Определенный интеграл (Лекции)

11. Определенный интеграл.

11.1. Определение.

11.1.1. Вычисление площади криволинейной трапеции. Пусть на отрезке задана непрерывная функция , принимающая на этом отрезке неотрицательные значения : при . Требуется определить площадь трапеции , ограниченной снизу отрезком , слева и справа - прямыми и , сверху - функцией .

Для решения этой задачи разделим произвольным образом основание фигуры точками на частей символом будем обозначать длину -го отрезка: . На каждом из отрезков выберем произвольную точку , найдём , вычислим произведение (это произведение равно площади прямоугольника с основанием и высотой ) и просуммируем эти произведения по всем прямоугольникам. Полученную сумму обозначим : .

равно площади ступенчатой фигуры, образованной прямоугольниками , ; на левом рисунке эта площадь заштрихована. не равна искомой площади , она только даёт некоторое приближение к . Для того, чтобы улучшить это приближение, будем увеличивать количество отрезков таким образом, чтобы максимальная длина этих отрезков стремилась к нулю (на рисунке ступенчатые фигуры изображены при (слева) и при (справа)). При разница между и будет тоже стремиться к нулю, т.е.

.

11.1.2. Определение определённого интеграла. Пусть на отрезке задана функция . Разобьём отрезок произвольным образом на частей точками ; длину -го отрезка обозначим : ; максимальную из длин отрезков обозначим . На каждом из отрезков выберем произвольную точку и составим сумму .

Сумма называется интегральной суммой. Если существует (конечный) предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения отрезка на части , ни от выбора точек , то функция называется интегрируемой по отрезку , а этот предел называется определённым интегралом от функции по отрезку и обозначается

.

Функция , как и в случае неопределённого интеграла, называется подынтегральной, числа и - соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования. Кратко определение иногда записывают так: .

В этом определении предполагается, что . Для других случаев примем, тоже по определению:

Если , то ; если , то .

11.1.3. Теорема существования определённого интеграла. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема по этому отрезку.

Примем это утверждение без доказательства, поясним только его смысл. Интегрируемость функции означает существование конечного предела последовательности интегральных сумм, т.е. такого числа , что для любого найдётся такое число , что как только разбиение отрезка удовлетворяет неравенству , то, независимо от выбора точек , . Требование непрерывности достаточно для интегрируемости, но не является необходимым. Интегрируемы функции, имеющие конечное или даже счётное число точек разрыва на при условии их ограниченности (т.е. все точки разрыва должны быть точками разрыва первого рода). Неограниченная функция не может быть интегрируемой (идея доказательства этого утверждения: если неограничена на , то она неограничена на каком-либо , т.е. на этом отрезке можно найти такую точку , что слагаемое , а следовательно, и вся интегральная сумма, будет больше любого наперед заданного числа).

11.1.4. Геометрический смысл определённого интеграла. Как следует из пункта 11.1.1, если на отрезке , то равен площади криволинейной трапеции , ограниченной снизу отрезком , слева и справа - прямыми и , сверху - функцией .

11.2. Свойства определённого интеграла.

1. Линейность. Если функции , интегрируемы по отрезку , то по этому отрезку интегрируема их линейная комбинация , и

.

Док-во: для любого разбиения отрезка и любого выбора точек . Перейдем в этом равенстве к пределу при . Так как существуют пределы интегральных сумм, стоящих в левой части равенства, то существует предел линейной комбинации этих сумм, следовательно, существует предел правой интегральной суммы, откуда следует истинность и утверждения, и равенства.

2. Аддитивность. Если интегрируема по отрезку и точка принадлежит этому отрезку, то .

Док-во. Если удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезку , то она удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезкам и . Будем брать такие разбиения отрезка , чтобы точка являлась одним из узлов : . Тогда . В этом равенстве первая сумма справа - интегральная сумма для , вторая - для .Переходим к пределу при . Пределы для всех трёх сумм существуют, и .

Свойство аддитивности остаётся верным при любом расположении точек, если только функция интегрируема по самому широкому интервалу. Пусть, например, , и интегрируема по . Тогда, по доказанному, . Отсюда и из определения интеграла для случая, когда нижний предел больше верхнего, следует, что .

