УТС3.5 (Лекционный курс)

3.5 КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО

Колебательное звено является наиболее “интересным” из всех типовых звеньев, во-первых, за счет “сильной похожести” по своим динамическим свойствам на более сложные реальные САУ (САР), во-вторых, близкой идентичности переходных процессов в звене к аналогичным в реальных САР, и, в-третьих, существенной зависимости динамических свойств от величины параметра звена.

Уравнение динамики звена описывается уравнением, аналогичным рассмотренном в предыдущем разделе (апериодическое звено второго порядка):

(3.5.1)

причем T₁ < 2T₂, т.е. D = T₁² − 4T₂² ≤ 0

Учитывая, что D ≤ 0, удобнее представить уравнение динамики в другой форме, а именно:

Введем новые параметры: T ≡ T₂ и β = T₁ / 2T₂ , где β − параметр (коэффициент) затухания (демпфирования (0 ≤ β ≤ 1)).

Будем в дальнейшем называть “β” − коэффициентом демпфирования или параметром затухания. Подставляя новые параметры в (3.5.1)

(3.5.2)

Наиболее удобная форма представления уравнения динамики.

Учитывая, что x(t) X(s); y(t) Y(s) и т.д.

− уравнение динамики в изображениях Лапласа.

Отсюда выражение для передаточной функции:

(3.5.3)

передаточная функция колебательного звена.

Еще раз подчеркнем, что параметр (коэффициент) затухания (демпфирования) 0 ≤ β ≤ 1, причем при β = 1 − свойства колебательного звена совпадают с аналогичными свойствами соответствующего апериодического звена 2-го порядка, а при β = 0 − звено выражается в консервативное, в котором могут существовать незатухающие гармонические колебания.

Выражение для АФЧХ получается после подстановки в (3.5.3) значения s = i·ω =>

(3.5.6)

Выражения для вещественной и мнимой частей принимают вид:

(3.5.7)

Опуская выкладки запишем выражение для A(ω) и φ(ω)

(3.5.8)

(3.5.9)

Анализ формул (3.5.7 − 3.5.9) показывает, что:

Одной из главных особенностей АФЧХ является возможность существования экстремума в зависимости A(ω) => Выполним исследование на экстремум =>

=> (3.5.10)

Очевидно, что ω_м существует (т.е. є Rе), если (1-2β²) ≥ 0 =>

Если β < − A(ω) имеет max, если β > − экстремума в зависимости A(ω) − нет.

Анализ вышеприведенных соотношений показывает, что при β < ( β ≤ 0,707 ) график A(ω) имеет “горб”, который при уменьшении β “усиливается” и при β → 0 A(ω) → ∞, что означает “разрыв” в зависимости A(ω).

Частоту ω_м будем отождествлять с тем значением частоты входного гармонического воздействия при которой имеет место максимальное значение амплитуды выходного сигнала.

Подставляя выражение для ω_м (формула (3.5.10)) в выражение (3.5.8), получаем:

(3.5.11)

Данная формула работает только при

Очевидно, что если β ↓ , A(ω_м) ↑, а при β → 0, A → ∞.

Поскольку β = T₁ / 2T₂ , то очевидна ‘роль’ постоянных времени : => T₂ – ‘раскачивает’ колебания, а T₁ − ‘демпфирует’ их. => рассмотрим соответствующие графики :

Обозначения: 1 -  = 1; 2 -  = 0.8; 3 -  = 0.707; 4 -  = 0.6; 5 -  = 0.4; 6 -  = 0.2;

Данные графики аналогичны для случаев резонансов в теоретической механике, физике, электротехнике и т.д.

Величину ω = 1 / T принято называть частотой свободных колебаний и обозначать: ω₀ = 1/T

В звене при β = 0 устанавливаются незатухающие колебания с частотой ω₀, а само звено вырождается в консервативное.

Подставляя различные значения ω в формулу (3.5.6) или (3.5.7) построим годограф АФЧХ на комплексной плоскости:

годограф консервативного звена. ‘легко показать’, что ω₄ = 1 / T

Построение ЛАХ ≡ Lm(ω) не может быть сделано так просто, как для предыдущих позиционных звеньев, т.е. отрезками прямых.

Будем использовать для построения графика ЛАХ нормированную (безразмерную) частоту , где ω₀ − частота свободных колебаний, имеющим место в консервативном звене со следующим уравнением динамики:

Введя новую переменную в выражение для Lm(ω) =>

(3.5.12)

Такая форма представления позволяет ‘свести’ различные ЛАХ при различных Т к автомодельному виду (‘универсальному’ виду графиков).

На рисунке ниже представлен график Lm(ω) в форме (3.5.12), построенный фактически в логарифмических координатах, причем коэффициент усиления K=1.

Подчеркнем, что при такой форме представления все ЛАХ при различных T₁ и T₂ можно “собирать вместе”.

Величина H_m (см. рис.) называется превышением:

(3.5.13)

− превышение при частоте ω = ω_m

Если , то в упрощенных расчетах величину превышения H_m можно оценить, как:

(3.5.14)

при ω = ω_m (эта формула для “ярко выраженных” “горбов”).

Вычислим переходную функцию звена h(t) =>

воспользуемся формулой Хэвисайда.

Найдем полюса

т.к. нет повторяющихся полюсов, т.е. K_j = 1 =>

(3.5.15)

Для вычисления составляющей при j = 1 удобнее использовать второй вариант формулы (3.5.15) =>

j = 1 =>

j = 2 =>

j = 3 =>

Замечая много общих сомножителей в слагаемых для j = 2, 3 => суммируем составляющие при j = 2 и j = 3 =>

подставляя значения m и n =>

подставляя все составляющие в формулу (3.5.15) =>

(3.5.16)

(3.5.16.а)

Величина называется частотой собственных колебаний (0 < β < 1).

Таким образом в описании колебательного звена появилось три “новых” частоты =>

ω_m < ω_c < ω₀

Рассмотрим предельные случаи для β (т.е. β = 1 и β = 0)

Если .

Если т.е. собственных колебаний в звене нет, т.е. процесс без колебательный.

Если

(3.5.17)

− переходная функция консервативного звена

=>

Если возникают “трудности” со вторым слагаемым в круглых скобках формулы (3.5.16) => раскрываем неопределенность типа

(3.5.18)

эта формула соответствует

также аналогичной формуле

для апериодического звена 2-го

порядка при D = 0

(совпадающие полюса).

Если

− необходимо доказать (вывести) эту формулу!!!!!

Дифференцируя во времени формулы (3.5.16 − 3.5.18) найдем соответствующие весовые ( w(t)) функции:

Если (3.5.19)

Если

(3.5.20)

Если

(3.5.21)

Примерами колебательного звена можно считать:

1. R − C − L – цепь =>

1. упругие механические передачи;

2. гироскопический “маятник”;

3. управляемый двигатель постоянного тока (при некоторых условиях).