Шпоры (2) (Вордовские шпоры)

уравнения динамической совместимости при переходе через прямой скачок. Ударная адиабата .

для определения кол-во соотношения при переходе через прямой скачок ур-я энергии, импульса, расхода - ур-я совместности.

Условия до скачка и после скачка: F=const

уравнение расхода

уравнение импульсов: F=const

уравнение энергии: Т*=const, а_кр=const, a*=const

соотношения скоростей до и после скачка из (2) (p2-p1) с учетом (1) :

отношение можно получить из ур-я энергии

(*)

из урй равномерн : (**)

подставив сис-му урй (*)в (**)получим:

следовательно

следовательно формула Прандтля , отсюда ур-е для плотности дает

Статистические характеристики турбулентности

При ламинарном течении обмен кол-ом дв-я между 2-мя слоями жидкости дв-мися с разной скоростью происходит на молекулярном уровне Соответственно коэф пропорциональности наз вязкостью , которая зависит от св-в жидкости 1) от Т,р При турбулентном движении обмен кол-ва энергии между слоями происходит за счет перемещения групп молекул . Соответственно вязкость наз - турбулентной вязкостью

Перемещ обмен кол-ва дв-я происходит перпендик осредненным скоростям с кот дв-ся каждый слой.

Переходная зона – степень неустанов жид оценив коэф перемежаемости - доля когда поток нах-ся в данной точке в турбулентном состоянии

Характеристики турбулентности:

1) степень турбулентности - характеризует состояние турбулентных пульсаций в точке

позиционная

коэффициент корреляции – хар-ет влияние турбулентности в точке пространства на другую

масштаб турбулентности – хар-ет влияние всей области на нашу конкретную точку чем <Re, тем >L

для описания турбулентных течений целесообразно осреднить эти уравнения и перейти к исследованию осредненных

Должны получить число подобия и безразмерную запись ускорения в др части уравнения.

число подобия равно 1 , в качестве масштаба взяли конвективное ускорение

критерий Фруда

Eu=Po/(ρoVo²)

a²=kp/ρ Eu=1/kM² число подобия Эйлера – отношение характери давления в удвоенному скоростному напору

с помощью числа Эйлера получаем хар-ку о сжимаемости (по числу Маха)

можно в безразмерном виде получить перепад давления на лопатки турбины

число Re – характер коэф.

Уравнение дв-я в критериальной форме:

*

получаем:

уравнение энергии :

переход к адиабате Пуансона:

при

адиабата Пуансона : Если в адиабате Пуансона бесконечно увеличивать отношения р, то в адиабате Гюгонио ув отношений р стремится к пределу k+1/k-1 p2/p1 →∞, ρ2/ρ1 → ( k+1)/(k-1)

Взаимодействие скачка уплотнения с пограничным слоем

до скачка

отображ все случаи разряжения скачка

пограничный слой безградиент , за скачком давление больше.

В пограничном слое скор дозвуковая - образ дырка через кот передается давление вперед

На стенке p=const поток отрывается – получается возвратное течение

При взаимодействии скачка с пограничным слоем внутри погран слоя давление направлено против потока . В ядре p2 и p1 устанавл за счет скачка . Внутри погран слоя p2 направлено против потока поэтому возникает возвратное течение или обрыв потока.

1- падающий скачок

2 – зона резкого падения (слабая центральная волна разряжается на кривой 2-4 – образуется волна сжатия с образованием скачка давоения)

3 – волна сжатия

4- горло скачка (за сечением влияние скачка отсутствует)

5 – присоединение

6 – разделяющая линия тока

7 – возвратное течение

8 – эпюра скоростей

9 – обтекание криволинейной поверхности

S- начало обрыва

в критериальной форме Ур-е дв-я состоит из произведения размерного числа подобия и безраз сомножителей . Если порядок вел-ны безраз сомножителя принять за 1 то размерный сомнож (число Прандтля )показывает относительный вклад каждого слагаемого в общее ускорение

Само число подобия показывает во сколько раз каждый фактор ур-я дв-я > или< конвективной составляющей

Безразмерная форма ур-я дв-я критер формы позволяет установить условия подобия жидкости

Условия подобия:

течения подобны если 1описываются одинаковыми безразмерными уравнениями)

равенство безразмерных сомножителей:

и

если равенство полей скоростей, то можно говорить о кинематическом подобии

2если числа подобия равны между собой , 3 соблюдено геометрическое подобие 4соблюдены нач и гран условия

Если соблюдены не все условия подобия , то говорят о частичном подобии .

