Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»

Математический факультет

Курсовая работа

Нестандартные методы решения задач по математике

Исполнитель:

Студентка группы М-42

Давиденко А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент

Зверева Т.Е.

Гомель 2007

Содержание

Введение

1. Метод функциональной подстановки

2. Метод тригонометрической подстановки

3. Методы, основанные на применении численных неравенств

4. Методы, основанные на монотонности функций

5. Методы решения функциональных уравнений

6. Методы, основанные на применении векторов

7. Комбинированные методы

8. Методы, основанные на использовании ограниченности функций

9. Методы решения симметрических систем уравнений

10. Методы решения уравнений, содержащих целые или дробные части числа

Заключение

Литература

Введение

В настоящее время на занятиях по математике в математических классах общеобразовательных школ, гимназий и лицеев все большее внимание уделяется изучению нестандартных методов решения уравнений и неравенств из различных разделов математики (алгебра, тригонометрия и геометрия). В известной степени это вызвано тем, что в последние годы имеет место устойчивая тенденция к усложнению заданий, предлагаемых на вступительных экзаменах по математике в ведущих высших учебных заведениях Беларуси и Российской Федерации.

В данной работе предлагаются нестандартные методы решения задач по математике, которые имеют довольно-таки широкое распространение. Многие из приведенных здесь задач предлагались совсем недавно на вступительных экзаменах по письменной математике в Белгосуниверситете.

1. Метод функциональной подстановки

Метод функциональной подстановки является, пожалуй, самым распространенным методом решения сложных задач школьной математики. Суть метода состоит в введении новой переменной , применение которой приводит к более простому выражению. Частным случаем функциональной подстановки является тригонометрическая подстановка.

Основная трудность решения задач методом функциональной подстановки заключается в том, что зачастую трудно угадать вид самой подстановки и вид уравнений (или неравенств), где эту подстановку можно использовать. В настоящем разделе предлагаются наиболее распространенные уравнения и неравенства, которые эффективно решаются методом функциональной подстановки.

Задачи и решения

Пример 1 Решить уравнение

Решение. Введем новую переменную , тогда из Error: Reference source not found получаем уравнение . Поскольку обе части полученного уравнения неотрицательны, то после возведения в квадрат получаем равносильное уравнение . Отсюда вытекает , и , .

Рассмотрим два уравнения

Первое уравнение корней не имеет, а из второго получаем и . Подстановкой в Error: Reference source not found убеждаемся в том, что найденные значения переменной являются корнями исходного уравнения.

Ответ: .

Пример 2 Решить уравнение

Решение. Нетрудно видеть, что и является корнем уравнения.

Пусть теперь , тогда обе части уравнения Error: Reference source not found разделим на и получим уравнение

Если обозначить , то уравнение Error: Reference source not found принимает вид квадратного уравнения , корнями которого являются и .

Рассмотрим уравнения и , откуда следует, что и . Так как , то наиденные значения являются корнями уравнения.

Ответ: , , .

Пример 3 Решить уравнение

Решение. Перепишем уравнение в виде

Положим, что и , тогда из Error: Reference source not found получим уравнение , из которого следует и , . Так как и , то и при этом .

Поскольку и , то . Отсюда получаем систему уравнений

где . Решением системы уравнений Error: Reference source not found относительно является . Так как при этом и , то и .

Ответ: .

Пример 4 Решить уравнение

Решение. Для преобразования левой части уравнения Error: Reference source not found воспользуемся очевидным равенством . Тогда из уравнения Error: Reference source not found имеем

и

Если затем положить , то получим уравнение , корни которого равны и .

Таким образом, необходимо рассмотреть два уравнения и , т.е. и , где . Первое уравнение корней не имеет, а из второго получаем .

Ответ: , .

Пример 5 Решить уравнение

Решение. Первоначально убедимся, что не является корнем уравнения Error: Reference source not found. Так как , то разделим обе части уравнения Error: Reference source not found на . Тогда получим

11()

Пусть , тогда

и из уравнения 1 следует или . Последнее уравнение представим в виде . Отсюда следует, что и .

