М
асса жидкости    w dy   теряет в погранслое кинетическую энергию, составляющую   w (w₀²–w²) dy.   Для всего слоя такой потерей будут

представляя собой толщину движущейся вне слоя жидкости, обладающей кинетической энергией, потерянной в погранслое.

Решение задачи о сопротивлении тела в потоке вязкой жидкости при безотрывном обтекании сводится к установлению распределения сил трения вдоль обтекаемой поверхности тела и, следовательно, к расчету толщины потери импульса   **(х).   Широко распространенный приближенный метод расчета основывается на уравнении количества движения для погранслоя, которое получается из уравнения движения посредством интегрирования по толщине погранслоя. Уравнение импульсов часто называют интегральным соотношением Кармана.

Рис. 51. Динамика погранслоя

Рассмотрим обтекание плоской стенки, расположенной вдоль оси   х.
Пусть линия   ab   (рис. 51) представляет изменение толщины вытеснения   *(х) на выделенном участке стенки   dx.   Из определения   *  следует, что всю массу жидкости, протекающей в погранслое, можно условно заменить массой  (скорость ее   w = 0),  расположенной между линией ab   и стенкой   cd,   и массой, протекающей выше   ab   со скоростью   w₀.   Можно полагать, что силы трения со стороны стенки действуют только на вытесненную массу. К ней также приложена сила разности давлений при градиентном течении. Потеря количества движения на участке   dx   составит:

где   ₀ dx   и   dP *   – секундные импульсы сил трения и сил давления, действующих на вытесненную массу.

И
з (7.8) получим формулу

Поскольку на внешней границе течение потенциальное, то   dP / dx   легко выразить с помощью уравнения Бернулли:

П
одставив эту формулу Бернулли в (7.9), получим

На основании уравнения (7.6) количество движения можно записать следующим образом:

Д
ифференцируя это уравнение по   x,   получим

П
риравняем (7.11) и (7.10):

П
роведя замену   d₀ / dx :

–
и разделив (7.11) на   ₀ w₀²,   получим уравнение Кáрмана:

где   Н    – геометрический параметр   (Н = * / **);   М   – число Маха   (М₀ = w₀ / a₀);
₀   – касательные напряжения на стенке.

При возникновении отрывов уравнение импульсов (7.12) может служить
для определения положения точки отрыва, в которой

При безградиентном течении, т. е. при

и
з (7.12) получим

Уравнение (7.13) показывает, что если экспериментально установить зависимость   **(х),   то ее дифференцирование позволяет найти распределение напряжения трения вдоль обтекаемой поверхности.

Второй член левой части уравнения (7.12) отражает влияние трех важных факторов на изменение   **   вдоль поверхности: 1) градиентности течения; 2) распределения скоростей, т. е. режима течения в погранслое (_   и   Н); 3) сжимаемости   (М₀²).   В диффузорном течении   (w₀ < 0)   нарастание   ^ происходит значительно интенсивнее, чем в конфузорном   (w₀ > 0).

Толщины для простого линейного распределения скоростей:   ^  ½ ;
^ = ¹/₆ ;   ^  ¼ .

Управление погранслоем. Нами рассмотрен пример расчета стандартного ламинарного погранслоя. При определенных условиях ламинарный погранслой (ЛПС) теряет устойчивость и переходит в турбулентный погранслой (ТПС), который на обтекаемой поверхности называется смешанным погранслоем. Ориентировочно границу потери устойчивости ламинарного режима можно установить по критическому числу Рейнольдса. Обычно

9
 · 10⁴ < Re_x кр < 10⁶.

При ламинарном режиме коэффициент сопротивления трения составляет

При турбулентном режиме коэффициент сопротивления трения будет

В самом общем случае полное лобовое сопротивление трения в плоском потоке является суммой сопротивления давления и сопротивления трения.
С точки зрения обтекания потоком все тела делятся на две группы: 1) неудобообтекаемые; 2) удобообтекаемые.

Сопротивление при обтекании неудобообтекаемых тел (так называются тела, обтекание которых сопровождается интенсивным отрывом потока) обусловлено в основном сопротивлением давления.

Сопротивление при обтекании удобообтекаемых тел вызвано, как правило, сопротивлением трения.

В теории управления погранслоем решаются две задачи: 1‑я состоит в предотвращении или затягивании отрыва погранслоя; 2‑я – в предотвращении или затягивании перехода ЛПС в ТПС. Проследим, как это осуществляется относительно неудобо‑ и удобообтекаемых тел (см. пп. А – Г).