область автомодельности:

процесс может перестать зависеть от числа подобия:

в той область в кот процесс перестает зависеть от числа подобия наз обл автомодельности

если число подобия явл определяющим процессом , те независимой переменной , то оно называется критерием подобия , если независимая переменная , то простым числом.

1 запись Ур-я дв-я в критериальной форме позволяет оценить вклад каждого слагаемого

2 вел-на вклада зависит от того что мы выбираем в качестве определ пар-ра

3 сравнивая числа подобия и оценивая их между собой можно оценить их вклад , можно упростить Ур-е если их вклад невелик

Уравнения динамической совместности на косом скачке . соотношение скоростей до и после скачка.

α – угол скачка, β – полуугол клина, α> β

уравнения совместности при переходе через косой скачок

уравнение расхода: ρ1V1n= ρ2V2n,

(p1h1+p2h2)+( ρ1h1+ ρ2h2)Vt1Vt1=( ρ1h1+ ρ2h2)Vt2Vt2

Vt1=Vt2=Vt (2)

p1+ ρ1V1n²=p2+ ρ2V2n² (3)

при частном торможении

для нормальной составляющей косой скачок – прямой

проведя преобразования получим

V1nV2n=a_кр²τ(λt,k)= a_кр²_чт λ1nλ2n= τ(λt,k)

λ1nλ2n=1 λ=V/ a_{кр чт}

Tn*=T+Vn²/2Cp=T*-Vt²/2Cp=T*-Vt²(k-1)/2kR

соотношения для давлений и плотностей , определенных для адиабаты Гюгонио остается без изменения.

Уравнение движения в критериальной форме . Критерии подобия. Полные и частные подобия .Автомодельность.

В уравнении движения в форме все члены имеют размерность ускорения. Приведем уравнение движения к безразмерному виду, отнеся его к характерному конвективному ускорению. Под характерным будем понимать характер, определяющий границы или особенности процесса. Например, в качестве геометрического линейного размера при обтекании аэродинамического профиля- это его хорда, для трубы- диаметр, для скорости- скорость потока на бесконечности и т. д. Выберем в качестве масштаба, не привязывая их к конкретной схеме течения, для скорости- , для линейного размера- , плотности - , тогда характерное время .Конвективное ускорение в выбранных масштабах:

Представим локальное ускорение

Где и числа подобии Струхаля и гомохронности соответственно

Здесь помимо характерного масштаба времениTo, характеризующего процесс течения в целом введено характерное локальное времяTx, характеризующее локальный нестационарный процесс. Например, To- время обтекания цилиндра с характерным линейным размером Lo=d и скоростью Vo=V∞, Tx- период схода вихревых шнуров за цилиндром в вихревой дорожке Кармана.

Число Струхаля Sh - отношение локальных сил инерции к конвективным, характеристика нестационарного процесса (как и число H₀).

Второе слагаемое- конвективное ускорение- по определению должно иметь число подобия, равное единице.

На самом деле:

, где ; ит.д.

; ит.д. Третье слагаемое:

. При получим число подобия Фруда , отношение силы тяжести к силе

инерции или ускорение свободного падения к силе инерции массы выделенного объема.

Четвертое слагаемое:

Число подобия Эйлера т.к. то определяют границу проявления сжимаемости. Если под P₀ понимать потери полного давления, то число подобия Эйлера характеризует коэффициент потерь .Пятое и шестое слагаемое:

Re- соотношение сил инерции к силам вязкости Таким образом, уравнение движения в критериальной форме имеет вид:

Пограничный слой . Уравнения Прандтля.

