Плоское,с.53-55 (Лекции (много вордовский файлов))

Комплексный потенциал

Потенциал скорости      и функция тока      течения несжимаемой жидкости удовлетворяют уравнению Лапласа. Действительно, подставляя значения проекций скорости из (4.2) в уравнение неразрывности, получим

а
подставляя значения тех же проекций скорости из (4.3) в (4.1), будем иметь

Решение этих уравнений для практических задач можно получить только при заданных граничных условиях потока. Выделим три типа таких условий:

1) на всех границах плоского потока заданы значения самих искомых функций (задача Дирихле). В задаче обтекания непроницаемо твердого тела такое условие имеем для функции тока      На линии тока, совпадающей с контуром тела,     0,   а на внешней границе потока, т. е. при   x =  
(где   w_x = w_ ),      = w_y;

2) на всех границах потока заданы производные от искомых функций (задача Неймана). В той же задаче обтекания такие граничные условия имеем для функции потенциала скорости, причем на внешних границах потока при
x =  ,     y = 0   ,   где   w_x = w_ ,       x = w_ ,       y = 0,   а на контуре обтекаемого тела (из‑за непроницаемости)   w_n =   n = 0   (w_n – нормальная к контуру проекция скорости);

3) на одной части границ потока заданы производные от искомых функций, а на другой – сами искомые функции (задача Дирихле–Неймана).

И
так, потенциальный плоский поток мы можем охарактеризовать двумя функциями – потенциалом      и функцией тока      – которые, в соответствии с (4.2) и (4.3), связаны между собой следующими соотношениями:

Э
ти равенства аналогичны известным условиям Коши–Римана, в соответствии с которыми функции      и      образуют аналитическую функцию комплексной переменной   (z = x + iy):

Функция (4.5), действительная часть которой есть потенциал скорости, а мнимая часть – функция тока, называется комплексным потенциалом. Производная от этой функции не зависит от направления, по которому она вычисляется, и называется сопряженной комплексной скоростью, т. е.

и

г
де модуль сопряженной комплексной скорости определяет величину самой скорости:

Условимся при изложении материала о плоском течении обозначать
через w   сопряженную комплексную скорость, а через   w = w_x + iw_y
– комплексную скорость. Очевидно, что вектор комплексной скорости является зеркальным отображением вектора сопряженной векторной скорости.

Если вместо функции   z   рассмотреть функцию   i(z),   то в новом движении потенциал скорости поменяется местами с функцией тока, а изопотенциальные линии – с линиями тока. Отсюда следует, что функция тока всегда играет сопряженную роль с функцией потенциала скорости.

Для дальнейшего полезно рассмотреть еще и контурный интеграл от сопряженной скорости w   по замкнутому контуру   с   в плоскости течения:
Вычисляя действительную и мнимую части этого интеграла, найдем, что действительная часть   (Д.ч.)   определяет циркуляцию скорости по замкнутому контуру, а мнимая   (М.ч.)   – секундный объемный расход жидкости через замкнутый контур:

Введение в анализ комплексного потенциала   (z)   значительно облегчает решение уравнения Лапласа, так как во многих случаях при использовании теории аналитических функций комплексной переменной оказывается проще найти комплексный потенциал   (z),   чем отдельно отыскать потенциал скорости      или функцию тока   .

Из всех методов решения уравнения Лапласа для плоских течений наиболее широкое распространение получили следующие два метода: 1) наложения потоков; 2) конформных отображений.

После того как найдено решение уравнения Лапласа, т. е. определены функции      или      по формулам (4.2) или (4.3), легко определяются и проекции скорости течения. Тогда гидродинамическое давление в потоке находят по уравнению Бернулли (2.29). Чтобы рассчитать силовое воздействие потока жидкости на твердое тело, необходимо просуммировать давления по его поверхности.

Метод наложения потоков

Поле скоростей в искомом течении во многих случаях можно получить путем сложения полей скоростей известных течений. Но так как скорости являются векторными величинами, лучше осуществлять сложение потенциалов их скоростей, которые являются скалярными величинами, т. е.

А
налогичным путем получаем для искомого течения значение

Такой метод определения функци      и      называют методом наложения потоков. При использовании этого метода подбирают потенциалы скоростей простейших течений.

Прямолинейное течение. Оно описывается линейной функцией   z  аz, (где   а   – в общем случае комплексная величина). Найдем сопряженную скорость

О

Рис. 28. Прямолинейное течение

тсюда видно, что   а   представляет собой одинаковую по величине и направлению сопряженную скорость. Одинаковой будет и комплексная скорость.

С
ледовательно, линейная функция определяет комплексный потенциал однородного потока со скоростью   w_,
наклоненной к действительной оси под углом      (рис. 28). А именно:

Отсюда:


  = 0   – поток, параллельный оси   0x.   Его комплексный потенциал

2)  =  / 2   – поток, параллельный оси   0y.   Его комплексный потенциал

Рис. 29. Источник

Источник (сток). Плоским источником называют точку на плоскости, из которой при равных условиях во всех направлениях вытекает жидкость (рис 29).
Пусть источник расположен в начале координат. Линии тока – прямые, выходящие из начала координат. Если скорость изменить на противоположную, то жидкость будет втекать в точку на плоскости. Такую точку называют плоским стоком. Проведем в этих потоках концентрические окружности. Единичный расход жидкости через названные окружности составляет Q_i = 2r w_ri.   В случае несжимаемой жидкости этот расход через все концентрические окружности одинаков, т. е.
Q_r = idem = Q.   Его называют мощностью источника (стока). Тогда:

с
одной стороны,

а
с другой –

55