А. Неудобообтекаемыми телами являются: шар; цилиндр; пластина, перпендикулярная потоку. При обтекании, например, шара погранслой отрывается от его поверхности и сворачивается в виде вихрей. Вихреобразование уменьшает давление на задней части поверхности, и сопротивление давления увеличивается. Очевидно, надо делать так: чтобы погранслой не отрывался, его надо турбулезировать. При турбулезации погранслоя резко уменьшается лобовое сопротивление обтекания неудобообтекаемого тела. Это явление – уменьшение лобового сопротивления – называется кризисом сопротивления неудобообтекаемого тела. Примером может служить шар без кольца и с кольцом: во втором случае сопротивление уменьшалось в 3 раза. Причина перемещения точки отрыва при турбулезации заключается в следующем. При переходе ламинарного течения в турбулентное градиент скорости у поверхности тела   (w_x / y)_y=0   резко увеличивается. Точка отрыва слоя, как мы видели выше, характеризуется тем, что в ней (w_x / y)_y=0 = 0.   Имея начальное значение градиента бόльшим при турбулентном движении, нежели при ламинарном, струйка тока должна пройти вдоль контура тела при турбулентном движении большее расстояние до точки отрыва, чем при ламинарном течении. Поэтому, как только ламинарный профиль скорости сменяется турбулентным, точка отрыва слоя скачком сдвигается вниз по потоку и сопротивление давления падает. Способом турбулезации слоя является расположение: 1) перед шаром решетки, состоящей из планок; 2) на передней стороне шара планок (турбулезаторов).

Итак, отметим наличие парадокса: при переходе ЛПС в ТПС неудобообтекаемые тела становятся удобообтекаемыми, сопротивление давления резко уменьшается.

Б. Сдвиг точки отрыва вниз по потоку, осуществляемый с применением турбулезаторов, помогает решить и 2‑ю задачу – переход ламинарного течения в турбулентное.

В. Иная картина наблюдается для удобообтекаемых тел (крылья самолета, фюзеляж и т. д.). Для них главное – сила сопротивления трения. Остановимся на 2‑й задаче. Переход от турбулентного течения к ламинарному приводит к резкому, в 5–10 раз, снижению сопротивления трения и уменьшению аэродинамического нагрева поверхности. Поэтому решение этой задачи сводится к затягиванию или к предотвращению перехода ЛПС в ТПС на возможно большие расстояния от передней точки обтекаемого тела. На крыле положение точки перехода ЛПС в ТПС в широком диапазоне чисел Рейнольдса можно считать фиксированным: эта точка расположена вблизи точки минимума давления (непосредственно за ней).

Р

Рис. 52. Профили крыла самолета:

1 – классический; 2 – ламинаризированный

ассмотрим, например, крыло самолета (рис. 52). Вблизи передней критической точки всегда имеется ламинарное течение в слое, далее за ним находится турбулентный участок. На положение точки перехода существенно влияет продольный градиент давления: он вызывает дополнительное ускорение частиц в погранслое, положителен по знаку в носовой части тела  (до сечения, в котором dP / dx = 0)  и отрицателен – в хвостовой. Если частицы движутся с положительным ускорением, то ламинарное движение можно затянуть до весьма больших чисел Рейнольдса. Существуют следующие три способа ламинаризации.

1‑й способ ламинаризации – оттягивание назад по потоку точки минимума давления. При этом смещается
в том же направлении и точка перехода ЛПС в ТПС. Местоположение минимума давления зависит от формы тела. Перемещая назад миделевое (от голл. middel, букв. – средний) сечение тела, мы сдвигаем назад и точку   (dP / dx)_min.   Данным способом ламинаризации пользуются при конструировании профилей крыльев и обводов фюзеляжа. Чем дальше от передней критической точки удается затянуть переход ЛПС в ТПС, тем бóльшая часть поверхности тела будет покрыта ЛПС и тем меньше будет лобовое сопротивление тела. Профили крыльев и обводы тел вращения с оттянутой назад точкой перехода носят название «ламинаризированные».

2‑й способ ламинаризации – отсасывание воздуха с поверхности тела в таком количестве, чтобы число Рейнольдса для погранслоя везде было меньше критического. Отсос осуществляют через щели на поверхности или через поверхность, имеющую поры.

3‑й способ ламинаризации – аэрация погранслоя. В этом случае управляют погранслоем, изменяя коэффициент динамической вязкости при введении в погранслой некоторого количества жидкости или газа.

Г. Как же влияет отрыв погранслоя на сопротивление трения удобообтекаемого тела? Отрыв погранслоя в этом случае приводит к резкому возрастанию лобового сопротивления. Поэтому проблема затягивания отрыва погранслоя имеет большое значение для улучшения взлетно‑посадочных свойств самолета.

Методы воздействия на положение точки отрыва. Для управления положением точек отрыва погранслоя на обтекаемой поверхности применяют три метода. Рассмотрим их.

1. Так как между оторванным погранслоем и поверхностью тела образуется область давления, повышенного по сравнению с безотрывным обтеканием, то необходимо понизить давление в этой области, с тем чтобы восстановить безотрывность обтекания. Для этого надо отсосать некоторое количество жидкости, и оторванный погранслой вновь прилипнет к поверхности тела (

Рис. 53. Отсасывание

погранслоя

рис. 53). В полости крыла поддерживается давление меньше наружного, и погранслой отсасывается сквозь эту прорезь. Для тонких крыльев отсос осуществляется у носка, так как отрыв погранслоя начинается там.