Уравнение прандтлмя – уравнение погран слоя

Характеристики погран слоя:

Толщина или высота от стенки до погран слоя такая , где V от внешней границы составляет 99% от скорости в ядре потока

ДУ погран слоя получим в предположении что течение двумерное , жидкость несжимаема, сис-ма координат декартова.

Выбираем характеристические размеры : для продольной коор x – Lo, для y – δo – толщина погран слоя

Vo – в качестве продольной скорости

Поперечная составляющая скорости для несжимаемой жидкости div V=0

следовательно Vo/Lo=Vy/δy Vyo=Voδo/Lo

*Lo/Vo²

*δo/Vo²

отнесем все слагаемые к конвективным составляющим ускорения по любому направлению:

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

получаем (1):

аналогично получим (2):

если Re →∞, то для (1) и (2)

P(y)=Po

ρ= ρo=const Vo=Vo(x) P+ ρVo²/a=const

расход изменения массы при протекании через погран слой

уравнение импульса :

dIab=Vx ρVxdy

действующие силы:

Воздействие трением . Приведенная длина.

выделим элемент длинны dx , кот нах-ся в равновесии F=const, воздействий кроме трения нет .Энергия не подводится и не отводится.

условие равновесия dPF=τ_W Пdx (τ_W dS) *(1/F(ρ V²/2))

коэффициент потери энергии λf

приведенная длина трубы если 2 =1 ,то Хпр →max λ2=1 Q(λ2)=1 расход λ2≠1,Q(λ2)=↓

Переходя к размерному виду и добавив уравнение неразрывности получим диф уравнение погран слоя наз уравнение Прандтля

вывод: 1 градиент давления поперечного слоя равен 0 следовательно P=const, линия раздела потока и слоя

2 Оценка характерных параметров погран слоя

разбивая поток при расчете скоростей и давлений на погран слой и ядро , мы можем получить параметры не решая Ур-е Новье-Стокса

в погран слое – Ур-е Прандтля

в ядре – Ур-е Эйлера

Недостаток: модель течения работает только тогда, когда течение безотрывно , когда grad P на внешней границе =0 или

>0 (те против потока составляет небольшую величину)

Fab =Poδo

или

интегральное соотношение Кармана

выразим через характерные толщины δ* и δ**

от частных к полным производным где V от x не зависит

Первая теорема Гельмгольца . Линия тока – ее уравнение

О дв-и жидкости сплошной среды.

Движение жидкой частицы (выделенного жидкого обьема) состоит из поступательного ее центра масс, вращательного вокруг ее оси, проходящей через этот центр и деформационного (под действием внешних сил, приложенных к обьему- свойство текучести).

Дв-е жид-ти можно определить зная V во всех ее точках, те если известно поле скоростей во всей области течения в любой момент времени.

2 способа изучения дв-я частицы – метод Лагранжа и метод Эйлера.

Метод Лагранжа: заключается в изучении в движения каждой частицы в выделенной области.

Метод Эйлера: заключается в определении параметров жидкости протекающей через каждую фиксированную точку выделенной области в течении времени.

В методе Лагранжа каждая ч-ца должна быть помечена – определен ее радиус-вектор (метод меченых частиц) в начальный момент времени

( a,b,c- переменные Лагранжа)

Движение считается известным если известен вектор

Интегральные соотношения Кармана

Характерные вел-ны : толщина потери импульса , толщина вытяснения – хар-ет расход проходящий через пограничный слой по сравнению с расходом ид жид

Физический смысл:

∆G=∆Vxρdy=ρ(Vo-Vx)dy

если на δ*оттеснить линию тока , то получим формулу поверхности

толщина потери импульса:

разница в кол-ве дв-я идеальн и реальных пооков при протекании через погран слой опред через условную толщину поперечного импульса

δ** - толщина на кот надо нарастить толщину вытяснения, чтобы кол-во дв-я ид потока не изменилось

соотношения импульсов Кармана:

выделим эл-т длинной dx с внешней границей слоя ВС

с линиями тока , проходящ через элемент по всей его высоте включая внешнюю границу

τ_W – напряжение трения на стенке

кол-во дв-я mv приравняем к импульсу действующей силы

основные допущения:

введем формпараметр: H=δ*/ δ**

Cf – безразмерный коэффициент трения

Если ввести Re** = Vo δ**/v , Re_L=VoLo/v v=μ/ρ, Vo=Vo(x)

Можно получить:

Где x=x(a,b,c,t)

y=y(a,b,c,t)

z=z(a,b,c,t)

Геометрическая характеристика траектории- изменение вектора в зависимости от параметров ,a,b,c и независимой переменной t.

