная функция для отрицательной обратной связи.

Если цепь с положительной обратной связью, то =>

ε(t) = x(t) + x_ос(t) => опуская преобразования =>

Wэкв(s) = Y(s)/X(s) = W(s)/(1- Woc(s)_*W(s)) (4.14)

Wэкв(s) = Y(s)/X(s) = W(s)/(1 ± Woc(s)_*W(s)), (4.15)

где знак “+” - для отрицательной обратной связи

знак “−” - для положительной обратной связи

В САР почти всегда используется отрицательная обратная связь, т.е. знак “+”.

Если звенья с передаточными функциями W(s) и Woc – позиционные, то

Кэкв= К / (1± Кос_*К) (4.16)

Если обратная связь единичная, т.е. Woc = ±1, то

Wэкв= W(s)/(1 ± W(s)) (4.17)

В теории управления техническими системами единичную обратную связь называют, зачастую, жесткой обратной связью. =>

=> Wэкв = W(s)/(1+ W(s))

Формула (4.2.5) – соответствует замене цепи с местной обратной связью на эквивалентное звено.

4.2.1. Замена звена с местной обратной связью на единичную

Существуют два способа замены, рассмотрим их последовательно:

1-ый способ

Исходная САР

Эквивалентная САР

Wисх(s)= W(s)/(1+ Wос(s)_*W(s)) Wэкв= [(W(s)_* Wос(s)/(1+ Wос(s)_*W(s))]_*Z(s)

Z(s)=1/ Wос(s) (4.18)

2-ой способ

Исходная САР

Эквивалентная САР

Wэкв = [(W(s)_* Z(s)/(1+ Z(s)_*W(s))] = W(s)/(1+ Wос(s)_*W(s)) =>

Z(s)[ 1+ Wос(s)_*W(s)] = 1+ Z(s)_*W(s)) => Z(s)[ 1−W(s) + Wос(s)_*W(s)] = 1=>

Z(s) = 1/[ 1−W(s) + Wос(s)_*W(s)] (4.19)

4.3. Перенос места обратной связи “вперед” или “назад”

а) вперед

Исходная САР

Эквивалентная САР

Wисх(s) = W1(s)_*W2(s)/(1+ Wос(s)_*W1(s))

Wэкв =W1(s)_* W2(s)/(1+ Wос(s)_*W1(s)W2(s)_*Z(s))

=> Z(s) = 1/ W2(s) (4.20)

б) назад

Исходная САР

Эквивалентная САР

Wисх(s) = W1(s)_*W2(s)/(1+ Wос(s)_*W1(s) _*W2(s))

Wэкв =W1(s) _*W2(s)/(1+ Wос(s)_*W1(s) _*Z(s))

Z(s) = W2(s) (4.21)

4.4 Перенос точек суммирования “вперед” или “назад”

а) вперед

Исходная схема Эквивалентная схема

Данные рисунки не требуют дополнительных комментариев

б) назад

Исходная схема Эквивалентная схема

Данные рисунки, также не требуют дополнительных комментариев

Иногда этот прием называется “перенос внешнего воздействия” =>

Если считать f(t) ≡ x₂(t), то это естественно!!!

4.5. Перенос точек ветвления сигнала “вперед” или “назад”

а) вперед

Исходная схема Эквивалентная схема

б) назад

Исходная схема Эквивалентная схема

Вышеприведенные рисунки не требуют комментариев!

Пример: Преобразовать структурную схему САР привести к единичной главной обратной связи.

Привести к виду

W_*(s)

x(t)

y(t)

Этапы преобразований:

1. W1+W2 =W9

2. W4,W5 => W10 =W4/(1+W4*W5)

3. W9 , W3 , W10 , W6 => W11 = W9*W3*W10*W6 =>

=

W11

W8

W7

> Wисх = W11_*W7 /(1+ W11_*W8) =

=W_* /(1+W_*)=>

W_**W7_*W11+ W11_*W7 = W_* + W_**W8_*W11

W7_*W11 = W_**[1+W8_*W11 − W11_*W7 ]=>

W_*(s) = W11_*W7/(1+ W11(W8 − W7))