86280 (Випадковий процес в математиці), страница 2

? ? ?(t)?(t')R(t, t')dtdt'

Тоді існує в середньому квадратичному інтеграл

? ?(t)X(t)dt.

Випадкові процеси:

X_i(t) = V_iφ_i(t) (i = 1n)

Де φ_i(t) – задані речовинні функції

V_i - випадкові величини з характеристиками

M(V_I = 0), D(V_I) = D_I, M(V_iV_j) = 0 (i ≠ j)

Називають елементарними.

Канонічним розкладанням випадкового процесу X(t) називають його подання у вигляді

X(t) = m_x(t) + ∑ V_iφ_i(t) (t € T)

Де V_i – коефіцієнти, а φ_i(t) – координатні функції канонічного розкладання процесу X(t). З відносин:

M(V_I = 0), D(V_I) = D_I, M(V_iV_j) = 0 (i ≠ j)

X(t) = m_x(t) + ∑ V_iφ_i(t) (t € T)

Треба:

K(t, t’) = ∑ D_iφ_i(t)φ_i(t’)

Цю формулу називають канонічним розкладанням кореляційної функції випадкового процесу.

У випадку рівняння

X(t) = m_x(t) + ∑ V_iφ_i(t) (t € T)

Мають місце формули:

X(t) = m_x(t) + ∑ V_iφ(t)

∫ x(τ)dt = ∫ m_x(τ)dτ + ∑ V_i ∫ φ_i(t)dt.

Таким чином, якщо процес X(t) представлений його канонічним розкладанням, те похідна й інтеграл від нього також можуть бути представлені у вигляді канонічних розкладань.

2. Марковські випадкові процеси з дискретними станами

Випадковий процес, що протікає в деякій системі S з можливими станами S₁, S₂, S₃, …, називається Марковським, або випадковим процесом без наслідку, якщо для будь-якого моменту часу t₀ імовірні характеристики процесу в майбутньому (при t>t₀) залежить тільки від його стану в цей момент t₀ і не залежать від того, коли і як система прийшла в цей стан; тобто не залежать від її поводження в минулому (при t0).

Прикладом Марковського процесу: система S – лічильник у таксі. Стан системи в момент t характеризується числом кілометрів (десятих часток кілометрів), пройдених автомобілем до даного моменту. Нехай у момент t₀ лічильник показує S₀/ Імовірність того, що в момент t>t₀ лічильник покаже те або інше число кілометрів (точніше, що відповідає число рублів) S₁ залежить від S₀, але не залежить від того, у які моменти часу змінилися показання лічильника до моменту t₀.

Багато процесів можна приблизно вважати Марковськими. Наприклад, процес гри в шахи; система S – група шахових фігур. Стан системи характеризується числом фігур супротивника, що збереглися на дошці в момент t₀. Імовірність того, що в момент t>t₀ матеріальна перевага буде на боці одного із супротивників, залежить у першу чергу від того, у якому стані перебуває система в цей момент t_0, а не від того, коли й у якій послідовності зникли фігури з дошки до моменту t₀.

У ряді випадків передісторією розглянутих процесів можна просто зневажити й застосовувати для їхнього вивчення Марковські моделі.

Марковським випадковим процесом з дискретними станами й дискретним часом (або ланцюгом Маркова) називається Марковський процес, у якому його можливі стани S₁, S₂, S_3, … можна заздалегідь перелічити, а перехід зі стану в стан відбувається миттєво (стрибком), але тільки в певні моменти часу t_0, t_1, t_2, ..., називані кроками процесу.

Позначимо p_ij – імовірність переходу випадкового процесу (системи S) зі стану I у стан j. Якщо ці ймовірності не залежать від номера кроку процесу, то такий ланцюг Маркова називається однорідної.

Нехай число станів системи звичайно й дорівнює m. Тоді її можна характеризувати матрицею переходу P₁, що містить всі ймовірності переходу:

p₁₁ p₁₂ … p_1m

p₂₁ p₂₂ … p_2m

… … … …

P_m1 p_m2 … p_mm

Природно, по кожному рядку ∑ p_ij = 1, I = 1, 2, …, m...