Векторная скорость- производная траектории по времени:

где - константа для каждой частицы

Или где (или )

Тогда траектория определится как

(или ) где время- независимая переменная .

В методе Лагранжа t – независимая переменная

В любой момент для данной траектории выбираем свое время.

x=x(a,b,c,t) y=y(a,b,c,t)

z=z(a,b,c,t) Мo –точка , которую мы пометили задав ей нач координаты a,b,c, в момент времени t=to

метод Эйлера:

с изменением времени

меняется направление вектора и модуля скорости W

точка остается неподвижной

поле скоростей в метода Эйлера непрерывно меняется проходя через фиксированные точки пространства , те корд выделенной области.

Переход от Эйлера к Лагранжу :

Параметр – время t

Линия тока – линия в любой точке в кот V направлена по касательной . При движении вдоль линии тока частица жидкости за время ходит путь dS=Wdt или в проекциях на координатные оси dx=udt , dy=vdt, исключая отсюда время

получаем уравнения линии тока

или udy-vdx=0 как известно из математики , если выполняется равенство то левая часть уравнения

представляет собой полный дифференциал некоторой функции ψ(х,у) .

Таким образом ДУ линии тока записывается: d ψ=udy-vdx=0

Или ψ(x,y)=const

Функция ψ, значение которой вдоль линии тока сохранятся постоянным , называется функцией тока.

Составляющие скорости можно выразить как частные производные от функции тока

если подставить в уравнение неразрывности , то оно обратиться в тожедство:

Уравнение движения в напряжениях.

Производная по времени количества движения объема V сплошной среды равна сумме всех действующих на него массовых и поверхностных сил.

где -напряженность массовых и поверхностных сил.

Для перехода от интегральной к дифференциальной форме преобразуем поверхностный интеграл в обьемный.( В такой форме уравнение движения называется уравнением движения в напряжениях.)

По теореме Остроградского-Гаусса

где поверхностная сила, отнесенная к единице объема. Совокупность векторов образующая тензор гидродинамического давления в точке, причем

И поверхностные силы действующие на единицу объема:

Нормальные и касательные напряжения являются составляющими тензора напряжений.

Уравнение (1) можно записать как уравнение в интегралах по объему

Уравнение (2) справедливо при наличии поверхностей разрыва в объеме . Для перехода к дифференциальной форме будем полагать непрерывность подинтегральных функций хотя бы на уровне первой производной, тогда можно записать:

или в проекциях на оси

Нормальные составляющие тензора напряжений, выраженные через градиенты скоростей выделенного объема запишем так

Определим давление в точке как: ; откуда

для несжимаемой жидкости , тогда (еще недоказанная гипотеза)Тогда

Введем полученные выражения в уравнения движения в напряжениях:

Для всех направлений:

Это уравнение носит название уравнения Навье-Стокса, причем Навье получил его на основе молекулярно-кинетической теории, а Стокс- исходя из модели сплошной среды.

Для несжимаемой жидкости , тогда

для идеальной жидкости

- уравнение Эйлера Для покоящейся жидкости : - уравнение гидростатики

Скорость распростарнений малых возмущений в газе. Конус Маха.

Конус Маха. Характеристики.

Частица движется в потоке со скоростью V, большей скорости звука a. За t=1сек проходит путь , звук распространяется на расстояние . Огибающая звуковой сферической волны проходит под углом и называется характеристикой, и движется со скоростью V, выходя за пределы сферической волны.

При обращении движения характеристика остается на месте, поток движется со скоростью V. Возмущение от волны за характеристику не поступает.