Далее, рассмотрим три уравнения , и . Первые два уравнения корней не имеют, а корнями третьего уравнения являются

Ответ:

Пример 6 Решить неравенство

22()

Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби в левой части неравенства 2 на и обозначим через . Тогда неравенство 2 можно переписать как

и

33()

Решая неравенство 3 с учетом того, что , получаем . Поскольку , то .

Ответ: .

Пример 7 Решить уравнение

44()

Решение. Выполним замену переменных, пусть и . Так как и , тo . Кроме того, имеем .

В таком случае из уравнения 4 получаем систему уравнений

55()

Пусть теперь и , тогда из системы уравнений 5 следует и . Отсюда с учетом того, что , получаем и . Следовательно, имеет место , и .

Поскольку и , то и , где --- целое число.

Ответ: , где --- целое число.

2. Метод тригонометрической подстановки

К числу, нестандартных методов решения алгебраических уравнений относится метод, основанный на применении тригонометрической подстановки. Использование такого метода целесообразно в том случае, когда искомые уравнения напоминают известные тригонометрические формулы. Это относится преимущественно к уравнениям (системам уравнений), решение которых обычными приемами весьма затруднительно, и которые после введения тригонометрических подстановок сводятся к несложным тригонометрическим уравнениям. Суть тригонометрической подстановки состоит в замене неизвестной переменной тригонометрической функцией, например или , а также в замене некоторой функцией от , или .

Полученные корни тригонометрических уравнений позволяют находить корни исходных уравнений как в тригонометрической, так и в алгебраической форме. Следует особо отметить, что тригонометрические уравнения имеют, как правило, бесконечное число корней, а исходные уравнения --- конечное их число.

Задачи и решения

Пример 8 Решить уравнение

66()

Решение. Поскольку не является корнем уравнения 6, то разделим обе его части на . Тогда

77()

Если или , то левая часть уравнения 7 будет больше , а правая его часть --- меньше . Следовательно, корни уравнения 6 находятся на отрезке .

Пусть , где . Тогда уравнение 6 принимает вид тригонометрического уравнения

Решением уравнения являются , где --- целое число. Однако , поэтому , и . Так как , то , и .

Ответ: , и .

Пример 9 Решить уравнение

88()

Решение. Нетрудно видеть, что

Выполним замену , где . В таком случае левая часть уравнения 8 принимает вид

а из уравнения 8 следует тригонометрическое уравнение вида

99()

Сделаем еще одну замену переменных, пусть , тогда и из 9 получаем квадратное уравнение относительно переменной , т.е. , решением которого являются и . Так как и , то и . С учетом того, что , получаем систему тригонометрических уравнений

1010()

Из уравнений системы 10 составим квадратное уравнение относительно вида и получаем и . Так как , то и

Ответ: , .

Пример 10 Решить систему уравнений

1111()

Решение. Поскольку и , то положим и , тогда и . Тогда и . В таком случае , и система уравнений 11 принимает вид

1212()

Из первого уравнения системы 12 получаем . Поскольку , то , Следовательно, получаем систему

Отсюда следует и . Так как и , то и .

Ответ: , .

3. Методы, основанные на применении численных неравенств

Нестандартными методами в математике являются также методы, в основу которых положено использование известных в математике численных неравенств (Коши, Бернулли и Коши--Буняковского), изучению которых в общеобразовательной школе не уделяется или почти не уделяется никакого внимания. Однако многие математические задачи (особенно задачи повышенной сложности) эффективно решаются именно такими методами. В этой связи незнание последних может существенно ограничить круг успешно решаемых задач.

Первоначально приведем формулировки неравенства Коши, неравенства Бернулли и неравенства Коши--Буняковского, а затем проиллюстрируем их применение на примерах, взятых из программы вступительных экзаменов по письменной математике в Белгосуниверситете.

Неравенство Коши

Пусть , , ..., , тогда

1313()

где . Причем неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда . В частности, если в 13 положить , то

1414()