Осн.урав.,с.23-27 (Лекции (много вордовский файлов))

Т
огда

И
так,

Формула (2.33) по своей структуре напоминает обычную формулу мощности силы   (N =F w).   Разница, однако, в том, что в случае дискретной силы мощность определяется как скалярное произведение векторов силы и скорости, а в сплошной среде плотность распределения мощности внутренних сил равна скалярному произведению тензоров напряжения и скоростей деформации. Знание о   N_in   очень важно для определения необратимой части потерь механической энергии, соответствующей мощности сил внутреннего трения в среде.

П
ри движениях сплошных сред происходят преобразования одних видов энергии в другие, и в первую очередь механической энергии в тепловую. Для расчета этих преобразований служит уравнение баланса (выводимое из общего термодинамического закона сохранения энергии), записываемое для изменения полной энергии в следующей интегральной форме:

где   q   – удельная энергия, подведенная в единицу времени к бесконечно малому объему и отнесенная к массе этого объема.

В
ыполнив преобразования, аналогичные проведенным ранее, получим уравнение баланса энергии в дифференциальной форме:

С
опоставляя уравнение баланса энергии (2.35) с ранее выведенным уравнением изменения кинетической энергии (2.31), можем, произведя почленные вычитания этих уравнений, получить следующий, более простой и очевидный по содержанию вид уравнения баланса энергии

не заключающего в явной форме ни внешних объемных сил, ни скоростей и выражающего связь между индивидуальным изменением во времени внутренней энергии среды, притоком тепла извне и мощностью внутренних сил.

При движении вязких жидкостей часть общей энергии за счет работы внутренних сил вязкого трения превращается в тепло. Чтобы убедиться в этом (т. е. в том, что здесь действительно имеют место необратимые процессы перехода механической энергии в тепловую), введем в рассмотрение удельную энтропию потока и, пользуясь ею, докажем, что в несжимаемой жидкости мощность внутренних сил   N_in   (2.33) соответствует этому переходу. Из п
ервого начала термодинамики следует, что

В
соответствии с (2.36),

Отсюда следует, что изменение внутренней энергии (или энтропии) в потоке жидкости происходит по двум причинам, а именно: 1) приток тепла   q   извне; 2) потеря мощности внутренних сил   (–N_in).   Не учитывая приток тепла, т. е. считая поток адиабатическим, докажем, что взятая с обратным знаком мощность внутренних сил   (–N_in)   существенно положительна и, следовательно, положительно и соответствующее ей приращение удельной энтропии. Этим самым будет доказано, что мощность   (–N_in)   необратимым образом переходит в тепло. Будем называть ее диссипированной мощностью (N_дис = –N_in).

Рассмотрим две модели вязкой жидкости:

1‑я м о д е л ь вязкой жидкости – несжимаемая жидкость   (divw = 0).
В соответствии с (2.33) и (2.25), при   divw = 0

где   Ф   – так называемая диссипативная функция   (Ф = 2Ś ²).

Р
аспишем   2Ś ²   в соответствии с уравнением (1.13):

Диссипативная функция как сумма квадратов является величиной существенно положительной, что соответствует росту энтропии и свидетельствует о необратимости перехода механической энергии в тепло. Из последнего уравнения следует, что единственным движением вязкой несжимаемой жидкости, не сопровождаемым диссипацией механической энергии, является квазитвердое ее движение, при котором   S = 0   и, следовательно,  Ф = 0;

2
‑я м о д е л ь вязкой жидкости – сжимаемая жидкость   (divw  0).
В этом случае

Сравнивая выражение (2.37) с соответствующим для несжимаемой жидкости, видим, что при наличии сжимаемости появляются два новых слагаемых,
а именно:   p divw  +  ²/₃ divw) ².   Первое из них обозначает работу давления, второе – силы внутреннего трения при сжатии газа. Диссипируемая мощность б
удет составлять

г
де

В
таком виде знак диссипативной функции не ясен. Преобразуем ее:

Из последнего выражения следует, что, кроме случая квазитвердого движения газа, когда   S = 0,   механическая энергия вязкого газа не будет диссипироваться в тепло   (Ф = 0)   и при изотропном радиальном расширении или сжатии газа, когда скорости сдвига равны нулю   (S_xy = 0, S_xя = 0, S_yя = 0),   а скорости относительных удлинений по любым направлениям в пространстве одинаковы (S_xx = S_yy = S_zz).

Заметим, что при учете второй вязкости   '   диссипируемая в тепло механическая энергия при радиальном расширении или сжатии газа уже не равна нулю.

