Стр. 5-18 Лекция 5. Математические модели многозвенных манипуляторов РТС. Автор: Котов Е.А.

Математические модели многозвенных манипуляторов РТС.

Специфика объекта исследования – наличие многозвенных исполнительных механизмов манипуляторов, предназначенных для перемещения одних элементов в требуемое перемещение других, и представляющих в общем случае совокупность твердых тел (звеньев), выполненных в виде разомкнутой цепи, один из концов которой крепится к подвижному или неподвижному основанию, а второй являемся свободным.

Звенья манипулятора образуют кинематические пары пятого класса, допускающие вращательные или телескопические (линейные) перемещения.

Именно многозвенность объекта и определяет его отличительные особенности с точки зрения математического моделирования:

• практическая невозможность структурного представления полной динамической модели

• сложность описания в пространстве состояния и разработки эффективных вычислительных алгоритмов (связанных в частности, с необходимостью обращения матриц).

• необходимость учета динамики приводов, систем управления, влияния окружающей среды, специфики выполняемых технологических операций и т.д.

• Эти и другие факторы требуют разработки специальных (удобных для инженерных исследований) математических моделей и вычислительных алгоритмов.

Задачи исследования, в частности, могут быть названы следующие:

• Определение пространственного положения механизма; анализ конфигураций; анализ конфликтных ситуаций при совместной работе нескольких роботов, работе со вспомогательным оборудованием, манипулировании в условиях ограничения окружающей среды.

• Формирование логических функций вида , определяющих состояние манипулятора, например,

y = 0- манипулятор в неработающем состоянии,

y = i- манипулятор в состоянии выполнения «i»-ой операции

• Имитация движения механизма; определение скоростей, ускорений движения одних элементов в зависимости от скоростей и ускорений других элементов, например, для перемещения схвата.

• Определение пропускной способности РКТ

• Определение динамических характеристик переходных процессов: времени выполнения операции, экстремальных значений фазовых координат, величины перерегулирования и т.д.

Следует отметить, что в большинстве случаев эти задачи после решения дают ответ в форме «да-нет», только средства (модели) для этого используются различные.

Анализ приведенных выше задач позволяет выделить для дальнейшей разработки 3 основных форм моделей: логическая, кинематическая и динамическая, каждую из которых будем определять в функциональном виде:

Математическое описание пространственного положения многозвенных механизмов

Будем использовать следующие обозначения:

n- число звеньев,

i=1,2,…n – нумерация звеньев, начиная со стойки.

i=0 – стойка;

i=n – схват;

i=-1 – неподвижная система координат.

Будем также использовать известный подход описания пространственного положения с помощью специальных систем координат и параметров Денавита-Хартенберга.

В основе пространственного описания многозвенного механизма – алгоритм перехода из «i-1» системы в «i».

Обобщенные координаты. Голономные и неголономные связи

Обозначим через q_i относительный угол поворота или относительное перемещение. Эта величина является обобщенной координатой и определяется следующим образом:

Обобщенные координаты механизма – независимые переменные, полностью определяющие его конфигурацию в пространстве. Строго говоря, обобщенными координатами могут быть не только q_i, но и, например, декартовы координаты. Но выбор q_i влияет множество факторов, например, близость q_i к реальным физическим величинам, реализуемых системой управления.

В общем случае для описания движения манипулятора могут быть использованы l переменных, число которых не равно числу степеней свободы n. Значение n зависит от числа связей между точками звеньев. Эти связи могут быть голономными (позиционными, геометрическими) и неголономными (скоростными).

Голономные связи определяют зависимости между координатами точек тел системы и записываются в виде:

Уравнение связи могут быть стационарными и нестационарными, соответственно без и с .

Неголономные связи определяют зависимости между скоростями точек тел системы, не сводящиеся (путем интегрирования) к зависимостям между координатами этих точек, т.е. к голономным связям. Уравнения неголономных связей имеют вид:

если в матричном виде:

число степеней свободы определяется:

Таким образом, с помощью обобщенных координат q₁, q₂…q_n и матриц L_i, T_i определяется пространственное положение механизма, что равносильно статическому или геометрическому моделированию. С помощью моделей этого класса определяются зоны обслуживания (зоны сервиса), решаются задачи обхода препятствий.

