Осн.ур.,с.13-16 (Лекции (много вордовский файлов))
Описание файла
Файл "Осн.ур.,с.13-16" внутри архива находится в папке "Лекции (много вордовский файлов)". Документ из архива "Лекции (много вордовский файлов)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "механика жидкости и газа (мжг или гидравлика)" из , которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "механика жидкости и газа (мжг или гидравлика)" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Осн.ур.,с.13-16"
Текст из документа "Осн.ур.,с.13-16"
Раздел 2. | ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ |
Уравнение неразрывности
Ф
ундаментальным законом ньютоновской механики является закон сохранения массы m любого индивидуального объема. Это опытно установленный закон природы. Используя понятие индивидуальной производной, можно записать:
В
эйлеровых переменных уравнение неразрывности можно получить, продифференцировав правую часть уравнения (2.1) и используя представление о дивергенции скоростного поля как о скорости относительного изменения объема [см. (1.14)]:
Э
то позволит найти уравнение непрерывности в переменных Эйлера:
К
такому же выводу можно прийти, записав закон сохранения массы для конечного объема V в виде
О
существив дифференцирование, получим, как и в предыдущем случае:
Отсюда, в силу произвольности объема интегрирования, вновь получим уравнение (2.2).
В механике сплошной среды различают уравнения двух видов: 1) интегральное, выражающее связи между величинами в некоторых конечных объемах и на ограничивающих их поверхностях; 2) дифференциальное, связывающее значение величин и их производных в одной точке. Примером интегрального уравнения служит (2.3), а дифференциального – (2.2).
Переход от интегрального уравнения к дифференциальному осуществляется с помощью одного из следующих двух приемов: 1) деление обеих частей уравнения на величину объема с последующим «стягиванием» объема к выбранной точке пространства; 2) сведение всех интегралов к одному, объемному, и приравнивание подынтегрального выражения нулю вследствие произвольности объема.
Что касается перехода от дифференциального уравнения к интегральному, то он осуществляется умножением на элемент объема и интегрированием по конечному объему.
Интегральное уравнение имеет преимущество (перед дифференциальным), если входящие в него величины претерпевают внутри среды разрывы непрерывности.
З
аменяя в уравнении (2.2) индивидуальную производную известным ее выражением через локальную и конвективную [см. (1.5)], получим
Частные случаи:
1
) движение установившееся ( t = 0). Тогда, исходя из (2.4):
2) жидкость несжимаема ( = const). Тогда, исходя из (2.4):
Следовательно, для несжимаемой жидкости скорость изменения элементарного объема равна нулю, т. е. при движении объема несжимаемой жидкости меняется лишь его форма, а не объем.
К
роме массы m есть и другие (скалярные, векторные или тензорные) величины, остающиеся во время движения постоянными в любом индивидуальном объеме среды. Например, число молекул или атомов в единице объема n (концентрация частиц), плотность заряда e и т. д. Обозначив плотность такой сохраняемой величины через f, можно записать уравнение
Установление тех характеристик, которые сохраняют свою величину в индивидуальном объеме, является одной из основных проблем физики.
Уравнение движения сплошной среды
Р
аспределение сил в сплошной среде. В динамике сплошных сред принято выделять два класса действующих на частицы среды сил: 1) объемные (массовые); 2) поверхностные. Силы, распределенные по объему V, называются объемными силами или массовыми. В отличие от динамики системы дискретных точек в динамике сплошных сред имеют дело не с самими силами, а с плотностью их распределения в пространстве. Под плотностью распределения объемных сил f понимают предел отношения главного вектора массовых сил ΔF, действующих на элемент массы Δm, к этой массе:
О
тсюда следует, что объемная сила δF, приложенная к элементарному объему δV, определяется как
Число различных видов массовых сил невелико. Это сила тяжести f = g
и, вообще, гравитационные силы, электромагнитные силы, силы инерции.
П
оверхностные силы аналогично будут задаваться плотностью их распределения по поверхности, или напряжением:
___
где P – главный вектор сил, приложенных с одной стороны к малой площадке S.
Основное различие между плотностью объемных сил f и поверхностных P состоит в том, что вектор f является однозначной векторной функцией точек пространства и времени, т. е. образует векторное поле, в то время как вектор P принимает в каждой точке пространства бесчисленное множество значений в зависимости от ориентации S и, таким образом, векторного поля не образует. Можно сказать, что напряжение представляет функцию двух векторов (вектор‑радиус r точки и орт нормали n к площадке в выбранной точке).
П
Рис. 4. Вектор напряжения
онятие вектора напряжения. Возьмем в точке M сплошной среды площадку S (рис. 4), ориентация которой в пространстве определяется ортом нормали n к площадке. Условимся различать лицевую и тыльную стороны площадки, причем примем за лицевую ту, которая обращена к концу вектора нормали. Отбросим мысленно часть жидкости с лицевой стороны и заменим ее действие поверхностной силой PnS, где индекс n означает, что сила приложена к площадке с ортом нормали n. Если, наоборот, отброcить часть жидкости с тыльной стороны, то эквивалентная действию этой отброшенной жидкости сила составила бы –PnS.
Д
Рис. 5. Тетраэдр напряжений
окажем, что вектор напряжения Pn можно представить как произведение орта нормали n площадки и некоторого тензора второго ранга P, который является функцией только вектор‑радиуса r. С этой целью рассмотрим вырезанный в среде элементарный тетраэдр MABC (рис. 5). Пусть площадь ABC равна Sn, а другие площадки, представляющие проекции ABC на координатные плоскости, равны Sx, Sy, Sz соответственно (причем индексы x, y, z при этих площадках означают ось, перпендикулярную площадке).
Представляя тетраэдр как жидкий, т. е. состоящий из частиц движущейся среды, запишем уравнение движения центра инерции этой системы частиц, масса которых m:
где wc – вектор ускорения; Pn, Px,Py, Pz – векторы напряжений, приложенные к положительным сторонам площадок Sx, Sy, Sz (при последних трех членах стоят знаки
«–», так как внешние стороны Sx, Sy, Sz при принятом направлении ij, k оказываются тыльными.)
.
В уравнении (2.7) члены wс m и f m – величины третьего порядка малости, и их можно отбросить. Тогда
и
ли (в проекциях на оси прямоугольных координат)
При написании учли правило: 1‑й индекс при напряжении P обозначает ось, перпендикулярно которой ориентирована площадка; 2‑й индекс – ось, на которую спроектировано это напряжение.
Проекции Pxx Pyy, Pzz векторов напряжения Px, Py, Pz на нормали к соответствующим площадкам называются нормальными напряжениями, а остальные – касательными напряжениями.
С
истема (2.9) показывает, что проекции на оси координат напряжения, приложенного к любой наклонной площадке, выражаются линейно через проекции напряжений, приложенных к трем взаимно перпендикулярным площадкам, т. е. через совокупность девяти величин. Этого достаточно для утверждения, что совокупность девяти напряжений образует тензор 2‑го ранга, называемый тензором напряжений:
Итак, в каждой точке жидкости или газа имеется бесчисленное множество векторов Pn, зависящих от выбора наклона площадки в этой точке, и один тензор P, характеризующий напряженность жидкости в данной точке. Компоненты тензора зависят от выбора направлений осей координат, но тензор в целом представляет собой физическую величину, выражающую определенное состояние жидкости или газа (их напряженность), и не зависит, конечно, от выбора координат.
Уравнение движения в напряжениях
Уравнение количества движения для одной материальной точки, являющееся прямым обобщением второго закона Ньютона, записывают в следующем виде:
16