151662 (Рассеяние волн в задаче о маскировке объектов методом волнового обтекания)

КУРСОВАЯ РАБОТА

На тему:

"Рассеяние волн в задаче о маскировке объектов методом волнового обтекания"

Минск, 2010 г.

Введение

У людей с давних времён есть желание замаскироваться, а то и вовсе стать невидимым для окружающих. И с недавних пор это может стать возможным с помощью метода волнового обтекания. Основной целью курсовой работы является изучение метода рассеяния волн в задаче о маскировке объектов методом волнового обтекания, рассмотрение основных характеристик и свойств маскирующих покрытий, изучение их классификации. А также, как дополнение, рассмотрение быстрого преобразования Фурье и его применения в задаче о рассеянии. Задача курсовой работы заключается в овладении методом решения задачи о рассеянии и изучении маскирующих оболочек.

Под маскировкой или скрытием методом волнового обтекания следует понимать такое преобразование фронта волны маскирующей оболочкой, что он огибает скрываемый объект. В реальных условиях невозможно добиться идеальной маскировки, но принципиально возможно сведение потерь и рассеяния к пренебрежимо малым для поставленной задачи значением. А в задаче маскировки таких сравнительно небольших объектов, как тело человека, ракет, самолётов, и прочей военной техники, учитывая маловероятность отклика радаров на большое для идеальных моделей, но значительно меньшее, чем у объектов без маскирующих оболочек, рассеяние, при желании распределённое во всех направлениях, делает их скрытие очень перспективной и востребованной задачей. Учитывая характер явления, его преимущественной областью применения является военно-стратегическая.

1. Решение задачи о рассеянии

1.1 Решение задачи о рассеянии в общем случае

В общем случае задача о рассеянии ставится следующим образом. На некоторый объект произвольной формы с диэлектрической проницаемостью и объемом V падает электромагнитная волна в направлении распространения и с колебаниями электрического вектора в направлении (рис. 1.1). Волна движется в пространстве с диэлектрической проницаемостью . После рассеивания и поглощения результирующая волна имеет направление распространения и колебания электрического вектора в направлении .

Для вычисления рассеянных электромагнитных полей и сечения рассеяния необходимо сначала записать общее решение для поля внутри рассеивающего тела, поля рассеянных волн и падающего поля, а затем вычислить неизвестные постоянные коэффициенты (спектральные амплитуды) с помощью граничных условий.

1.2 Решение задачи о рассеянии в общем случае

Решение задачи о рассеянии в общем случае заключается в нахождении сечения рассеяния.

Запишем электрическое поле падающей волны следующим образом:

, (1.2.1)

где = – вектор описывающие местоположение относительно базиса ( – волновое число. Рассеянное поле вдали от рассеивателя может быть описано сферической волной:

, (1.2.2)

где r – расстояние от рассматриваемой точки до точки рассеяния,

– амплитуда рассеяния, зависящая от направления рассеянной и падающей волн.

Магнитное поле падающей волны вычисляется из уравнений Максвелла и имеет следующий вид:

, (1.2.3)

где η= есть волновое сопротивление (импеданс).

Вектор Умова-Пойтинга, который определяет поток мощности поля через единицу поверхности, записывается следующим образом:

. (1.2.4)

Рассуждаем так же и для рассеянной волны. Магнитное поле рассеянной волны по определению следующее

, (1.2.5)

а вектор Умова-Пойтинга рассеянной волны

, 1.2.6.

Подставляя выражение (1.2.2) в (1.2.6), получаем

. (1.2.7)

В сферической системе координат возьмём дифференциал телесного угла в направлении рассеяния (рис 1.2)

. (1.2.8)

На расстоянии r, от рассеивающей точки, площадь поверхности ограниченной дифференциалом телесного угла записывается следующим образом:

. (1.2.9)

Тогда дифференциал рассеянной мощности через площадку принимает следующий вид:

. (1.2.10)

Дифференциал телесного угла в сферических координатах r, θ_s, φ_s

Теперь, подставляя (1.2.7) в (1.2.10) получим следующее выражение для мощности, рассеянной в элемент телесного угла:

. (1.2.11)

Разделив левую и правую части выражения (1.2.11) на вектор Умова-Пойтинга для падающей волны (1.2.4), получим

. (1.2.12)

Размерность последнего соотношения является размерностью площади. называется дифференциальным сечением рассеяния и обозначается как .

