86163 (Беселеві функції)

Курсова робота

"Беселеві функції"

1. Беселеві функції з будь-яким індексом

Рівняння Лапласа в циліндричних координатах

Щоб пояснити походження Беселевих функцій, розглянемо рівняння Лапласа в просторі:

. (1)

Якщо перейти до циліндричних координат по формулах:

,

,

,

те рівняння (1) прикмет наступний вид:

. (2)

:

,

Нехай є рішення згаданого виду. Підставляючи його в (2), одержимо:

,

звідки (після ділення на )

.

Записавши це у вигляді:

,

знайдемо, що ліва частина не залежить від , права не залежить від

,

; отже, загальна величина цих виражень є деяка постійна

. Звідси:

;

;

;

;

.

В останній рівності ліва частина не залежить від , права не залежить від

; отже, загальна величина цих виражень є деяка постійна

. Звідси:

,

;

,

.

Таким чином, ,

,

повинні задовольняти лінійним диференціальним рівнянням другого порядку:

,

(3)

,

,

з яких друге й третє є найпростіші лінійні рівняння з постійними коефіцієнтами, а перше є лінійним рівнянням зі змінними коефіцієнтами нового виду.

Обернено, якщо ,

,

задовольняють рівнянням (3), тобто

рішення рівняння (2). Справді, підставляючи

в ліву частину (2) і ділячи потім на

, одержимо:

.

Таким чином, загальний вид всіх трьох рішень рівняння (2), які є добутком трьох функцій, кожна з яких залежить від одного аргументу, є , де

,

,

– будь-які рішення рівнянь (3) при будь-якому виборі чисел

,

.

Перше з рівнянь (3) у випадку ,

називається рівнянням Беселя. Думаючи в цьому випадку

, позначаючи незалежну змінну буквою

(замість

), а невідому функцію – буквою

(замість

), знайдемо, що рівняння Беселя має вигляд:

. (4)

Це лінійне диференціальне рівняння другого порядку зі змінними коефіцієнтами відіграє більшу роль у додатках математики. Функції, йому задовольняючі, називаються Беселевими, або циліндричними, функціями.

Беселеві функції першого роду

Будемо шукати рішення рівняння Беселя (4) у вигляді ряду:

.

Тоді

,

,

,

.

Отже, приходимо до вимоги

або до нескінченної системи рівнянь

,

яка розпадається на дві системи:

Перша з них задовольниться, якщо взяти … У другій системі

можна взяти довільно; тоді

… однозначно визначаються (якщо

не є цілим негативним числом). Взявши

,

знайдемо послідовно:

,

,

,

і як рішення рівняння (4) одержимо ряд:

Цей ряд, що формально задовольняє рівнянню (4), сходиться для всіх позитивних значень і, отже, є рішенням рівняння (4) в області

(у випадку цілого

в області

).

Функція

(5)

називається бесселевой функцією першого роду з індексом . Вона є одним з рішень рівняння Беселя (4). У випадку цілого ненегативного індексу

одержимо:

, (5`)

і, зокрема,

. (5``)

Загальне рішення рівняння Беселя

У випадку нецілого індексу функції

і

є рішеннями рівняння (4). Ці рішення лінійно незалежні, тому що початкові члени рядів, що зображують ці функції, мають коефіцієнти, відмінні від нуля, і містять різні ступені

. Таким чином, у випадку нецілого індексу загальне рішення рівняння Беселя є:

. (6)

Якщо (ціле негативне число), то функція, обумовлена формулою (5) (з огляду на, що

дорівнює нулю для

…), приймає вид:

(5```)

або, після заміни індексу підсумовування на

,

, (7)

звідки видно, що задовольняє разом з

рівнянню Беселя

.

Але формула (6) у випадку цілого вже не дає загального рішення рівняння (4).

Думаючи

(

– не ціле) (8)

і доповнюючи це визначення для (ціле число) формулою:

, (8`)

одержимо функцію , що задовольняє рівнянню Беселя (4) і у всіх випадках лінійно незалежну від

(у випадку

, де

– ціле). Функція

називається беселевою функцією другого роду з індексом

. Загальне рішення рівняння Беселя (4) можна записати у всіх випадках у вигляді:

. (9)

2. Формули приведення для Беселевих функцій

Маємо:

;

;

,

;

.

