86225 (Формации конечных групп)

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Допущена к защите

Зав. кафедрой Шеметков Л.А.

« » 2007 г.

Об одной проблеме теории

Формации конечных групп

Курсовая работа

Исполнитель:

студент группы М-51 А.И. Рябченко

Научный руководитель:

к.ф.- м.н., старший преподаватель В.Г. Сафонов

Гомель 2007

Оглавление

Введение

Вспомогательные факты

Основные результаты

Заключение

ЛИТЕРАТУРА

Введение

Все рассматриваемые в работе группы предполагаются конечными. Кроме общепринятой терминологии [1–3], нам потребуются некоторые определения и обозначения работы [4].

Пусть – некоторое непустое подмножество множества всех простых чисел; – дополнение к во множестве всех простых чисел. Формация называется -насыщенной, если ей принадлежит всякая группа , удовлетворяющая условию , где . Всякая формация считается 0-кратно -насыщенной. При формация называется -кратно -насыщенной [4], если , где все непустые значения -локального спутника являются -кратно -насыщенными формациями.

Для любых двух -кратно -насыщенных формаций и полагают , а , где – пересечение всех -кратно -насыщенных формаций, содержащих . Через обозначают решетку -кратно -насыщенных формаций, заключенных между и . Длину решетки обозначают и называют -дефектом формации . -Кратно -насыщенную формацию называют -приводимой, если она может быть представлена в виде решеточного объединения некоторых своих собственных -кратно -насыщенных подформаций в решетке . В противном случае формацию называют -неприводимой.

Группа называют критической, если – группа минимального порядка из для некоторых формаций и . Критическая группа называется -базисной, если у формации, ею порожденной, имеется лишь единственная максимальная подформация , причем .

В работе [4] А.Н. Скибой и Л.А. Шеметковым была поставлена задача описания -кратно -насыщенных формаций -дефекта (вопрос 5, [4]). Полученные нами теоремы 1–3 завершают описание -кратно -насыщенных формаций такого типа. В частности, теорема 1 и теорема 2 позволяют классифицировать -приводимые -кратно -насыщенные формации, имеющие -дефект , а в теореме 3 получено описание конечных групп, порождающих -неприводимые формации -дефекта 2 ( ). Отметим, что при решение данной задачи получено в работе [5].

Вспомогательные факты

Следствием теоремы 3.4.3 работы [6] является

Лемма 1. Пусть – -кратно -насыщенная ненильпотентная формация. Тогда в имеется по крайней мере одна минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация.

Доказательство следующей леммы аналогично доказательству леммы 20.4 [2].

Лемма 2. Пусть , и – -кратно -насыщенные формации, причем . Тогда если и соответственно -дефекты формаций и и , то .

Лемма 3 [4]. Для всех решетка модулярна.

Аналогично лемме 14 [7] доказывается

Лемма 4. Пусть , где – некоторая -кратно -насыщенная нильпотентная подформация формации , – минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация формации . Тогда в формации не существует минимальных -кратно -насыщенных ненильпотентных формаций, отличных от .

Лемма 5. Пусть , и – -насыщенная формации и . Тогда .

Доказательство аналогично лемме 20.3 [2].

Лемма 6 [8]. При всякая -кратно насыщенная формация, имеющая -дефект 2, приводима.

Лемма 7 [4]. Пусть – -кратно -насыщенная формация . Тогда спутник является -значным.

Лемма 8 [9]. Пусть – такая полная решетка формаций, что . Пусть – -локальная формация с каноническим -локальным спутником , – -локальная формация с минимальным -локальным -значным спутником . Тогда в том и только в том случае – -критическая формация, когда , где – такая монолитическая группа с монолитом , что либо , и – -критическая формация для всех , либо и – -критическая формация.

Лемма 9 [4]. Пусть , где , и пусть – минимальный -значный спутник формации . Тогда справедливы следующие утверждения: 1) ; 2) для всех ; 3) , спутник является -значным и – некоторый фиксированный элемент из , то , где для всех , и, кроме того, ; 4) , где и для всех .

Лемма 10 [4]. Пусть такой внутренний -кратно -локальный спутник формации , что , . Тогда , где .

Лемма 11 [10]. Тогда и только тогда является минимальной -кратно -насыщенной ненильпотентной формацией, когда , где – такая монолитическая группа с цоколем , что либо , либо и выполняется одно из следующих условий:

1) – группа Шмидта с , где – абелева -группа, и – простое число;

2) – неабелева -группа, , где , причем, если , то и – простая неабелева группа.

Лемма 12 [6]. Пусть – монолитическая группа с неабелевым монолитом . Тогда если простое число делит порядок группы , то .