Позначимо p_ij(n) – імовірністю того, що в результаті n кроків система перейде зі стану I у стан j. При цьому при I = 1 маємо ймовірності переходу, що утворять матрицю P₁, тобто p_ij(1) = p_ij

Необхідно, знаючи ймовірності переходу p_ij, знайти p_ij(n) – імовірності переходу системи зі стану I у стан j за n кроків. Із цією метою будемо розглядати проміжне (між I і j) стан r, тобто будемо вважати, що з первісного стану I за k кроків система перейде в проміжний стан r з імовірністю p_ir(k), після чого за що залишилися n-k кроків із проміжного стану r вона перейде в кінцевий стан j з імовірністю p_rj(n-k). Тоді по формулі повної ймовірності

P_ij(n) = ∑ p_ir (k) p_rj (n-k) – рівність Маркова.

Переконаємося в тім, що, знаючи всі ймовірності переходу p_ij = p_ij(1), тобто матрицю P₁ переходу зі стану в стан за один крок, можна знайти ймовірність p_ij(2), тобто матрицю P₂ переходи зі стану в стан за два кроки. А знаючи матрицю P₂, - знайти матрицю P₃ переходи зі стану в стан за три кроки, і т.д.

Дійсно, думаючи n = 2 у формулі P_ij(n) = ∑ p_ir (k) p_rj (n-k), тобто k=1 (проміжне між кроками стан), одержимо

P_ij(2) = ∑ p_ir(1)p_rj (2-1) = ∑ p_ir p_rj

Отримана рівність означає, що P₂ =P₁P₁ = P²₁

Думаючи n = 3, k = 2, аналогічно одержимо P₃ = P₁P₂ = P₁P₁² = P₁³, а в загальному випадку P_n = P₁ⁿ

Приклад

Сукупність родин деякого регіону можна розділити на три групи:

родини, що не мають автомобіля й не збираються його купувати;

родини, що не мають автомобіля, але які бажаютьйого придбати;

родини, що мають автомобіль.

Проведене статистичне обстеження показало, що матриця переходу за інтервал в один рік має вигляд:

0,8 0,1 0,1

0 0,7 0,3

0 0 1

(У матриці P₁ елемент р₃₁ = 1 означає ймовірність того, що родина, що має автомобіль, також буде його мати, а, наприклад, елемент р₂₃ = 0,3 – імовірність того, що родина, що не мала автомобіля, але намагаються його придбати, здійснить свій намір у наступному році, і т.д.)

Знайти ймовірність того, що:

родина, що не мала автомобіля й не хоче його придбати, буде перебувати в такій же ситуації через два роки;

родина, що не мала автомобіля, але які бажають його придбати, буде мати автомобіль через два роки.

Рішення: знайдемо матрицю переходу Р₂ через два роки:

0,8 0,1 0,1 0,8 0,1 0,1 0,64 0,15 0,21

0 0,7 0,3 0 0,7 0,3 0 0,49 0,51

0 0 1 0 0 1 0 0 1

Тобто шукані в прикладі 1) і 2) імовірності рівні відповідно

р₁₁ =0,64, р₂₃ =0,51

Далі розглянемо Марковський випадковий процес із дискретними станами й безперервним часом, у якому, на відміну від розглянутої вище ланцюга Маркова, моменти можливих переходів системи зі стану не фіксовані заздалегідь, а випадкові.

При аналізі випадкових процесів з дискретними станами зручно користуватися геометричною схемою – так званим графіком подій. Звичайно стану системи зображуються прямокутниками (кружками), а можливі переходи зі стану в стан - стрілками (орієнтованими дугами), що з'єднують стану.

Приклад. Побудувати граф станів наступного випадкового процесу: пристрій S складається із двох вузлів, кожний з яких у випадковий момент часу може вийти з ладу, після чого миттєво починається ремонт вузла, що триває заздалегідь невідомий випадковий час.

Рішення. Можливі стани системи: S_{0 –} обидва вузли справні; S₁ – перший вузол ремонтується, другий справний; S₂ – другий вузол ремонтується, перший справний; S₃ – обидва вузли ремонтуються.

Стрілка, напрямку, наприклад, з S₀ в S₁, означає перехід системи в момент відмова першого вузла, з S₁ в S₀ – перехід у момент закінчення ремонту цього вузла. На графі відсутні стрілки з S₀ в S₃ і з S₁ в S₂. Це пояснюється тим, що виходи вузлів з ладу передбачається незалежними друг від друга й, наприклад, імовірностями одночасного виходу з ладу двох вузлів (перехід з S₀ в S₃) або одночасне закінчення ремонтів двох вузлів (перехід з S₃ в S₀) можна зневажити.

3. Стаціонарні випадкові процеси

Випадковий процес Х(t) називають стаціонарним у вузькому змісті, якщо

F(x₁, …, x_n; t₁, …, t_n) = F(x₁, …, x_n; t₁+∆, …, t_n+∆)

При довільних

n≥1, x₁, …, x_n, t₁, …, t_n; ∆; t₁ € T, t_i + ∆ € T...