Отже,

. (10)

Таким чином, операція (що складається в диференціюванні з наступним множенням на

), застосована до

, підвищує в цьому вираженні індекс

на одиницю й міняє знак. Застосовуючи цю операцію

раз, де

– будь-яке натуральне число, одержуємо:

. (10`)

Маємо:

;

Отже,

. (11)

Таким чином, операція , застосована до

, знижує в цьому вираженні індекс

на одиницю. Застосовуючи цю операцію

раз, одержуємо:

. (11`)

З виведених формул можна одержати деякі наслідки. Використовуючи (10), одержимо:

;

;

.

Звідси, зокрема, треба, що . Використовуючи (11), одержимо:

;

;

.

По членне додавання й вирахування отриманих рівностей дає:

, (12)

. (13)

Формула (13) дозволяє виразити всі Беселеві функції із цілими індексами через ,

. Дійсно, з (13) знаходимо (думаючи

):

, (13`)

звідки послідовно одержуємо:

,

, …………………

3. Беселеві функції з напівцілим індексом

Беселеві функції, загалом кажучи, є новими трансцендентними функціями, що не виражаються через елементарні функції. Виключення становлять Беселеві функції з індексом , де

– ціле. Ці функції можуть бути виражені через елементарні функції.

Маємо:

,

,

отже,

.

Але , значить:

. (14)

Далі

,

,

отже,

.

Але , тому

. (15)

За допомогою (10') знаходимо:

,

а з огляду на (14)

,

отже, при цілому позитивному

. (14`)

За допомогою (11') знаходимо:

,

але в силу (15)

,

і, отже, при цілому позитивному

. (15`)

4. Інтегральне подання Беселевих функцій із цілим індексом

Виробляюча функція системи функцій

Розглянемо систему функцій

(з будь-якою загальною областю визначення), пронумерованих за допомогою всіх цілих чисел:

Складемо ряд

,

де – комплексна змінна. Припустимо, що при кожному

(приналежному області визначення розглянутих функцій) цей ряд має кільце збіжності, що містить усередині себе одиничну окружність

. Зокрема, це кільце може являти собою повну площину комплексної змінної без крапок 0 і?.

Функція

(16)

(де x лежить в області визначення функцій системи ,

– усередині кільця збіжності, що відповідає розглянутому значенню

) називається виробляючою функцією системи

.

Обернено, нехай задана функція , де

пробігає деяку множину,

перебуває усередині деякого кільця, що залежить від

, із центром 0 і утримуючого усередині себе одиничну окружність. Тоді, якщо

при кожному

аналітичне відносно

усередині відповідного кільця, тобто

виробляюча функція деякої системи

функцій. Справді, розклавши при кожному

функцію

в ряд Лорана по ступенях

:

,

знайдемо, що система коефіцієнтів цього ряду буде шуканою системою

.

Формули для коефіцієнтів ряду Лорана дозволяють виразити функції розглянутої системи через виробляючу функцію. Застосовуючи ці формули й перетворюючи потім інтеграл уздовж одиничної окружності

в простий інтеграл, одержимо:

. (17)

Виробляюча функція системи Беселевих функцій із цілими індексами

Покажемо, що для системи Беселевих функцій першого роду із цілими індексами (

…) виробляюча функція є:

.

Маємо:

,

,

звідки після по членного перемножування цих рівностей знайдемо:

(тому що в передостанній внутрішній сумі й

були зв'язані залежністю

, то ми могли покласти

, одержавши підсумовування по одному індексі

). В останній внутрішній сумі підсумовування виробляється по всіх цілих

, для яких

, отже, при

це буде

; при

це буде

. Таким чином, у всіх випадках внутрішня сума є

в силу формул (5`) і (5```). Отже,

, (18)

але це й доводить, що є виробляюча функція для системи

.

Виведемо деякі наслідки з формули (18). Думаючи в ній , одержимо:

,

звідки після поділу дійсної й мнимої частини (з огляду на, що )

(18`)

(18``)

Заміняючи в (18`) і (18``) на

, знайдемо:

, (18```)

. (18````)

Інтегральне подання Jn(x)

Тому що, по доведеному, при маємо

, те по формулі (17) одержуємо (використовуючи в перетвореннях формули Ейлера):

де прийнято в увагу, що є парна функція від

є непарна функція від

. Отже, доведено, що для будь-якого цілого числа

. (19)

Формула (19) дає подання Беселевих функцій із цілим індексом у вигляді певного інтеграла, що залежить від параметра . Ця формула називається інтегральним поданням Беселя для

, права частина формули називається інтегралом Беселя. Зокрема, при

знайдемо:

. (19`)

5. Ряди Фур'є-Беселя

Розглянемо на якому-небудь інтервалі (кінцевому або нескінченному) два диференціальних рівняння