Раздел 7.

ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

Широко разработанная теория движения идеальной жидкости обычно дает вполне удовлетворительную картину действительных течений, за исключением областей, расположенных в непосредственной близости от поверхности обтекаемого тела. В этих областях существенное значение приобретают силы внутреннего трения, или силы вязкости, которые являются определяющими в возникновении сопротивления тел при движении в жидкости. Пренебрежение этими силами приводит к тому, что сопротивление тела, равномерно движущегося в жидкости, оказывается равным нулю, что противоречит опыту.

Современные представления о механизме сопротивления тел, обтекаемых потоком газа, и методы расчета этих сопротивлений основываются на теории пограничного слоя. Как показывает опыт, влияние вязкости жидкости или газа сосредотачивается в области потока, непосредственно прилегающего к поверхности тела. Эта область имеет малую по сравнению с длиной тела протяженность в направлении нормали к поверхности тела и называется пограничным слоем. Вне пограничного слоя поток имеет очень малую завихренность и на этом основании рассматривается как квазипотенциальный. В пограничном слое скорости меняются от нуля на поверхности тела (гипотеза прилипания) до скорости внешнего потока. Так как толщина слоя невелика, то градиенты скоростей в этой области достигают больших значений и, следовательно, поток обладает значительной завихренностью.

Теория пограничного слоя (погранслоя) приобретает огромное значение, так как:

а) применяется для вычисления сопротивления, возникающего при обтекании тела вследствие трения жидкости о поверхность тела. Сюда относится задача вычисления сопротивления трению корабля, профиля крыла, фюзеляжа самолета или лопатки турбины;

б) указывает путь к вычислению сопротивления давления обтекаемого тела. Это сопротивление связано с возникновением возвратного течения в непосредственной близости от стенки, зарождением вихрей в кормовой части тела и перераспределением давлений по контуру обтекаемого тела. Перечисленные эффекты объясняются только в случае учета вязкости жидкости;

в) дает описание формы профиля крыла, когда вероятность отрыва потока от тела сведена к минимуму, и помогает объяснить существование предела в подъемной силе крыла;

г) помогает объяснить особенности течения в межлопаточных каналах гидро‑ и газомашин.

В теории погранслоя рассматриваются методы решения уравнений гидродинамики вязкой среды в приближении гипотезы прилипания у стенок
(w_n = 0, w_ = 0)   и безотрывного обтекания на границе погранслоя и ядра течения   (w_сл =w_я).   Точное решение таких задач является сложным, поэтому принимают различные приближения. Один из них – метод Прандтля.

Р
ассмотрим двумерный установившийся поток   (w_z = 0;    / z = 0;  / t = 0)   вязкой несжимаемой жидкости вдоль плоской границы твердого тела. При этом уравнение движения (в отсутствие массовых сил) будет выглядеть следующим образом:

О

Рис. 48. Изменение скорости в погранслое

становимся подробнее на системе (7.1). Пусть размером для характеристик вдоль оси   x,   т. е. их масштабом, будет размер   l₀ ,   а вдоль оси   y   — толщина слоя      (рис. 48). Характерной скоростью   w_x   вдоль оси x   считаем скорость набегающего потока  w₀  . Из уравнения неразрывности следует, что производные   w_x / x   и   w_y / y являются величинами одного порядка. Это позволяет установить масштаб поперечной скорости   w_y:

Проведем оценку порядков величин членов двух первых уравнений системы (7.1), считая масштаб давления   P   равным масштабу скоростного напора   w₀ ².   Тогда:

и

Р
ассматривая 1‑ю строку, замечаем, что ее последний член намного больше предпоследнего, так как    << l₀.   В то же время этот последний член должен быть одного порядка со всеми остальными членами 1‑й строки. Следовательно, получим для толщины погранслоя выражение

Н
апример из опыта, уточненная толщина погранслоя для плоской пластинки при ламинарном режиме течения составляет

Поясним эти качественные соображения примером. Оценим толщину погранслоя на конце пластинки (длиной   l = 1 м), обтекаемой воздухом при T = 300 К   со скоростью   w₀ = 15 м/с.   Плотность воздуха при этих условиях и атмосферном давлении составляет    = 1,18 кг/м³,   а коэффициент динамической вязкости    = 1,82 · 10^–5 Н·с·м^–2. Тогда

а

относительная толщина погранслоя будет

А
нализируя 2‑ю строку с учетом выведенного соотношения (7.2) для   , получим, что ее последний член намного больше предпоследнего и имеет тот же порядок, что и все остальные члены, кроме первого правой части 2‑й строки, т. е.