А интегрирование 1.2.12, в свою очередь, даёт

. (1.2.13)

, (1.2.14)

где – рассеянная мощность, а – сечение рассеяния.

. (1.2.15)

1.2 Решение задачи о рассеянии на цилиндре

Решается задача о нахождении полей на таком удалении от точек рассеяния, что фронт распространения волн этих полей можно считать плоскостью. Найдём для этого сперва общее решение, характеризующее бесконечно длинный цилиндр, а затем подставим в решение граничные условия, обобщив его тем самым на цилиндр длинны L.

Пусть поле падающих волн задаётся выражением:

, (1.2.1)

где (см. рис. 2.1), падающая волна раскладывается в суперпозицию двух поляризаций – горизонтальной линейной и вертикальной линейной, а и горизонтальный и вертикальный вектора поляризации.

Падающая волна также может быть представлена в виде векторных цилиндрических волн, т.е. следующим образом:

. (1.2.2)

Цилиндр высоты L, радиуса a и проницаемости

Общее решение будет состоять из выражений для рассеянного поля и поля внутри цилиндра объединённых граничными условиями. Запишем теперь выражения, определяющие рассеянное и внутренне поля с точностью до неизвестных коэффициентов , , , на оговоренном ранее расстоянии от точки рассеяния

, (1.2.3)

, (1.2.4)

где , – символ, с помощью которого обозначается конфигурация функций Бесселя и Ханкеля для величин, перед которыми он стоит, а – коэффициенты, получаемые с использованием преобразования Фурье от выражения (1.2.1)

,

известны для такого приближения.

Граничные условия задаются равенствами:

, (1.2.5)

, (1.2.6)

из которых можно путём преобразований получить следующие выражения

, (1.2.7)

, (1.2.8)

которые задают зависимость неизвестных коэффициентов из выражения для внутреннего поля (1.2.4) от направлений распространения , полей , , координаты и – радиуса цилиндра. Таким образом, поле определено, т. к. коэффициенты могут быть легко получены из (1.2.7), (1.2.8).

Поле, образовавшееся после рассеяния падающего поля на цилиндре высоты L, в точках находящихся на достаточном для нашего приближения удалении определим путём интегрирования по конечной поверхности цилиндра, исключая граничные точки, используя формулу

. (1.2.9)

После подстановки (1.2.4) в (1.2.9) и выполнения интегрирования по dz в интервале ( и по dφ в интервале (0; 2π) получим следующее выражение для поля рассеянных волн:

{ [

]

[

]}. (1.2.10)

Итак, нами были найдены поля и . Однако есть несколько ограничений для полученных решений. Во-первых, следует иметь в виду, что такое решение непригодно вблизи точек рассеяния. Во-вторых, амплитудные коэффициенты, которые использовались в уравнениях (2.3), (2.4), были взяты готовыми, как известные для плоских волн. В общем случае их нужно рассчитывать отдельно для каждой конкретной задачи, используя преобразование Фурье, как это делается в работе [9].

1.3 Быстрое преобразование Фурье

Преобразование Фурье используется при решении задачи о рассеянии с целью нахождения амплитудных коэффициентов необходимых для описания волны. Характер последних, как уже упоминалось, зависит от того в каком приближении мы рассматриваем поставленную задачу. Суть применения преобразования Фурье заключается в разбиении произвольной волны на элементарные плоские волны. Таким образом, получаем амплитудные коэффициенты, стоящие как множители перед рядом, в виде которого представляется волна. Затем можно подставить граничные условия в полученное выражение, что позволяет выразить неизвестные , , , , как, например, в (1.2.3), (1.2.4). Затем, проведя обратное преобразование Фурье, получим представление искомой волны, удовлетворяющее задаче.

Быстрое преобразование Фурье (БПФ) – это реализация обычного (дискретного) преобразования Фурье (ДПФ), но с намного меньшим количеством операций n=Nlog₂N, где N – размер строки данных, в отличие от n=N² в ДПФ. В БПФ используются исключительно N, являющиеся степенями двойки. Если N не является степенью двойки, то его дополняют нолями до ближайшей из степеней.

Для осуществления БПФ можно использовать лемму Даниельсона-Ланкзоса, которая разбивает ряд ДПФ

, (1.3.1)

где – исходная функция, на две суммы – по чётным и нечётным индексам j:

. (1.3.2)