При формулировании и доказательстве следующих свойств предполагаем, что .

3. Интеграл от единичной функции ( ). Если , то .

Док-во. Если , то для любого разбиения

, т.е любая интегральная сумма равна длине отрезка. Предел постоянной равен этой постоянной, откуда и следует доказываемое утверждение.

4. Теорема об интегрировании неравенств. Если в любой точке выполняется неравенство , и функции , интегрируемы по отрезку , то .

Док-во. Для любого разбиения отрезка и любого выбора точек при . Переходя в этом неравенстве к пределу при , получаем требуемое неравенство.

5. Теоремы об оценке интеграла.

5.1. Если на отрезке функция удовлетворяет неравенству , то .

Док-во. Докажем левое неравенство (цифрами над знаками импликации обозначены номера применяемых ранее доказанных свойств): . Аналогично доказывается и правое неравенство.

5.2. Если функция интегрируема по отрезку , то .

Док-во. .

6. Теорема о среднем. Если непрерывна на отрезке , то существует точка , такая что .

Д
ок-во. Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшее и наибольшее значения. Тогда . Число заключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное между и . Таким образом, существует точка , такая что .

Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: если непрерывна на отрезке , то существует точка такая, что площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с основанием и высотой (на рисунке выделен цветом).

11.3. Вычисление определённого интеграла.

Формула Ньютона-Лейбница.

11.3.1. Интеграл с переменным верхним пределом. Значение определённого интеграла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования: (чтобы убедиться в этом, достаточно выписать интегральные суммы, они совпадают). В этом разделе переменную интегрирования будем обозначать буквой , а буквой обозначим верхний предел интегрирования. Будем считать, что верхний предел интеграла может меняться, т.е. что - переменная, в результате интеграл будет функцией своего верхнего предела: . Легко доказать, что если интегрируема, то непрерывна, но для нас важнее следующая фундаментальная теорема:

Теорема об интеграле с переменным верхним пределом. Если функция непрерывна в окрестности точки , то в этой точке функция дифференцируема, и .

Другими словами, производная определённого интеграла от непрерывной функции по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции в этом пределе.

Док-во. Дадим верхнему пределу приращение . Тогда

, где - точка, лежащая между и (существование такой точки утверждается теоремой о среднем; цифры над знаком равенства - номер применённого свойства определённого интеграла). . Устремим . При этом ( - точка, расположенная между и ). Так как непрерывна в точке , то . Следовательно, существует , и . Теорема доказана.

Отметим первое важное следствие этой теоремы. По существу, мы доказали, что любая непрерывная функция имеет первообразную, и эта первообразная определяется формулой . Другим важным следствием этой теоремы является формула Ньютона-Лейбница, или основная формула интегрального исчисления.

11.3.2. Формула Ньютона-Лейбница. Если непрерывна на отрезке , и - некоторая первообразная функции , то .

Док-во. Мы установили, что функция - первообразная непрерывной . Так как - тоже первообразная, то . Положим в этом равенстве . Так как , то . В равенстве переобозначим переменные: для переменной интегрирования вернёмся к обозначению , верхний предел обозначим . Окончательно, .

Разность в правой части формулы Ньютона-Лейбница обозначается специальным символом: (здесь читается как "подстановка от до "), поэтому формулу Ньютона-Лейбница обычно записывают так: .

Пример применения формулы Ньютона-Лейбница: .

11.3.3. Формула интегрирования по частям для определённого интеграла. Если - непрерывно дифференцируемые функции, то .

Док-во. Интегрируем равенство в пределах от до : . Функция в левом интеграле имеет первообразную , по формуле Ньютона-Лейбница , следовательно, , откуда и следует доказываемое равенство.

Пример: .

11.3.4. Замена переменной в определённом интеграле. Теорема. Пусть функция

1. определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке ,

2. ,

3. функция непрерывна на отрезке .

Тогда .

Док-во. Пусть - первообразная для функции , т.е. , тогда - первообразная для функции . , что и требовалось доказать.

При решении задач нельзя забывать о том, что при переходе к новой переменной надо обязательно вычислить новые пределы интеграла. Пример:

.

126