и , , .

Если , то по аналогии с предыдущим получаем , , .

Ответ: , , ; , , .

Пример 53 Решить систему уравнений

8383()

Решение. Из первого уравнения системы 83 вычем второе уравнение, тогда . Умножим на обе части последнего уравнения и получим

откуда следует . В таком случае первое уравнение системы 83 принимает вид . Следовательно, .Так как , то

Ответ: , , ; , , .

Пример 54 Решить систему уравнений

8484()

Решение. Обозначим и . Тогда из первого уравнения системы 84 следует, что .

Преобразуем второе и третье уравнения системы 84 следующим образом:

8585()

Из второго уравнения системы 85 следует, что необходимо рассмотреть два случая.

1) Пусть . Тогда , а из первого уравнения системы 85 получаем . Так как и , то имеет место система уравнений

из которой следует , , и , , .

2) Пусть , тогда . Если данрое выражение для подставить в первое уравнение ситемы 85, то получим квадратное уравнение относительно переменной вида , которое имеет два корня и .

Если , то и из первого уравнения системы 85 получаем . В таком случае

и , , , , , .

Если , то , и

Отсюда следует , , , , , .

Ответ: См. выше.

Пример 55 При каких значениях параметра система неравенств

8686()

имеет единственное решение?

Решение. В систему неравенств 86 переменные , входят симметрично, поэтому единственное ее решение необходимо искать в виде и , где .

Подставим в любое из неравенств системы 86, тогда или . Для того, чтобы квадратное неравенство имело бы единственное решение, необходимо его дискриминант приравнять нулю, т.е. , и .

Ответ: .

10. Методы решения уравнений, содержащих целые или дробные части числа

К числу нестандартных относятся методы решения уравнений, которые содержат целые и (или) дробные части действительных чисел. В программе школьной математики методы решения таких уравнений не изучаются. В настоящем разделе применение существующих методов и приемов иллюстрируется на примерах решения ряда уравнений.

Целой частью действительного числа (или Антье) называется наибольшее целое число, не превосходящее , и это число обозначается через . Очевидно, что . Разность называется дробной частью числа (или Мантисса) и обозначается через . Из определения следует, что . Кроме того, справедливо равенство

8787()

Например, имеет место , , , и , , .

Отметим некоторые свойства введенного выше понятия целой части действительного числа.

Для произвольных действительных чисел имеет место неравенство

Кроме того, для любого действительного числа справедливо

8888()

Перейдем теперь к рассмотрению уравнений, содержащих целую и (или) дробную части неизвестной перенной.

Задачи и решения

Пример 56 Решить уравнение

8989()

Решение. Поскольку является целым числом, то --- тоже целое число. Следовательно, число также является целым. В таком случае и уравнение 89 принимает вид или . Целыми корнями последнего уравнения являются и .

Ответ: и .

Пример 57 Решить уравнение

9090()

Решение. Рассмотрим последовательно три случая.

Если , то и , т.е. решением уравнения 90 могут быть только .

Пусть , тогда из уравнения 90 следует, что . Так как и , то получаем систему неравенств

Решением данной системы неравенств являются .

Если , то и . Следовательно, уравнение 90 не имеет корней среди .

Ответ: .

Пример 58 Решить уравнение

9191()

Решение. Используя свойство 88, можно записать

Так как , то, складывая почленно три приведенные выше неравенства, получим

Отсюда, принимая во внимание уравнение 91, следуют неравенства

9292()

Поскольку в этом случае следует, что или . Так как --- целое число, то отсюда получаем, что или . Следовательно, имеем .

Из уравнения 91 следует, что --- целое число. Так как , то остается лишь проверить целые значения от до . Нетрудно установить, что решениями уравнения 91 являются , и .

Ответ: , , .

Пример 59 Решить уравнение

9393()

Решение. Из формулы 87 следует, что . В этой связи уравнение 93 можно переписать, как .

Отсюда следует уравнение

9494()

Очевидно, что является корнем уравнения 94. Положим, что . Тогда разделим обе части уравнения 94 на и получим уравнение

9595()

Рассмотрим последовательно несколько случаев.

Если , то и . В таком случае .

Если , то и .

Если , то и , тогда .

Если , то , и . Отсюда следует, что уравнение 95 корней не имеет.

Следовательно, уравнение 93 имеет единственный корень .

Ответ: .

Пример 60 Решить уравнение

9696()

Решение. Решая тригонометрическое уравнение 96, получаем

9797()

где --- целое число. Из уравнения 97 получаем совокупность двух уравнений или . Левые части обоих уравнений являются целыми числами, в то время как их правые части (за исключением случая в первом уравнении) принимают иррациональные значения.

Следовательно, равенство в уравнениях совокупности может иметь место только в том случае, когда правые их части являются рациональными (точнее, целыми) числами. А это возможно лишь в первом уравнении при условии, что . В этом случае получаем уравнение , откуда следует или .

Ответ: .

Пример 61 Решить уравнение

9898()

Решение. Левая часть уравнения 98 принимает только целые значения, поэтому число является целым.

Так как , то при любом целом многочлен представляет собой произведение трех последовательно расположенных на числовой оси целых чисел, среди которых имеется хотя бы одно четное число и число, кратное трем. Следовательно, многочлен делится на без остатка, т.е. является целым числом.

В этой связи и уравнение 98 принимает вид или

9999()

Так как , то корнями уравнения 99 являются , и .

Ответ: , , .

Пример 62 Доказать равенство

100100()

для произвольного действительного числа .

Доказательство. Любое число можно представить или как , или как , где --- целое число и .

Рассмотрим два возможных случая.

1) Пусть . Так как , то

и

.

2) Пусть , тогда

и

.

Таким образом, равенство 100 выполняется для каждого из двух рассмотренных выше случаев. Следовательно, равенство 100 доказано.

Заключение

Применение нестандартных методов решения задач по математике требует от старшеклассников и абитуриентов нетрадиционного мышления, необычных рассуждений. Незнание и непонимание таких методов существенно уменьшает область успешно решаемых задач по математике. Тем более, что имеющая место тенденция к усложнению конкурсных заданий по математике стимулирует появление новых оригинальных (нестандартных) подходов к решению математических задач. Следует отметить, что знание нестандартных методов и приемов решения задач по математике способствует развитию у старшеклассников нового, нешаблонного мышления, которое можно успешно применять также и в других сферах человеческой деятельности (кибернетика, вычислительная техника, экономика, радиофизика, химия и т.д.).

Литература

1. А.И.Назаров «Задачи-ловушки», Мн., «Аверсэв»,2006

2.С.А. Барвенов «Математика для старшеклассников», «Аверсэв»,2004

3. О.Н. Пирютко «Типичные ошибки на централизованном тестировании», Мн., «Аверсэв»,2006

4. С.А. Барвенов «Методы решения алгеброическиж уравнений», «Аверсэв»,2006