9

Глава 1. Элементы линейной алгебры

1.1. Понятие линейного пространства

В курсе аналитической геометрии и векторной алгебры мы изучали понятия арифметического и геометрического вектора и поняли, что по своим алгебраическим свойствам, если ограничиться операциями сложения и умножения на число, эти объекты совершенно одинаковы. Это побуждает нас обобщить понятие вектора, рассматривая его исключительно в плане свойств линейных операций (т.е. сложения и умножения на число), с тем, чтобы частные виды векторов (например, геометрические или арифметические векторы) можно было изучать в рамках единой теории. Отчасти мы уже это и делали, рассматривая понятия базиса на множествах геометрических или арифметических векторов.

Обобщение понятия вектора достигается через определение линейного пространства.

Определение 1.1 Линейным пространством называется произвольное множество такое, что для любых двух его элементов и однозначно определен элемент , называемый суммой и , для любого элемента и любого вещественного числа однозначно определен элемент , называемый результатом умножения на число , причем для операций сложения и умножения на число по определению имеют место следующие свойства:

3. существует такой элемент , что для каждого

4. для каждого существует элемент , называемый противоположным к такой, что

(В формулах, написанных выше, под понимаются произвольные элементы , а под произвольные вещественные числа.)

Элементы множества называют векторами, а само это множество часто называют векторным пространством. Элемент при этом называют нулевым вектором данного пространства, а вектор такой , что , называют противоположным к вектору .

Договоримся впредь знак умножения вектора на число опускать.

Можно было бы определить точно так же умножение вектора на комплексное число. Мы в нашем курсе ограничимся по существу только умножением на вещественные числа и, желая подчеркнуть это, будем называть только что определенное линейное пространство вещественным линейным пространством.

Примеры. 1) Множества геометрических и арифметических векторов фиксированной размерности образуют линейные пространства, которые мы будем обозначать соответственно и .

Заметим, что строя конкретный пример линейного пространства, мы должны доказывать свойства операций (1) - (8), которые в определении 1.1 постулируются. И в прошлом семестре мы именно доказывали эти свойства для геометрических и арифметических векторов (опуская, впрочем, подробности).

2) Множество матриц фиксированного порядка размера относительно операций сложения и умножения на число есть линейное пространство, которое мы будем обозначать . Нулевым вектором этого пространства является нулевая матрица, а вектором, противоположным данному, матрице , служит матрица .

3) Рассмотрим на первый взгляд несколько необычный пример линейного пространства.

Пусть - множество всех функций, непрерывных на отрезке числовой прямой.

Для двух произвольных функций определим их сумму как функцию так, что

(обычное «поточечное» сложение функций, известное из школьной алгебры в виде процедуры сложения «графиков», причем, как известно из курса математического анализа, сумма непрерывных функций непрерывна).

Для любой функции и произвольного вещественного введем новую функцию (результат умножения на ) так, что

(также известная из школы процедура «растяжения» графика в заданное число раз, преобразующая непрерывную функцию в непрерывную).

Легко видеть, что для функции , тождественно равной нулю (и, очевидно, непрерывной) на отрезке имеют место соотношения:

Все свойства операций сложения и умножения на число в данном случае легко проверяются, и мы получаем, что множество всех функций, непрерывных на отрезке, является линейным пространством. В этом пространстве нулевая функция играет роль нулевого вектора, а функция , график которой получается отражением графика относительно оси абсцисс, - роль противоположного к вектора.

Таким образом, на непрерывную функцию можно смотреть как на вектор, то есть, как на элемент соответствующего векторного пространства.

Рассмотрим теперь некоторые следствия из определения линейного пространства.

1. Единственность нулевого вектора

Докажем, что нулевой вектор линейного пространства определен однозначно.

Предположим, что существуют два нулевых вектора: и ; имеем:

1. Единственность противоположного вектора

Докажем, что для каждого вектора существует единственный противоположный к нему вектор.

Пусть для некоторого вектора нашлись два противоположных к нему вектора: и ; тогда получим:

(заметим, что в этом выводе использованы свойства (1)-(4) из определения линейного пространства).

Теперь мы можем обозначить вектор, противоположный к вектору через .

