Стр. 3-9 Лекция 3. Моделирование во времени динамических систем. Автор: Котов Е.А.

Моделирование во времени динамических систем

Особенности моделирования динамических систем

Особенности моделирования динамических систем определяются общими проблемами численного решения интегро-дифференциальных и алгебраических уравнений: выбор метода; шага интегрирования; обеспечение устойчивости и точности решения и т.д.

Но существуют и проблемы, определяемые спецификой динамических систем рассматриваемого класса (РТС, их элементы, системы управления):

• жесткость систем - большой разброс постоянных времени. Практика показывает, что явление жесткости в реальных сложных системах - скорее правило, чем исключение. Это способствовало развитию методов интегрирования жестких систем, к которым, прежде всего, относятся неявные методы.

В качестве иллюстрации жестких систем рассмотрим следующий пример:

D (p)=10^-4 p²+p+1

D(p)=0 → 10^-4 p²+p+1=0

λ₁ ≈ -1, λ₂ ≈ -10⁴.

Выходной сигнал выражается формулой:

Решение практически определяется составляющей e^-t, другая составляющая мала и быстро затухает. Несмотря на это, при интегрировании явным методом шаг следует выбирать порядка 10^-4;

• Наличие в моделях неоднозначных, разрывных и других характеристик, требующих специальных алгоритмов вычисления.

Например,

При исследовании подобной модели необходимо часто моделировать динамический процесс, схожий со скользящим режимом, характерным для такой системы в реальности, что при вычислениях приводит к дроблению шага и фактическому прекращению моделирования.

• Необходимость моделирования по уравнениям состояния, передаточным функциям и структурно-функциональным схемам. Сложность математического описания динамики РТС и их элементов, в частности, многозвенных манипуляторов.

Численное решение дифференциальных уравнений.

Это получение последовательности векторов, аппроксимирующих истинное решение на временной сетке

,

где h_j – j-ый шаг интегрирования. Шаг интегрирования выбирается из заданной точности. Ошибка складывается из двух составляющих:

ε = ε_метод + ε_вычисл

ε_метод определяется неточностью метода и уменьшается при уменьшении h, при h 0 ε_метод=Сh^k, где С - const; k - порядок метода; определяет, во скольких точках в пределах шага [t_i; t_i+1] вычисляются правые части уравнений при нахождении X_i+1. Например, методы второго порядка реализуются в две стадии с одной промежуточной точкой

ε_{вычисл.} определяется неточностью вычислений (ограниченность разрядной сетки).

ε_{вычисл.} увеличивается при уменьшении h.

О дним из факторов, ограничивающим шаг интегрирования - устойчивость численного метода. Неустойчивость – катастрофическое увеличение ошибки (при h > h_max).

Устойчивость численного метода существенно зависит от того, является ли он явным или неявным.

Явные методы используют экстраполяционные формулы, например, метод Эйлера:

Неявные - интерполяционные:

.

При реализации неявных методов необходимо на каждом шаге интегрирования решать систему алгебраических уравнений относительно вектора x_i+1, а это сопряжено с большими вычислительными затратами.

Если, например, рассматривается уравнение , то простой метод Эйлера (явный и неявный) дает соответственно следующие решения:

Во втором случае необходимо обращение матрицы (E-hA), что вносит дополнительные вычислительные затраты. Для их уменьшения используются, в частности, методы линейной алгебры, оперирующие с разреженными матрицами.

Преимущества неявных методов с точки зрения устойчивости, могут быть проиллюстрированы на следующем простом примере:

Необходимо выполнить численное решение уравнения:

Точное аналитическое решение:

Если решать явным методом Эйлера, то

При неявном:

Таким образом, второй подход является менее критичным по отношению к выбору шага интегрирования.

Методы интегрирования могут быть одношаговые и многошаговые; последние используют информацию, полученную на предыдущих шагах интегрирования. Одношаговые - только с предыдущего. Многошаговые рекомендуется применять когда правые части представлены гладкими функциями и решение надо получить с высокой точностью. В других случаях - одношаговые.

Для выбора шага интегрирования можно использовать следующую процедуру. Интегрирование от точки t_i до точки t_i+1 = t_i + h_i выполняется дважды: с шагом h_i и h_i/2, решения соответственно будут и .

Далее, вычисляется локальная ошибка

и выполняется оценка относительной локальной ошибки:

(k - порядок метода).

Если:

1. то h_i / 2 и повторяются вычисления из точки t_i

2. то 2h_i

3. , то h_i

Эта процедура контроля ошибки является наиболее универсальной, поскольку применима к любому методу интегрирования, но требует дополнительных вычислительных затрат.

Моделирование систем по уравнениям состояния.

Сводится к численному решению дифференциальных уравнений:

Здесь огромное количество алгоритмов и программ, ориентированных именно на такую постановку задачи.

Например, метод Рунге-Кутта 2-го порядка:

β = 2 / 3

Моделирование линейных динамических систем по передаточным функциям.

Постановка задачи заключается в определении y(t) из условия:

при известной функции u(t) и известных коэффициентах a_i, b_i, i=0,...,n.

Для этого воспользуемся уравнениями, полученными на предыдущей лекции при переходе от передаточной функции к уравнениям состояния.

Если , то моделирование по приведенным уравнениям может быть выполнено явными методами. Если a_n может равняться нулю, то расчеты выполняются только с использованием неявного метода. Для этого воспользуемся другой формой записи этих уравнений:

Применим неявный метод Эйлера:

или

Вид матрицы таков, что ее можно представить в виде:

, где

Уравнение Az=V будет иметь вид:

и его решение сводится к последовательному решению двух систем:

- прямой ход

- обратная подстановка.

Расчетные формулы имеют следующий вид:

при условии , что практически всегда выполняется, так как среди корней знаменателя передаточной функции почти всегда нет корней, расположенных в правой полуплоскости.

Приведенные расчетные формулы достаточно эффективны, требуют незначительности вычислительных затрат.

Моделирование динамических систем по структурным схемам

В этой области можно выделить два основных направления:

1. Первоначальное преобразование ММ из структурной схемы к нормальной форме Коши и дальнейшее использование, например, приведенных выше алгоритмов. Это направление не является эффективным, поскольку, как правило, сводится к использованию явных методов и не использует преимущества структурного представления.

2. Использование специальных методов и алгоритмов, ориентированных на моделирование по структурным схемам. Основная идея этих методов заключается в том, что на каждом шаге интегрирования сигналы как бы “пропускаются” по всем ветвям схемы и преобразуются в ее элементах по специальным алгоритмам.

Вместе с тем здесь следует указать на две проблемы: определение порядка вычислений и разработка алгоритмов вычисления, первая из двух обусловлена наличием обратных связей, что в свою очередь приводит к необходимости решения алгебраических уравнений; например,