LINALG7 (Теория по линейной алгебре (определения, доказательства, формулы))

62

1.14. Сопряженный оператор. Самосопряженность

Определение 1.22 Пусть - линейный оператор, являющийся преобразованием конечномерного евклидова пространства . Линейный оператор называется сопряженным к , если для любых

Теорема 1.11 Для всякого линейного оператора - преобразования конечномерного евклидова пространства - существует единственный сопряженный.

Доказательство. Несмотря на то, что утверждение теоремы есть фактически прямое следствие теоремы 1.10 (п. 1.13), мы дадим здесь его независимое доказательство.

Докажем сперва существование сопряженного оператора.

Выберем в рассматриваемом пространстве произвольный ортонорм , и пусть . Возьмем транспонированную матрицу и определим оператор так, что для произвольного

.

Тогда

Итак, сопряженный оператор существует - он определяется матрицей, транспонированной к матрице исходного оператора (в произвольно фиксированном ортонормированном базисе).

Докажем теперь единственность сопряженного оператора. Пусть существует (вместе с ) такой линейный оператор , что

.

Но тогда для любых векторов

,

откуда

Так как это равенство должно выполняться для любых , то

,

но это значит, что

,

или

,

и сопряженный оператор - единственный.

Теорема доказана.

Вместе с тем мы доказали и:

Следствие 1.4 Если - матрица линейного оператора в произвольно фиксированном ортонорме, то транспонированная матрица - матрица сопряженного оператора в том же ортонорме.

Следствие 1.5

Определение 1.23 Линейный оператор называется самосопряженным, если он совпадает со своим сопряженным:

Из определения 1.23 немедленно вытекает

Утверждение 1.18 В любом ортонорме матрица самосопряженного оператора является симметрической.

Самосопряженные операторы обладают весьма интересными свойствами, которые мы и изучим.

Теорема 1.12 Все характеристические числа самосопряженного оператора вещественны.

Доказательство. Предположим, что существует комплексное характеристическое число у самосопряженного линейного оператора с матрицей в некотором ортонорме пространства , в котором действует оператор.

Запишем однородную систему с матрицей :

, (1)

как если бы мы определяли собственный вектор, принадлежащий данному собственному числу.

Решение (ненулевое!) этой системы есть некоторый комплексный вектор-столбец

(2)

Подставляя в (1) (2), а также представление , получим:

(3)

Разделяя в (3) действительную и мнимую части, получим:

(4)

Введем векторы так, что

Тогда равенства (4) в инвариантной форме примут вид:

(5)

Умножая первое из равенств (5) скалярно на , а второе - на , и вычитая затем из первого равенства второе, будем, с учетом самосопряжнности, иметь:

(6)

Так как вектор - ненулевой, то выражение в (6), стоящее в квадратных скобках, положительно. Отсюда , и число вещественно.

Теорема доказана.

Теорема 1.13 Для всякого самосопряженного оператора существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов этого оператора.

Доказательство. Пусть - самосопряженный линейный оператор, действующий в евклидовом пространстве . По теореме 1.12 существует вещественное собственное число этого оператора и принадлежащий ему собственный вектор .

Рассмотрим множество . Легко видеть, что это - подпространство пространства . Более того,

.

Действительно, .

Таким образом, подпространство образует, как говорят, инвариантное подпространство оператора .

Рассмотрим теперь новый линейный оператор такой, что (по определению):

.

Так определенный оператор называется сужением (или ограничением) оператора на подпространство : он ведет себя, «почти как », но определен только на векторах соответствующего подпространства, т.е., если , то вектор не определен.

Из результатов п. 1.10 следует, что есть ортогональное дополнение и что, следовательно, .

Далее, оператор , будучи, очевидно, самосопряженным, имеет вещественное собственное число и принадлежащий ему собственный вектор из подпространства .

Теперь рассмотрим подпространство

,

которое будет уже подпространством .

Точно так же, как и выше, доказывается, что является инвариантным подпространством оператора (а, следовательно, и самого ), и определяется новое сужение - оператор как сужение на .

Действуя таким образом, получим последовательность инвариантных подпространств

,

и ортогональную систему векторов

являющихся каждый собственным вектором оператора . Число этих векторов не может быть больше . Можно заметить также, что

.

Тогда ортонорм

,

где

и будет искомым.

Теорема доказана.

Утверждение 1.19 Матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов этого оператора является диагональной.

Доказательство. Действительно, поскольку каждый столбец матрицы линейного оператора есть столбец координат образа соответствующего базисного вектора, то для базиса , в котором каждый вектор собственный (для некоторого оператора ), получим:

,

т.е., -ый столбец матрицы равен , где собственное число находится на -ом месте, а вся матрица имеет вид:

Определение 1.24 Линейный оператор называется диагонализируемым, если в пространстве (в котором он действует) существует базис, состоящий из собственных векторов данного оператора.

Таким образом, мы можем констатировать, что самосопряженный оператор диагонализируем.

Обобщая утверждение 1.19, можно заметить, что матрица линейного оператора в базисе, в котором первые векторов суть собственные, имеет вид:

Как видно, эта матрица содержит в левом верхнем углу диагональную подматрицу, заполненную соответствующими собственными числами, под которой все элементы равны нулю. Подматрицы, обозначенные и в общем случае могут быть произвольными.

Продолжим изучение свойств спектра самосопряженных операторов.

Утверждение 1.20 Собственные векторы, принадлежащие различным собственным числам самосопряженного оператора, ортогональны.

Доказательство. Если собственные числа и различны, а и -собственные векторы, принадлежащие и соответственно, то, вычитая из равенства

,

умноженного скалярно на , равенство

,

умноженное скалярно на , получим (в силу того, что )

,

откуда, так как , , что и требовалось.

Следовательно, проще всего построить ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного оператора в том случае, когда все его собственные числа имеют кратность 1 как корни характеристического многочлена. Тогда достаточно просто взять любой собственный вектор, принадлежащий данному собственному числу: поскольку все такие векторы взаимно ортогональны, достаточно затем пронормировать полученный ортогональный базис.

Значительно сложнее обстоит дело в случае кратных корней характеристического многочлена.

Определение 1.25 Алгебраической кратностью собственного числа линейного оператора называется его кратность как корня характеристического многочлена.

Геометрической кратностью собственного числа линейного оператора называется размерность принадлежащего ему собственного подпространства.

(Понятие геометрической кратности мы уже обсуждали выше в п. 1.11).

Фундаментальным свойством самосопряженного линейного оператора является совпадение алгебраической и геометрической кратностей любого его собственного числа.

Прежде чем доказывать это замечательное утверждение, докажем одну лемму.

Лемма 1.1 Если - инвариантное подпространство самосопряженного оператора , то ортогональное дополнение также является собственным подпространством .

Доказательство. Для любого вектора по условию . Тогда для произвольного , откуда следует, что , что и требовалось.

Теорема 1.14 Пусть - самосопряженный линейный оператор, - его собственное число.

Тогда алгебраическая кратность числа ( ) равна геометрической кратности .

Доказательство. Обозначим для краткости через , через .

Введем в ортонорм так, что подсистема есть базис собственного подпространства . Тогда, как нетрудно понять, подсистема образует базис в ортогональном дополнении . Так как, согласно лемме 1.1 последнее подпространство является инвариантным подпространством оператора , любой вектор имеет нулевую проекцию на подпространство , т.е., координата этого вектора, соответствующая любому вектору , равна нулю. Это значит, что матрица оператора в базисе имеет вид:

(см. выше).

Тогда