Таким образом, изменение давления по нормали к контуру тела в пределах погранслоя представляет собой малую величину, порядка    / l₀.
В большинстве практических случаев можно этой величиной пренебречь
и считать, что

И
з уравнения (7.3) видно, что давление в поперечном сечении погранслоя при больших числах Рейнольдса – постоянно, т. е. давление внешнего потока передается через погранслой к поверхности тела без изменений. Это свойство погранслоя позволяет определить давление на поверхности тела, зная давление в потенциальном потоке над погранслоем.

Итак, для погранслоя мы получили так называемую систему уравнений Прандтля:

Уравнение (7.3) позволило объяснить весьма важное явление –
отрыв погранслоя. Рассмотрим обтекание некоторой криволинейной поверхности   АВ   (например, крыла), предполагая, что давление внешнего потока   Р(х)   вначале уменьшается, достигая минимума в точке   М,   а затем увеличивается (см. рис. 49). Участок внешнего потока, в котором   P / x < 0, называют конфузорным. Участок с   P / x > 0   называют диффузорным. На конфузорном участке внешний поток ускоряется, а на диффузорном – тормозится. Учитывая, что в погранслое   P / y = 0,   заключаем, что аналогичное распределение давлений имеет место и вдоль поверхности   АВ
н

Рис. 49. Отрыв погранслоя

а любом расстоянии   y <    в погранслое.

В пределах погранслоя скорость перед точкой   М
(рис. 49) увеличивается, а за
нею – уменьшается. Частицы жидкости вблизи стенки обладают малой кинетической энергией, причем в диффузорной области вдоль поверхности   АВ   запас кинетической энергии уменьшается. В хвостовой части профиля
запас кинетической энергии
может оказаться недостаточным
для преодоления положительного градиента давления. В результате в некотором сечении   S частицы у стенки не могут преодолеть тормозящего влияния потока и останавливаются. В точке   x

З

а точкой   S,   под воздействием перепада давлений, начинается возвратное движение частиц у стенки. Встречаясь с основным потоком, возвратно движущиеся частицы оттесняются от стенки, что и приводит к отрыву погранслоя. За точкой отрыва   x   эпюра скоростей имеет петлеобразную форму, причем у стенки

Из изложенного видно, что отрыв погранслоя при обтекании плавной стенки может произойти только в диффузорной области. Отрыв погранслоя приводит к образованию вихревого следа за плохо обтекаемым телом. Рассмотренная картина применима к обтеканию выпуклых поверхностей или к течению в диффузоре с положительным градиентом давления.

Отрыв погранслоя оказывает решающее влияние на аэродинамические характеристики летательных аппаратов. Из-за вихрей скорость частиц будет больше в кормовой части обтекания тела, чем при безотрывном обтекании, а давление – меньше. Поэтому появляется дополнительное сопротивление, обусловленное перераспределением давления, называемое сопротивлением давления. Увеличение сопротивления можно объяснить тем, что на образование вихрей и отрыв потока затрачивается дополнительная часть кинетической энергии потока, обтекающего тело.

Условные толщины и интегральное уравнение для погранслоя. Вообще говоря, понятие толщины погранслоя не имеет точного количественного смысла. Значение физической толщины      зависит от того, где выбрана точка, условно показывающая границу слоя. За      можно принять расстояние от стенки, на котором   w   составляет  99%  от   w_.   Поэтому в теории погранслоя вводятся иные, интегральные толщины – 1) толщина вытеснения   *,
2) толщина потери импульса   **,   3) толщина потери энергии ***,   – определяемые из следующих соотношений. Пусть задано распределение

с

Рис. 50. Эпюра распределения
плотности тока в погранслое

коростей   w(y)   и плотностей тока   w (y)
в пограничном слое (рис. 50). Через элемент сечения слоя высотой   dy   и шириной, составляющей единицу, протекает секундная масса, равная   w dy.   При отсутствии вязкости через это сечение протекала бы секундная масса ₀w₀ dy.   Разность этих количеств составляет:

В
торой интеграл очень мал, так как

П
оэтому интегрирование достаточно проводить только в пределах физических толщин   .   Разделив найденное изменение массы на   ₀ w₀,   получим

Толщина вытеснения   *  показывает смещение линии тока в направлении внешней нормали к контуру обтекаемого тела. Вместе с тем   *  характеризует уменьшение расхода жидкости через сечение слоя, перпендикулярного к стенке, что обусловлено вытеснением жидкости погранслоем. Поэтому   *   называется толщиной вытеснения. (Для пластины   * ≈ ¹/₃ .)