150075 (Анализ цепи во временной области различными методами), страница 2

Таким образом, подставляя корни и, применяя преобразование Эйлера, получим:

Импульсная характеристика цепи представляет собой реакцию цепи на воздействие единичной импульсной функции и может быть найдена как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции, либо с помощью формулы разложения:

, (9) где и числитель и знаменатель передаточной функции соответственно, а - полюсы :

Таким образом:

Первое слагаемое определяется действием на входе цепи d - импульса тока и существует только для t=0. В дальнейшем переходной процесс протекает за счет энергии, накопленной в электрическом поле конденсатора и магнитном поле индуктивности в результате действия d - импульса тока. Из приведенного выражения видно, что, как и в первом случае, переходной процесс носит затухающий колебательный характер с частотой, равной собственной частоте рассматриваемой цепи: w_св = 41574 рад/сек. Подобного вида решения (с d -функцией) возникают всякий раз, когда степени полиномов числителя и знаменателя передаточной функции оказываются равными. Коэффициент при соответствует части входного импульса поступающей в нагрузку.

Рисунок 3.2. Импульсная и передаточная характеристики

4.3 Определение напряжения на нагрузке

Входной импульс в данном задании представляет собой знакопеременное прямоугольное напряжение. Его можно представить как сумму следующих функций:

Применяя теорему Запаздывания, найдём операторное изображение для одиночного импульса напряжения:

(10)

Так как , выразим :

(11)

Подставив в (11) выражения (10) и (7), получим:

Для того чтобы найти оригинал этой функции, воспользуемся таблицами для преобразований Лапласа:

Рисунок 3.3 Графики входного и Рисунок 3.4 График выходного

выходного сигналов сигнала

5. Анализ цепи частотным методом при апериодическом воздействии

5.1 Определение амплитудно-фазовой (АФХ), амплитудно-частотной (АЧХ)и фазо-частотной (ФЧХ) характеристик функции передачи

Амплитудно-частотная характеристика – это зависимость от частоты модуля входной, выходной или передаточной функции цепи, выраженных в комплексной форме (ГОСТ 19880-74). Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) является одной из самых важных характеристик любой цепи и позволяет исследовать искажения вносимые цепью в спектр входного сигнала. Наличие частотно - зависимых элементов (L и C) в исследуемой цепи приводит к неравномерному изменению составляющих спектра входного сигнала. Наиболее простой способ получения АЧХ цепи - это замена в выражении для операторной переменной p на мнимую частоту jw и нахождение модуля полученной комплексной функции частоты:

Рисунок 4.1 АЧХ функции передачи по напряжению

Характеристика имеет вид, качественно сходный с подобной характеристикой параллельного колебательного контура. По построенной характеристике может быть определена полоса пропускания. Полоса пропускания – полоса частот, в пределах которой затухание остаётся ниже определённого значения (СТ МЭК 50(151)-78). Т. е. коэффициент передачи для этой полосы не более чем в отличается от его максимального значения. Для рассматриваемой цепи максимальное значение передаточной функции достигается на нулевой частоте (для постоянного напряжения) и составляет . Границе полосы пропускания соответствует значение передаточной функции . Это значение достигается на частоте . Таким образом, полоса пропускания равна: .

Ф азо-частотная характеристика – зависимость от частоты аргумента входной, выходной или передаточной функций цепи, выраженных в комплексной форме (ГОСТ 19880-74). Таким образом, для данной цепи ФЧХ будет иметь вид:

. Построенная по данному выражению ФЧХ имеет вид, представленный на рис. 4.2.

Рисунок 4.2 ФЧХ функции передачи по напряжении

Амплитуднофазочастотная характеристика цепи (годограф) связывает воедино изменение коэффициента передачи (в нашем случае, по напряжению - ) и фазового сдвига между выходным и входным напряжением во всем диапазоне частот. Годограф включает сведения, которые содержатся как в АЧХ, так и в ФЧХ.

Рисунок 4.3 Годограф анализируемой цепи

Годограф является параметрической кривой, параметром которой является частота w. Длина вектора, проведенного из начала координат к какой-либо точке годографа, соответствует абсолютному значению передаточной функции на этой частоте , а угол между ним и положительным направлением вещественной оси - аргументу передаточной функции . Нулевой частоте (постоянному напряжению) соответствует точка с координатой 0.1428 на вещественной оси, очень большой (в пределе бесконечной) частоте соответствует точка с координатой 0.09524 на вещественной оси. На этих граничных частотах влияние реактивных элементов на фазовый сдвиг отсутствует.