При V<a частица находится внутри сферической волны. Возмущение от волны при обтекании препятствия передается против потока.

Геометрическое воздействие.

Наиболее важное

G=const уравненеи расхода

уравнение импульсов:

получим сис-му ур-ий:

относит изменение скорости с изменением F c учетом числа Маха Проведя аналогичные преобразования можно получить изменение относительных параметров для ρ, Т,р

Изменение параметров по геометрическому воздействию при, M<1,M=1 М>1

M<1 dF/F<0 M=1 dF/F=0 М>1 dF/F>0 чтобы осуществить переход через скорость звука нужно изменить знак воздействия

Классификация моделей течения.

Физико-математическая модель сплошной среды.

Т. О., при исследовании гидродинамических процессов реальной среде ставиться в соответствие некая физико-математическая модель. Точность расчетов в этом случае зависит от того, насколько в принятой схематизации сохранились определяющие свойства реальной среды. Необходимость схематизации и упрощения математической модели вызвано прежде всего тем, что решений уравнений реально среды хотя бы в квадратурах не найдены, и даже численные методы позволяют получить решение далеко не всегда. Однако если математическая модель адекватно описывает процессы в данной среде, то возможна постановка численного эксперимента, заменяющего натурный эксперимент и позволяющий определить необходимые параметры течения среды в заданных краевых условиях.

Натурный эксперимент призван дополнить численный эксперимент в случае не адекватной модели.

При составлении физико-математической модели жидкой среды необходимо знать, как меняются в зависимости от давления и температуры основные термодинамические и термофизические коэффициенты, такие как теплоемкость. Коэффициенты вязкости, теплопроводность , газовая постоянная ит.д.

Уровень знаний сегодняшнего дня не позволяет обойтись без натурного эксперимента.

Ударная поляра. Параметры частичного торможения.

в точке В скачок выраждается в волну Набла, скорость до скачка – дозвуковая , после - звуковая.

За точкой В - пунктирная кривая – волна разряжения , которой не бывает

Точка Д текущая точка на всей поляре , характеризует все возможные соотношения на косом скачке.

Если придти в точка А двигаясь от точки В то получаем прямой скачок.

В точке А скорость дозвуковая,

В точке В – сверхзвуковая.

В точке С́˝ - отсоединенный скачок.

Эжекторы . Запирание эжектора.

Аппарат в кот полной давление газового потока увеличивается под действие струи более высоконапорного потока. Передача энергии происходит за счет их турбулентного смешения.

Относительный расход газа наз коэффициентом эжжекции.

n=G2/G1.

Зависит от плотности газов, их начальных давлений

Режим работы эжектора , при котором коэф эж не зависит от давления на выходе из диффузора наз критическим.

Значения приведенной скорости λ1 и λ2

Скорость потока в мин сечнии совпадаетс сечением запирания - не может превысить скорости звука

Найдем соотношения между параметрами пооков на входном сечении и в сечении запирания

Из уравнений неразрывности: F1q(λ1)=F1́q(λ1́), F2q(λ2)=F2́q(λ2́),

Поскольку площадь одинакова в обоих сечениях получим :

F1+F2=F1’+F2’ или F1/F2+1=(F1’/F1)*(F1/F2)+F2’/F2

Заменив соотношения площадей :

Для критического режима работы эжектора когда λ2́=1

Следует: из поледнего ур-я видно что при α=const и увеличении приведенной скорости λ1’, когда q(λ1’) и q(λ2) уменшаютсся

Если величина λ1’увеличится настолько , что значение функции q(λ1’) станет равным

q(λ2)=0 λ2=0 при этом втекание газа в камеру прекращается , эжжектирование не происходит.

Физически это означает что при таком значении λ1’, расширяющуяся эжжектируемая струя в максимальном сечении заполняет всю площадь камеры и для прохода эжжектируемого газа не остается места . это явление наз запирание эжектора .

Физически это означает что при таком значении λ1’, расширяющуяся эжжектируемая струя в максимальном сечении заполняет всю площадь камеры и для прохода эжжектируемого газа не остается места . это явление наз запирание эжектора .