Лемма 13 [1, с. 26]. Пусть – произвольная непустая формация и пусть у каждой группы -корадикал не имеет фраттиниевых -главных факторов. Тогда если – монолитическая группа из , то .

Лемма 14 [2, с.168]. Пусть и – формации, причем – локальна и – группа минимального порядка из . Тогда монолитична, ее монолит совпадает с и если – -группа, то .

Лемма 15 [2, с.171]. Если в группе имеется лишь одна минимальная нормальная подгруппа и ( – некоторое простое число), то существует точный неприводимый -модуль, где – поле из элементов.

Лемма 16 [4]. Пусть – -насыщенная формация и – ее -локальный спутник. Если , то .

Лемма 17 [4]. Пусть и – минимальные -локальные -значные спутники формаций и соответственно. Тогда в том и только в том случае, когда .

Лемма 18 [10]. Пусть ( ), где – такая монолитическая группа с неабелевым монолитом , что и . Тогда имеет единственную максимальную -кратно -насыщенную подформацию , причем .

Основные результаты

Теорема 1. Пусть – -кратно -насыщенная формация. Тогда в том и только в том случае -дефект формации равен 1, когда , где – -кратно -насыщенная нильпотентная подформация формации , – минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация формации , при этом: 1) всякая -кратно -насыщенная нильпотентная подформация из входит в ; 2) всякая -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация из имеет вид

Доказательство. Необходимость. Пусть -дефект формации равен 1. Так как не является нильпотентной формацией, то по лемме 1 в входит некоторая минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация . По условию – максимальная -кратно -насыщенная подформация в . Значит, .

Достаточность. Пусть , где – -кратно -насыщенная нильпотентная подформация формации , – минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация . Понятно, что . Пусть -дефекты -кратно -насыщенных формаций , и равны соответственно , и . Поскольку – -кратно -насыщенная нильпотентная подформация формации , то . Так как – минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная формация, то ее -дефект равен 1. В силу леммы 2 имеет место неравенство . Если , то – нильпотентная формация, что противоречит условию . Таким образом, -дефект формации равен 1.

Докажем теперь справедливость утверждения 1) второй части теоремы. Так как – максимальная -кратно -насыщенная подформация в , то, в силу леммы 3, имеет место решеточный изоморфизм

Следовательно, – максимальная -кратно -насыщенная подформация в . Тогда, поскольку , то всякая -кратно -насыщенная нильпотентная подформация из входит в .

Докажем утверждение 2). Используя лемму 4, получаем, что в формации нет минимальных -кратно -насыщенных ненильпотентных подформаций, отличных от .

Пусть теперь – произвольная -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация из . Тогда в силу уже доказанного и леммы 4 получаем, что . Следовательно, применяя лемму 3, получаем . Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть – -приводимая формация, . Тогда и только тогда -дефект формации равен 2, когда удовлетворяет одному из следующих условий: 1) , где , и – различные минимальные -кратно -насыщенные ненильпотентные формации; 2) , где , – -неприводимая формация -дефекта 2, , причем если , то .

Доказательство. Заметим, что при , справедливость утверждения теоремы вытекает из теоремы 1.1 [5], а также теоремы 1 работы [11]. Поэтому мы можем считать, что .

Необходимость. Пусть -дефект формации равен 2, – такая максимальная -кратно -насыщенная подформация формации , что -дефект формации равен 1. По теореме 1 получаем , где – минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная формация, а . Если в формации имеется еще одна минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация , отличная от , то, в силу леммы 4, . Значит,

и выполнено условие 1).

Пусть теперь в формации нет отличных от минимальных -кратно -насыщенных ненильпотентных подформаций. Поскольку – -приводимая формация, то в найдется такая группа , что . Понятно, что . Ввиду леммы 5 -дефект формации меньше или равен 2. Поскольку и -дефект формации равен 1, то -дефект формации не равен 0. Допустим, что -дефект формации равен 1. Тогда по теореме 1 и предположению о единственности получаем, что , где . Значит, где . Но тогда в силу леммы 2 -дефект формации равен 1. Противоречие. Поэтому -дефект формации равен 2. Тогда , так как иначе , что противоречит максимальности формации в формации . Таким образом,

Предположим, что – -неприводимая формация. Заметим, что если и – -насыщенная формация, то является насыщенной формацией. Действительно, из -насыщенности формации получаем, что для любой группы из условия следует, что . Но . Значит, . Тогда получаем, что из условия следует, что . Таким образом, является насыщенной формацией. Ввиду леммы 6 всякая -кратно насыщенная формация, имеющая нильпотентный дефект 2, приводима. В этом случае – приводимая -кратно насыщенная формация. Противоречие. Поэтому . Тогда получаем, что формация удовлетворяет условию 2).