5.2 Определение амплитудного и фазового спектра входного сигнала

Для нахождения спектральной характеристики входного сигнала можно воспользоваться непосредственно прямым преобразованием Фурье. Второй путь решения этой задачи основан на аналогии между преобразованиями Лапласа и Фурье и состоит в замене в операторном изображении входного сигнала (10) операторной переменной p на мнимую частоту jw. В итоге после простых преобразований получим:

Амплитудный спектр входного сигнала может быть найден как модуль спектральной характеристики сигнала:

Рисунок 4.4 АЧХ входного сигнала

Максимальное значение спектральной характеристики достигается при и составляет . Определенная по уровню ширина спектра сигнала составляет . Между шириной спектра сигнала и его длительностью существует следующее соотношение: . Для данного вида сигнала получаем: . Эта константа называется базой сигнала. Уменьшение длительности импульса в 100 раз приводит к такому же (в 100 раз) увеличению ширины его спектра. Наличие широкого спектра у коротких импульсов дает возможность использования таких импульсов для исследования частотных свойств различных цепей. В математическом смысле спектр несинусоидального сигнала неограничен.

Фазовый спектр входного сигнала определяется как аргумент от входной спектральной характеристики: .

Рисунок 4.5 Фазовый спектр входного сигнала

5.3 Определение амплитудного и фазового спектра выходного сигнала

Амплитудно-частотная характеристика выходного сигнала может быть получена перемножением амплитудно-частотных характеристик входного сигнала и цепи : .

График АЧХ выходного сигнала приведён на рис. 4.6.

Рисунок 4.6 Амплитудно-частотная характеристика

входного сигнала

Сравнение АЧХ с соответствующей характеристикой позволяет предположить значительное искажение формы выходного сигнала. Искажения связаны с различием величины передаточной функции для различных составляющих спектра входного сигнала. Для резистивной цепи выходной сигнал был бы подобен входному и имел бы ту же длительность. В данном случае цепи содержащей частотнозависимые элементы значительные изменения будут иметь место и для фазового спектра входного сигнала. Это приведет к нарушению фазовых соотношений между составляющими сигнала и станет другой причиной искажения формы выходного сигнала. Искажение на рис. 4.6 и рис. 4.7 ярко выражено на частоте , т. е. той же частоте, что имела место в АЧХ функции передачи по напряжению(рис. 4.1), определяющей характеристику данной цепи как параллельного колебательного контура. Анализ преобразования импульсного сигнала основывается на представлении о том, что искажение фронта выходного импульса по сравнению с формой входного импульса зависит от свойств цепи на высоких частотах (теоретически на бесконечно высоких частотах). Искажение формы вершины импульса определяется свойствами цепи на низких частотах. Используя подобный подход, например, для анализа искажений фронта входного импульса «закорачивают» конденсаторы, находящиеся на пути следования сигнала в нагрузку и заменяют разрывом индуктивные элементы, включенные параллельно резистивным элементам схемы.

Фазовый спектр выходного сигнала может быть получен суммированием аргумента спектральной характеристики и ФЧХ цепи:

Рисунок 4.7 Фазовый спектр выходного сигнала

5.4 Определение выходного сигнала по вещественной характеристике при помощи приближенного метода Гиллемина

Метод Гиллемина является одним из методов позволяющих восстановить функцию времени (какой - либо сигнал) по известной вещественной (или мнимой) частотной характеристике. Метод основан на такой аппроксимации, когда аппроксимирующая частотную характеристику функция либо ее производные состоят из последовательности бесконечно коротких импульсов. Последовательность бесконечно коротких импульсов представляет собой заданную функцию в так называемой квантованной форме. Погрешность метода преимущественно связана со ступенчатым характером аппроксимирующей функции. Уменьшение этой погрешности требует увеличения общего числа членов в аппроксимации. Исходная частотная характеристика аппроксимируется кусочнолинейным образом, после чего два последовательных дифференцирования позволяют свести аппроксимирующую функцию к последовательности бесконечно коротких импульсов. Окончательное выражение для искомой функции времени f(t) полученной по вещественной частотной характеристике имеет вид:

(12)

З десь a_k - величины бесконечно коротких импульсов, w_k - координаты импульсов на частотной оси. Вещественная частотная характеристика

может быть определена из соотношений: ; ; , где - фазо-частотная характеристика цепи, - фазо-частотная характеристика входного сигнала.