Это неравенство чаще всего встречается при решении школьных задач по математике. Если в 14 положить и , где , то

1515()

Здесь неравенство равносильно равенству лишь при .

Следует отметить, что имеется аналог неравенства 15 для отрицательных значений , а именно, если , то

1616()

Данное неравенство превращается в равенство при .

Неравенство Бернулли

Наиболее распространенным является классическое неравенство Бернулли, которое формулируется в следующей форме: если , то для любого натурального имеет место

1717()

Причем равенство в 17 достигается при или .

Наряду с 17 существует обобщенное неравенство Бернулли, которое содержит в себе два неравенства:

если или , то

1818()

если , то

1919()

где .

Следует отметить, что равенства в 18 и 19 имеют место только при . Верно также и обратное утверждение.

Неравенство Коши--Буняковского

Для произвольных и имеет место

2020()

где .

Причем равенство в 20 достигается в том и только в том случае, когда числа . и пропорциональны, т.е. существует константа такая, что для всех выполняется равенство .

На основе использования неравенства Коши--Буняковского 20 можно доказать неравенство

2121()

которое справедливо для произвольных , и натурального числа .

Задачи и решения

Пример 11 Доказать неравенство

2222()

где .

Доказательство. Преобразуем левую часть неравенства 22 с использованием неравенства 19, т.е.

Так как по условию , то равенства в неравенстве Бернулли 19 не будет, поэтому доказано строгое неравенство 22.

Пример 12 Доказать, что если , то

2323()

Доказательство. Введем обозначения и . Тогда и .

Используя неравенство Коши-Буняковского 20, можно записать . Так как , то и .

Имеет место равенство , из которого следует .

Следовательно, для доказательства неравенства 23 достаточно показать, что или , где .

Пусть . Для доказательства неравенства 23 требуется показать, что , где .

Так как , то корни уравнения являются точками, подозрительными на экстремум функции . Уравнение имеет два корня: , . Поскольку , , , то .

Отсюда следует, что неравенство 23 доказано.

Пример 13 Доказать, если , то

Доказательство. Для получения нижней оценки левой части требуемого неравенства первоначально воспользуемся неравенством Бернулли 18, а затем неравенством Коши 14, тогда

Пример 14 Решить уравнение

2424()

Решение. Используя неравенство Коши 14, можно записать

т.е. имеет место неравенство

Отсюда и из уравнения 24 следует, что приведенные выше неравенства Коши обращаются в равенства. А это возможно лишь в том случае, когда и .

Следовательно, имеем и .

Ответ: , ; , ; , ; , .

Пример 15 Решить уравнение

2525()

Решение. Применим к левой части уравнения 25 неравенство Бернулли 19, а к правой части --- неравенство 18, тогда

и

Отсюда следует, что неравенства Бернулли, примененные к обеим частям уравнения 25, обращаются в равенство, а это возможно лишь в том случае, когда .

Ответ: .

Пример 16 Доказать неравенство

2626()

где , .

Доказательство. Непосредственно из неравенства 21 следует . Используя это неравенство и неравенство Коши 15, получаем неравенство 26 следующим образом:

Пример 17 Доказать, что

2727()

где , , --- стороны треугольника, a --- его площадь.

Доказательство. Известно, что , где --- угол между сторонами и . Поскольку , то . Используя неравенство Коши , получаем верхнюю оценку площади треугольника вида . По аналогии с изложенным выше имеет место и .

Тогда .

Отсюда следует справедливость неравенства 27.

Пример 18 Доказать, что для всякого прямоугольного параллелепипеда с ребрами , , и диагональю имеет место неравенство

2828()

Доказательство. Воспользуемся неравенством Коши--Буняковского 20, тогда .

Поскольку в прямоугольном параллелепипеде (теорема Пифагора), то . Отсюда следует справедливость неравенства 28. Заметим, что равенство в 28 достигается тогда и только тогда, когда прямоугольный параллелепипед является кубом.