Тут F(x₁, …, x_n; t₁, …, t_n) – n-мірна функція розподілу випадкового процесу Х(t).

Випадковий процес Х(t) називають стаціонарним у широкому змісті, якщо

m(t) = m(t + ?), K(t, t') = K(t + ?, t' + ?)

(t € T, t' € T, t + ?€ T), t' + ?€ T)

Очевидно, що зі стаціонарності у вузькому змісті треба стаціонарність у широкому змісті.

З формул:

m(t) = m(t + ?), K(t, t') = K(t + ?, t' + ?)

(t € T, t' € T, t + ?€ T), t' + ?€ T)

Треба, що для процесу, стаціонарного в широкому змісті, можна записати

m (t) = m_x(0) = const;

D (t) = K(t, t) = K(0,0) = const;

K(t, t') = K(t - t', 0) = K (0, t' - t)

Таким чином, для процесу, стаціонарного в широкому змісті, математичне очікування й дисперсія не залежать від часу, а K(t, t') представляє собою функцію виду:

K(t, t') = k(?) = k(-?), ? = t' - t.

Видно, що k(?) - парна функція, при цьому

K(0) = В = σ²; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά_i α_j k(t_i - t_j) ≥ 0

Тут D - дисперсія стаціонарного процесу

Х(t), α_i (I = 1, n) – довільні числа.

Перша рівність системи

K(0) = В = σ²; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά_i α_j k(t_i - t_j) ≥ 0

треба з рівняння K(t, t') = k(?) = k(-?), ? = t' - t. Перша рівність

K(0) = В = σ²; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά_i α_j k(t_i - t_j) ≥ 0 - простий наслідок нерівності Шварца для перетинів X(t), X(t') стаціонарного випадкового процесу X(t). Остання нерівність:

K(0) = В = σ²; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά_i α_j k(t_i - t_j) ≥ 0

Одержують у такий спосіб:

∑ ∑ α_i α_j k(t_i - t_j) = ∑ ∑ K(t_i, t_j)α_i α_j = ∑ ∑ M[(α_iX_i)(α_jX_j)] = M[(∑ α_iX_i)²] ≥0

З огляду на формулу кореляційної функції похідній dX(t)/dt випадкового процесу, для стаціонарної випадкової функції X(t) одержимо

K₁(t, t’) = M[(dX(t)/dt)*(dX(t’)/dt’)] = δ²K(t, t’) / δtδt’ = δ²k(t’ - t) / δt?t'

Оскільки

?k(t' - t) / ?t = (?k(?) / ??) * (?? / ??) = - ?k(?) / ??,

δ²k(t’ - t) / δtδt’ = - (δ² k(τ) / δτ²⁾ * (δτ / δt’) = - (δ² k(τ) / δτ²⁾

те K₁(t, t’) = k₁(τ) = - (δ² k(τ) / δτ²⁾, τ = t' - t.

Тут K₁(t, t’) і k₁(τ) – кореляційна функція першій похідній стаціонарного випадкового процесу X(t).

Для n-й похідній стаціонарного випадкового процесу формула кореляційної функції має вигляд:

K_n(τ) = (-1)ⁿ * (δ²ⁿ *k(τ) / δτ²ⁿ)

Теорема. Стаціонарний випадковий процес X(t) з кореляційною функцією k(?) безперервний у середньому квадратичному у крапці t € T тоді й тільки тоді, коли

Lim k(?) = k(0)

Для доказу запишемо очевидний ланцюжок рівностей:

M [|X(t+τ)-X(T)|²] = M[|X(t)|²] – 2M[|X(t+τ)X(t)|] + M[X(t)²] =

= 2D-2k(?) = 2[k(0)-k(?)].

Звідси очевидно, що умова безперервності в середньому квадратичному процесу X(t) у крапці t € T

Lim M[|X(t+τ) – X(t)|²] = 0

Має місце тоді й тільки тоді, коли виконується Lim k(?) = k(0)

Теорема. Якщо кореляційна функція k(τ) стаціонарного випадкового процесу X(t) безперервна в середньому квадратичному у крапці τ=0, то вона безперервна в середньому квадратичному у будь-якій крапці τ € R¹.

Для доказу запишемо очевидні рівності:

k(?+??)-k(?) = M[X(t+?+??)X(t)] - M[X(t+?)X(t)] =