В
ыяснив смысл диссипативной функции, вернемся к уравнению баланса энергии в дифференциальной форме (2.36). Преобразуем его. С этой целью введем еще одну тепловую функцию – энтальпию и воспользуемся известным соотношением

П
риток тепла   (q)   в общем случае обусловлен теплопроводностью, излучением и другими физическими (например, конденсация, парообразование) и химическими (например, горение) причинами. Ограничимся рассмотрением притока тепла только через теплопроводность, т. е., в соответствии с законом Фурье, положим, что

где     – коэффициент теплопроводности.

П
одставив эти уравнения в (2.36), получим

т
ак как

Е
сли теперь в уравнение баланса энергии (2.39) подставить выражение   N_in из (2.37), получим окончательную формулу баланса энергии:

г
де

– символ оператора Лапласа.

Уравнение баланса энергии
при адиабатическом движении
идеального и совершенного газа

В
нутреннее трение (вязкость) в газе и теплопроводность представляют собой две стороны одного и того же процесса молекулярного переноса. Трение обусловлено переносом количества движения, а теплопроводность – кинетической энергией молекул. Приняв схему идеального газа, как газа, лишенного внутреннего трения, естественно отвлечься и от теплопроводности. Примем также, что движущийся газ изолирован от притока тепла извне. Такое движение называется адиабатическим. Тогда уравнение баланса энергии (2.35) в случае адиабатического движения   (q =  0)   идеального газа   (P =  –p)   при отсутствии объемных сил   (f = 0)   будет иметь вид

В
ведя энтальпию   h = c_vT + p / ,   получим

т
. е.

Д
ля стационарного потока   (p / t = 0)   получим

Равенство (2.42) выражает известную теорему Бернулли, согласно которой в адиабатическом стационарном потоке идеального газа при отсутствии объемных сил сумма теплосодержания и кинетической энергии, т. е. полная энтальпия газа, сохраняет постоянное значение вдоль траектории или линии тока частицы. Отсюда следует, что температура, давление и плотность с увеличением скорости вдоль линии тока уменьшаются в энергетически изолированном потоке идеального газа.

Н
айдем константу в (2.42) из условия адиабатически заторможенного газа (w = 0;   h = h₀;   T = T₀).   Получим

Температура   T₀   – самая высокая температура на линии тока   (w = 0),   которая называется температурой торможения;   h₀   – полное теплосодержание, т. е. энтальпия торможения

И
так, температура газа получается равной температуре торможения, когда скорость течения уменьшается до нуля. Из (2.43) можно получить

Например, в воздушном потоке нормальной температуры   (T = 300 К)   при скорости  (w),  равной 100, 350, 1000 м / с, температура торможения   (T₀) составляет примерно  305,  360,  800 К (для воздуха   C_p = 1005 Дж / (кг · К)).

Уравнение теплосодержания объясняет некоторые интересные факты. Так, например, неподвижный термометр не может измерить температуру в потоке газа, так как у стенок образуется пограничный слой, в котором скорость газа равна нулю, и, следовательно, мы можем замерить только температуру торможения. По тем же причинам поверхность тел, движущихся с большой скоростью, бывает сильно разогрета. При большой скорости полета самолета делается невозможным обледенение его поверхности. Например, при   w =
= 900 км / ч (250 м / с)   прирост температуры торможения составит 31 К. Поэтому при морозе 30 ˚C обледенения не происходит.

Р
ассматривая истечение газа при отсутствии энергетического обмена, нетрудно убедиться, что скорость данного истечения не может быть выше некоторой максимальной величины. Из (2.43) следует, что эта скорость достигается тогда, когда теплосодержание   (h)   в потоке равно нулю, т. е. когда полное теплосодержание газа целиком преобразуется в кинетическую энергию:

Е
сли к выведенной системе уравнений (уравнения неразрывности, движения, энергии) присоединить уравнение Клайперона

то в результате будем иметь систему четырех уравнений, устанавливающих связь между четырьмя параметрами:   P, w, T, .   Для определения перечисленных величин нужно интегрировать эти дифференциальные уравнения. Задача является неопределенной и, как правило, имеет бесконечное множество решений. Для отыскания единственного решения необходимо знать дополнительные условия, т. е. граничные и начальные. Эти условия обычно указываются в каждом отдельном случае. Отметим одну характерную особенность движения жидкостей и газов с внутренним трением. При обтекании неподвижного твердого тела в число граничных условий этой задачи входит равенство нулю скорости жидкости на неподвижной твердой границе. В разреженных газах, однако, условие прилипания газа к твердой стенке не имеет места. В этом случае наблюдается скольжение газа по стенке.

Граничные условия для температуры могут быть разнообразны. Обычно задают в одних случаях такие величины, как распределение температуры по поверхности обтекаемых тел и температура жидкости на бесконечности   (T_);   в других случаях  –  распределение теплоотдачи по поверхности, что, согласно закону Фурье   [q =  (T / n)],   эквивалентно производной от температуры по нормали к обтекаемой поверхности. В число граничных условий входит и

27