Кинематическая модель

Будут использованы следующие известные соотношения:

(вращение по оси z, )

Как уже отмечалось, основная задача, которую решает кинематическая модель – определение скоростей, ускорений движения последнего звена (схвата) в зависимости от скоростей, ускорений движения предыдущих звеньев. Кинематическое моделирование- моделирование движения без учета факторов, его вызвавших (только следствие). это одна их форм имитационного моделирования.

Для разомкнутого многозвенного механизма существенным является рекуррентный характер изменения скоростей и ускорений движения звеньев. Для получения этих зависимостей будем использовать следующие обозначения.

, причем угловые скорости ( ) измеряются в связанной системе координат, а линейные – в неподвижной (-1).

- вектор ускорений «i»-го звена

Продифференцируем дважды первое уравнение и с учетом матриц ориентации будем иметь:

(1)

Таким образом, (2)

Можно получить уравнение (2) проще:

Продифференцируем дважды второе уравнение:

(3)

(4)

Уравнения (1), (2) и (3), (4) могут быть записаны соответственно в виде:

(5)

(6)

A_i и B_i– матрицы, зависящие от конфигурации механизма в пространстве, а С_i – матрица, зависящая как от конфигурации, так и от скоростей.

Уравнения (5), (6) определяют кинематическую модель многозвенного механизма:

Динамическая модель многозвенного механизма

При построении динамической модели будем рассматривать следующие силы и моменты, действующие на каждое звено:

Силы измеряются в неподвижной, а моменты- в связанной системах координат.

Отметим, что в зависимости от характера сочленения «i-1» и «i» звеньев в состав сил и моментов реакций входят управляющие силы и моменты, развиваемые исполнительными системами и являющиеся обобщенными силами, отнесенными к координате q_i

Для записи динамических уравнений движения звеньев воспользуемся известными уравнениями механики, согласно которым производная по времени от количества движения системы равна векторной сумме всех действующих на систему сил, а производная от кинетического момента, вычисленного относительно какой-либо точки, равна векторной сумме моментов от всех сил, действующих на систему, относительно той же точки.

Для записи производной от количества движения твердого тела обозначим через скорость центра масс (который перемещается так, если бы все действующие силы были приложены к нему).

(7)

Уравнение записано без учета матричных ориентации.

Кинематический момент K_i «i»-го звена относительно точки начала связанной системы координат определяется:

I – тензор инерции.

(8)

C учетом матриц ориентации уравнения (7), (8) могут быть записаны в виде:

(9)

Обозначим через W_i симметричную матрицу

(10)

Уравнения (9) могут быть записаны в виде:

(11)

Соотношение (11) позволяет определить динамические составляющие сил и моментов отдельных звеньев с заданными геометрическими и инерционными характеристиками при действии на них внешних сил и моментов. Оно также является рекуррентным, так как силы и моменты реакции, действующие со стороны «i+1» звена равны по модулю, но противоположны по знаку силам и моментам, действующим со стороны «i»-го звена на «i+1». Таким образом, при известных законах движения стойки , а также известных функциях могут быть определены скорости и ускорения всех звеньев (5; 6). Вместе с тем, принимая , т.к. кинематическая цепь механизма является разомкнутой, можно определить силы и моменты реакций в шарнирах.

Динамическая модель

Динамическая модель ставит своей основной целью определение ускорений движения механизма в зависимости от действующих сил и моментов. Для ее построения воспользуемся принципом Гаусса наименьшего принуждения, который применим как для голономных, так и неголономных систем.

В своей классической постановке принцип Гаусса заключается в следующем: Пусть заданы конфигурация и скорость системы в момент времени t. Напишем выражение

, где m_i – масса, F_i – силы, действующие на систему,

зависящее от и будем рассматривать те значения, которые возможны при заданных конфигурациях и скорости системы (определяемых уравнениями связи). Принцип Гаусса утверждает, что в этом классе значений выражение J для истинного ускорения минимально. Т.е. , где - истинное ускорение.

Для задачи определения законов движения механической системы под действием заданных сил и моментов принцип Гаусса дает следующее решение: при заданной конфигурации (определенных значениях x_i) и скоростях механизма ( ) вычисляются ускорения путем минимизации меры принуждения с учетом уравнений связей. Затем полученные ускорения интегрируются для определения новой конфигурации и новых скоростей в следующий момент времени.