Мы можем также ввести операцию вычитания для векторов, положив для любых двух векторов и

Вектор называется при этом разностью векторов и .

В силу единственности противоположного вектора можно утверждать, что в линейном пространстве любое уравнение вида

имеет единственное решение .

1. Результат умножения на нуль

Докажем, что для любого вектора (т.е., число 0, будучи умножено на любой вектор, дает нулевой вектор).

Действительно:

, откуда, (использованы свойства (6) и (8) из определения линейного пространства, а также предыдущее следствие).

1. Результат умножения на

Докажем, что для любого вектора (т.е., если умножить произвольный вектор на -1, то получится противоположный к исходному вектор).

Имеем:

, откуда в силу единственности противоположного вектора получаем доказываемое.

1. Результат умножения произвольного числа на нулевой вектор

Для произвольного вещественного .

В самом деле, для произвольного вектора : 0¹ = (0a)=

= (0)  a = 0  a = 0.

Следовательно, .

Заметим, что все пять следствий из аксиом линейного пространства, т.е. из свойств (1)-(8), доказаны чисто алгебраически. Для геометрических и арифметических векторов они совершенно очевидны.

1.2. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Базис и размерность.

Определения линейной комбинации векторов, линейно зависимых, линейно независимых систем векторов, равно как и понятия базиса и размерности, которые были даны в первом семестре применительно к геометрическим и арифметическим векторам, без всяких изменений переносятся на случай произвольного линейного пространства. Здесь эти определения и доказанные на их основе теоремы заново формулироваться не будут. Напомним, что под системой векторов понимается, как и раньше, произвольная (состоящая не менее, чем из одного вектора) конечная последовательность векторов.

Здесь же мы рассмотрим интересный пример линейного пространства без базиса, т.е. такого линейного пространства, в котором любая линейно независимая система может быть расширена без утраты свойства линейной независимости.

С этой целью возьмем пространство функций (для произвольных вещественных ) и зададим в нем систему функций для некоторого . Докажем, что эта система линейно независима для любого неотрицательного . Предположим противное - тогда для некоторого найдется нетривиальная линейная комбинация векторов указанной системы, обращающаяся в нуль. Поскольку нулевой вектор здесь - это функция, тождественно равная нулю на отрезке, то существование такой линейной комбинации равносильно тому, что многочлен , не все коэффициенты которого равны нулю, тождественно равен нулю. Разумеется, это невозможно. Отсюда следует, что заданная выше система векторов (функций) линейно независима при любом .

Определение 1.2 Линейное пространство, обладающее базисом, называется конечномерным.

Линейное пространство без базиса называется бесконечномерным.

В рамках нашего курса мы будем рассматривать только конечномерные пространства.

1.3. Подпространства и линейные оболочки

Определение 1.3 Подмножество линейного пространства называется подпространством пространства , если вместе с любыми двумя векторами оно содержит их сумму, а вместе с любым вектором - результат умножения его на любое число.

Утверждение 1.1 Подмножество линейного пространства является подпространством тогда и только тогда, когда для любой системы векторов в оно содержит их произвольную линейную комбинацию.

Доказательство. Упражнение.

Примеры. 1) В пространстве всех геометрических векторов подмножество всех векторов, параллельных некоторой плоскости, будет подпространством, а подмножество всех векторов, концы которых лежат на некоторой плоскости, не будет подпространством.

2) Множество всех решений однородной линейной системы есть, как мы видели в первом семестре, векторное пространство, которое будет ни чем иным, как подпространством арифметического пространства (где в данном случае есть число неизвестных системы).

3) В пространстве рассмотрим подмножество всех многочленов степени, не превосходящей некоторого фиксированного . Сумма любых двух таких многочленов снова есть многочлен из заданного множества, равно как и результат умножения такого многочлена на произвольное число остается в данном множестве многочленов. Следовательно, множество многочленов степени не выше является подпространством пространства . Можно доказать, что система многочленов является базисом этого подпространства (упражнение!), и, таким образом, размерность данного подпространства многочленов равна . Мы имеем здесь, стало быть, пример конечномерного подпространства бесконечномерного линейного пространства.