Пример 19 Пусть --- точка, лежащая внутри прямоугольника , и --- его площадь. Доказать, что

2929()

Доказательство. Через точку , лежащую внутри прямоугольника , проведем и . Обозначим , , и . Тогда , , , , и требуемое неравенство 29 принимает вид

3030()

Используя неравенство Коши--Буняковского 20, можно записать два неравенства

и

Следовательно, имеет место

и

Складывая приведенные выше неравенства, получаем неравенство 30.

4. Методы, основанные на монотонности функций

При решении уравнений типа в ряде случаев весьма эффективным является метод, который использует монотонность функций и . Если функция непрерывна и возрастает (убывает) на отрезке , а функция непрерывна и убывает (возрастает) на этом же отрезке, то уравнение на отрезке может иметь не более одного корня.

Напомним, что функция называется возрастающей (или убывающей) на отрезке , если для любых , , удовлетворяющих неравенствам , выполняется неравенство (соответственно, ). Если функция является на отрезке возрастающей или убывающей, то она называется монотонной на этом отрезке.

В этой связи при решении уравнения необходимо исследовать функции и на монотонность, и если одна из этих функций на отрезке убывает, а другая функция --- возрастает, то необходимо или попытаться подбором найти единственный корень уравнения, или показать, что такого корня не существует. Если, например, функция возстает, a убывает для и при этом , то корней уравнения среди нет. Особенно такой метод эффективен в том случае, когда обе части уравнения представляют собой весьма ``неудобные'' для совместного исследования функции. Кроме того, если функция является монотонной на отрезке и уравнение (где --- некоторая константа) имеет на этом отрезке корень, то этот корень единственный.

Задачи и решения

Пример 20 Решить уравнение

3131()

Решение. Областью допустимых значений уравнения 31 являются . Рассмотрим функции и . Известно, что функция для является убывающей, а функция --- возрастающей. В этой связи уравнение 31 может иметь только один корень, т.е. , который легко находится подбором.

Ответ: .

Пример 21 Решить уравнение

3232()

Решение. Введем новую переменную . Тогда , и уравнение 32 принимает вид

3333()

Уравнение 33 имеет очевидный корень . Покажем, что других корней нет. Для этого разделим обе части уравнения 33 на , тогда

3434()

Так как , а , то левая часть уравнения 34 является убывающей функцией, а правая часть --- возрастающей функцией. Поэтому уравнение 34 если имеет корень, так только один. Ранее было установлено, что --- корень уравнения 33. Следовательно, этот корень единственный.

Таким образом, имеем . Тогда единственным корнем уравнения 32 является .

Ответ: .

Пример 22 Решить уравнение

3535()

Решение. Разделим обе части уравнения 35 на , тогда

3636()

Подбором нетрудно установить, что является корнем уравнения 36. Покажем, что других корней это уравнение не имеет.

Обозначим и . Очевидно, что . Следовательно, каждая из функций и является убывающей и при этом .

Если , то , и .

Если , то , и .

Следовательно, среди 2 или корней уравнения 36 нет.

Ответ: .

5. Методы решения функциональных уравнений

К числу наиболее сложных задач на вступительных конкурсных экзаменах по математике относятся задачи, решение которых сводится к рассмотрению функциональных уравнений вида

3737()

или

3838()

где , , --- некоторые функции и .

Методы решения функциональных уравнений 37, 38 основаны на использовании следующих теорем.

Теорема 23 Корни уравнения являются корнями уравнения 37

Доказательство. Пусть --- корень уравнения , т.е. . Тогда справедливы равенства

Отсюда следует, что

т.е. является корнем уравнения 37.

Теорема 24 Если --- возрастающая функция на отрезке и , то на данном отрезке уравнения 37 и равносильны.

Доказательство. Пусть является корнем уравнения 37, т.е. . Предположим, что не является корнем уравнения , т.е. . He нарушая общности рассуждений, будем считать, что . Тогда в силу возрастания функции справедливы неравенства