лекция 2 (kotov_lekcii)
Описание файла
Файл "лекция 2" внутри архива находится в папке "kotov_lekcii". Документ из архива "kotov_lekcii", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "моделирование ртс" из 10 семестр (2 семестр магистратуры), которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "моделирование ртс" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "лекция 2"
Текст из документа "лекция 2"
Стр. 2-15 Лекция 2. Взаимосвязь различных форм представления математических моделей. Автор: Котов Е.А.
Взаимосвязь различных форм представления математических моделей
При разработке математических моделей (ММ) часто возникает необходимость перехода от одной формы математического представления систем к другой, в частности, эту задачу приходится решать при завершающей стадии, когда модель ограничивается рамками используемого программного обеспечения. Эта операция имеет свои особенности и ее успешное завершение требует определенных навыков.
Ранее было отмечено, что ММ динамических систем (в том числе РТС и их элементов) могут быть представлены уравнениями состояния, передаточными функциями и в графо-аналитическом виде (структурно-функциональные схемы).
Рассмотрим возможные случаи перехода от одной формы к другой.
ММ задана в виде уравнений состояния.
Структурная схема в общем виде представляется следующим образом:
Для линейной системы:
Пример № 1.
На основании приведенных выше уравнений может быть составлена следующая структурная схема:
Это ММ упругой механической передачи, учитывающей диссипативные потери и силовой люфт.
u - угол поворота входного вала
x1 - угол поворота выходного вала (выходная координата)
Z - угол закрутки (упругая деформация)
В результате простых структурных преобразований получим:
что соответствует привычному представлению.
J - момент инерции
С - коэффициент упругости
χ - коэффициент потерь на упругие деформации.
Пример № 2 (для линейных систем).
В приведенных примерах взаимосвязь X и X решается через операцию интегрирования, возможно решение и через операцию дифференцирования:
Но такой переход к структурной схеме не является желательным. Операция “идеального” дифференцирования не может быть точно решена численными методами
/Точно так же не используется (и не реализуется) звено “чистого” дифференцирования в реальных САУ (пример с помехой)/.
Чтобы быстро и правильно перейти от уравнений состояния к структурной схеме, следует начинать с интеграторов, причем, их должно быть столько, каков порядок системы, и далее, в соответствии с уравнениями организовать необходимые связи. Элементы структурных схем следует выбирать такими, которые в используемом программном обеспечении реализуются более эффективными алгоритмами, например
Рассмотрим переход от описания линейной системы во временной области к описанию в частотной.
Необходимо определить матричную передаточную функцию W(s), связывающую вектор u с вектором выхода Y в соответствии с уравнениями.
Из первого уравнения выразим Х и подставим во второе:
X=(Es-A)-1ВU
Y=[C(Es-A)-1В+D]U, Е - единичная матрица.
Выражение W(s)=C(Es-A)-1B+D и определяет матричную передаточную функцию.
Основная проблема ее вычисления заключается в необходимости обращения матрицы (Es-A). Для этой операции существует ряд алгоритмов, один из которых (алгоритм Леверье) приведен ниже:
Коэффициенты характеристического полинома ai и матрицы Ri вычисляются следующим образом:
/*Проверка правильности вычислений R0≡0./
В некоторых случаях эту задачу можно решить более простыми методами, например,
Определим 
, для этого из второго уравнения выразим x2 и подставим в первое, выполнив предварительно преобразование Лапласа для каждого из уравнений.
W(s) - скалярная величина, т.к. в системе один вход и один выход/
ММ задана в виде передаточной функции.
В случае, если рассматривается ММ с несколькими входами и несколькими выходами (многосвязная система), в основе перехода от описания системы в частотной области к ее описанию во временной лежит задача нахождения матриц А, В, С, D по известной матричной передаточной функции W(s). Но решение этой задачи не является однозначным. Действительно, если рассмотреть матрицы 
определяемые следующим образом:
где Q(nxn) – произвольная невырожденная матрица;
то
(Здесь использовано правило обращения произведения матриц: 
)
Таким образом получено точно такое же выражение для W(s), но матрицы определяют уже другую математическую модель.
Матрицы А, В, С, D должны определяться из условия реализации W(s) наименьшего возможного порядка, что означает исключение одинаковых пулей и полюсов из элементов W(s).
На практике часто переход от передаточной функции к записи уравнений во временной области сводится к задаче с одним входом и одним выходом
Если имеются одинаковые корни числителя и знаменателя, то порядки (n; m) понижаются.
Дифференциальное уравнение “n”-ой степени имеет вид:
В процессе моделирования является нежелательным вычисление производных от входного сигнала U(t), поскольку они не всегда могут существовать, поэтому такой переход к уравнениям может быть использован корректно при условии bi=0, i=1,...,m.
Рассмотрим универсальный переход от передаточной функции к структурной схеме и к уравнениям состояния.
На основании последнего выражения представим структурную схему:
В прямой цепи “n”
интеграторов.
Естественно, полученная структурная схема не является единственной реализацией передаточной функции, поскольку любые структурные преобразования приводят к другим схемам.
Чтобы перейти к уравнениям состояния, выход “i”-го интегратора на схеме обозначим через хi, и запишем систему уравнений.
Математическая модель задана в виде структурной схемы.
Переход к уравнениям состояния проиллюстрируем на следующем примере:
Уравнения состояния имеют вид:
Процедура получения уравнений может быть алгоритмизирована, например, следующим образом:
Представим структурную схему в виде графа:
Далее, выполняется кодирование схемы:
| № звена | Тип звена | Входы | Параметры |
| n1 | <Сумматор> | n0 – n5 | |
| n2 | <Дин зв.1 пор> | n1 | a1 a2 |
| n3 | <Нелин. элемент> | n2 | F |
| n4 | <Интегратор> | n3 | н.у. |
| n5 | <Интегратор> | n4 | н.у. |
n1 - n5 – номера блоков
При программной обработке таблицы предполагается, что существует библиотека модулей, выполняющих расчет коэффициентов правых частей для элементарных линейных звеньев. Для нелинейных звеньев осуществляется запись, например, в виде x3=F(x4) тип F - зона насыщения.
В качестве примера перехода от структурной схемы к передаточной функции рассмотрим следующий алгоритм.
Предположим, что структурная схема имеет вид:
Входной язык для структурного кодирования должен задавать топологию (граф модели), алгоритм преобразования сигналов каждым элементом.
Запишем уравнения:
Δ5 – вычеркнут 5-й столбец; Δ1 – вычеркнут 1-й столбец
В общем случае, если система имеет “к” входов, то математическая модель может быть представлена в виде:
W·x=0, где W - функциональная матрица размерности (n∙[(n+k)); n - число элементов схемы (число вершин графа).
из выходных сигналов, то остальные n-1сигналов полагаются равными 0.
Пример № 2
Алгоритм:
-
Рассматривается связь по координате x1(s)
-
“1” соответствует удалению первой строки
-
Далее, алгоритм аналогичен предыдущему.
Вычисление определителей осуществляется по различным методам, например, способам приведения функциональной матрицы к треугольному виду; но здесь кроме этого необходима работа с полиномами.
Но можно предложить и другой алгоритм:
Задавая “m+1” различных значений “p” и вычисляя значения определителя, получим “m+1” линейных уравнений относительно bi, i=0,1,...,m. Решив эти уравнения, получим коэффициенты полинома в (*)
С помощью матрицы W могут быть записаны уравнения в нормальной форме Коши, но уже не только для линейных систем.
